A B C H C A B C A B C A B A C B H Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 Ôn tập hình học Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông a.Lý thuyết I.Hệ thức lợng trong tam giác vuông Cho ABC, A = 1v; AH BC 1.AB 2 = BH.BC; AC 2 = HC.BC 2.AH 2 = BH.HC 3.AB.AC = AH.BC 4. 2 1 AH = 2 1 AB + 2 1 AC II.Tỉ số lợng giác của góc nhọn 1. Sin = BC AC (Đối/huyền) 2. Cos = BC AB (Kề/huyền) 3. Tg = AB AC (Đối/kề) 4. Cotg = AC AB (Kề/đối) III.Tính chất của tỉ số lợng giác a.Cho và là 2 góc phụ nhau ( + = 90 0 ) 1. Sin = Cos 2.Cos = Sin 3.Tg = Cotg 4.Cotg = Tg b.Nếu 0 0 < < 90 0 0< Sin < 1 và 0< Cos <1 Tg = Cos Sin ; Cotg = Sin Cos ; Tg .Cotg = 1; Sin 2 + Cos 2 = 1 IV.Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho ABC, A = 1v 1.b = aSinB c = aSinC 2.b = aCosC c = aCosB 3.b= cTgB c = bTgC 4.b= cCotgCc = bCotgB B: Bài tập Bài 1: Cho ABC, A = 1v; AH BC a.Cho AH = 16cm; BH = 25cm. Tính AB, AC, BC, CH b.Cho AB = 12cm; BH = 16cm. Tính AH, AC, BC, CH Giải: a áp dụng định lý Pitago cho v AHB AB = 881 30cm - áp dụng hệ thức AH 2 = HB.HC HC = 2 AH HB = 25 16 2 = 25 256 BC = CH + HB = - áp dụng hệ thức AC 2 = CH.BC AC = 19cm b.Tính tơng tự Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ A B C H D B A C N M A B C D E P Q Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 Bài 2: Cho ABC vuông tại A, AB = 30cm, đờng cao AH = 24cm. a.Tính độ dài BH. b.Tính độ dài BC. c.Qua B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại D. Tính độ dài BD. Giải a áp dục định lý Pitago cho v ABH BH = 18cm. - áp dụng hệ thức AB 2 = BH.BC - BC = BH AB 2 = 18 30 2 = 50cm Cách 1: Chứng minh BAD vuông tại B có BH AD - áp dụng hệ thức: BH 2 = AH.HD HD = AH BH 2 = 24 18 2 = AD = AH + HD = - áp dụng hệ thức BD 2 = HD.AD BD = 22,5cm Cách 2: Chứng minh HBD HAB BD = 22,5cm Bài 3: Cho Cho ABC, A = 1v; AB = 6dm, AC = 8dm, các đờng phân giác góc trong và góc ngoài của B cắt AC ở M và N. Tính AM và AN. Giải: - áp dụng định lý Pitago cho v ABC BC = 10cm. - áp dụng tính chất đờng phân giác trong tam giác ta có : MC AM = BC AB AMMC AM + = ABBC AB + AC AM = ABBC AB + 8 AM = 106 6 + AM = 16 8.6 AM = 3cm - áp dụng hệ thức cho v MBN ta có: AB 2 = AM.AN AN = AM AB 2 = 3 6 2 = 3 36 = 12 (cm) Bài 4: Cho ABC các góc đều nhọn. Trên đờng cao AD lấy điểm P sao cho ã BPC = 90 0 . Trên đờng cao BE lấy điểm Q sao cho ã AQC = 90 0 . Chứng minh rằng: a.CA.CE = CD.CB b.CP = CQ Giải: a.Chứng minh CDA CEB Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ B A C D A C B D H Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 CE CD = CB CA CE.CA = CD.CB b.áp dụng hệ thức v BPC PC 2 = CD.CB áp dụng hệ thức v AQC CQ 2 = CE.CA Mà CD.CB = CE.CA (CMT) CP 2 = CQ 2 CP = CQ Bài 5.Cho ABC có AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm. a.Chứng minh ABC vuông. Tính S ABC b.Tính SinB, SinC c.Đờng phân giác của A cắt BC tại D. Tính DB, DC Giải: a.áp dụng định lý đảo Pitago BC 2 = AB 2 + AC 2 ABC vuông tại A. S ABC = 2 1 AB.AC = 2 1 .21.28 = 294cm 2 b.SinB = BC AC = 35 28 = 5 4 Sin C = AC AB = 35 21 = 5 3 c.áp dụng tính chất đờng phân giác: DC DB = AC AB DBDC DB + = ABAC AB + BC DB = ABAC AB + DB = 15 DC = 20 Bài 6: Cho ABC vuông ở A, có AB = 6cm, AC = 8cm. a.Tính BC, góc B, góc C. b.Đờng phân giác của A cắt BC tại D. Tính DB, DC. c.Từ D kẻ DE AB, DF AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF. Giải: (Tơng tự nh bài 5) Bài 7: Cho hình thang ABCD có cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5 và AC = 12 a.Tính CosBSinB CosBSinB + b.Tính chiều cao của hình thang ABCD Giải: a.áp dụng định lý Pitago cho v ACB AB 2 = AC 2 + BC 2 = 25 + 144 = 169 AB = 13 SinB = AB AC = 13 12 ; CosB = AB BC = 13 5 Vậy CosBSinB CosBSinB + = 12 5 13 12 13 5 13 12 + = 13 7 13 17 = 7 17 Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ A B D C H Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 b.áp dụng hệ thức lợng cho v ACB AC.CB = CH.AB CH = AB CBAC. = 13 5.12 = 3 60 Bài 8: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 2, đáy CD = 4. Cạnh bên AD = 2, góc A = 90 0 a.Chứng minh TgC = 1 b.Tính tỉ số diện tích DBC và diện tích hình thang ABCD c.Tính tỉ số diện tích ABC và diện tích DBC Giải: a.Kẻ BH DC (H DC) Tứ giác ABHD là hình vuông. BH = DH = 2 HC = DC DH = 4 2 = 2 Xét v AHC TgC = HC BH = 2 2 = 1 b.Ta có S DBC = 2 1 BH.DC = 2 1 .2.4 = 4 S ABCD = 2 1 (AB + DC).BH = 2 1 (2 + 4).2 = 6 DBC ABC S s = 4 2 = 2 1 Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ B A C N M A C B A' B' C' Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 Bài 9: Cho ABC vuông ở A, C = 30 0 , BC = 10cm a.Tính AB, AC. b.Từ A kẻ AM và AN vuông góc với phân giác trong và ngoài của góc B, chứng minh MN//BC và MN = AB. c.Chứng minh ABM ABC. Tìm tỉ số đồng dạng. Giải: a.Ta có SinC = BC AB AB = BCSinC = 10Sin30 0 = 10. 2 1 = 5 CosC = BC AC AC = BCCosC = 10.Cos30 0 = 2 310 = 5 3 b.Tứ giác AMBN là hình chữ nhật BOM cân 1 M = 1 B mà 1 B = 2 B 1 M = 2 B 2 góc này ở vị trí so le trong MN//BC và MN = AB (T/c) c. ABM BCA (g.g) Tỉ số đồng dạng K = BC AB = 10 5 = 2 1 Bài 10: Cho ABC, AA, BB, CC là các đờng cao của ABC a.Chứng minh ACC ABB; ABC ABC b.Chứng minh ab.bc.ca = ab.bc.ca.CosACosBCosC c.Cho C = 30 0 , BC = 8cm, AC = 6cm. Tính S ABC =? Giải: a. ACC ABB (g.g) ' ' AB AC = AC AB b. ABC và ABC A chung ' ' AB AC = AC AB (CMT) ABC ABC c.Xét v ABBcó CosA = AB AB' AB = ABCosA v ACA có CosC = AC CA' CA = ACCosC v AAB có CosB = CB BC' BC = CBCosB AB.CA.BC = AB.AC.CBCosACosBCosC * SinC = AC AA' AA = ACSin30 0 = 6Sin30 0 = 6. 2 1 = 3cm S ABC = 2 1 AA.BC = 2 1 .3.8 = 12cm 2 Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 Bài tập tơng tự Bài 11: Cho ABC vuông ở A, AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh tới cạnh huyền BC và M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đờng thẳng song song với cạnh AB cắt AC tại D. a.Tính độ dài AH, AM, HM b.Chứng minh ADM AHB c.Giả ã CAM = a và ã MHA = b. Chứng tỏ rằng 7Sina = 15Sinb Bài 12: Cho hình bình hành ABCD, góc B = 120 0 , AB = 2BC. Gọi I là tđ của DC. a.Chứng minh AIB vuông. b.Tính các cạnh, các góc cuả AIB biết chu vi hình bình hành là 60cm. Bài 13: Cho ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. a.Chứng minh ABC vuông. b.Tính B , C và đờng cao AH. c.Lấy điểm M bất kỳ trên BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần lợt là P và Q. Chứng minh PQ = AM. Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất. Bài 14: Cho ABC có AB = 12cm, ã ABC = 40 0 , ã ACB = 30 0 . Đờng cao AH. Tính AH, AC, CB. Bài 15: Cho ABC vuông ở A. Đờng cao AH = 15, BH = 20. Tính AB, AC, BC, HC. Bài 16: Cho ABC vuông ở A, có AB = 5, BC = 7. GiảI v ABC Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ I O A B C D I O A B C D O A B C D H K O A B C H D K d O I O A B C B A O O' Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 Chơng II Đờng tròn a.Lý thuyết (Tóm tắt Sgk) 1.*Tâm của đờng tròn ngoại tiếp v là trung điểm của cạnh huyền. * Nếu một tam giác có 1 cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó vuông. 2.Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây. *Cho (O), đờng kính AB, dây CD AB CD tại I IC = ID *Cho (O), đờng kính AB AB cắt CD tại I, IC = ID, I 0 AB CD 3.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. *AB = CD OH = OK *AB > CD OH < OK 4.Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến * Tính chất : d là tiếp tuyến của (O) tại I OI d *Dấu hiệu: Cho (O), I (O) OI d tại I d là tiếp tuyến của (O) .Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau *Cho (O): AB,AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A(B,C là các tiếp điểm) AB = AC; AO là phân giác của ã BAC ; OA là phân giác của ã BOC 6.Tính chất đờng nối tâm *Cho (O) cắt (O) tại A và B. Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 OO là trung trực của AB *Cho (O) tiếp xúc (O) tại I I OO Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ O A D B C D E O A B C H O A D B C Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 B.Bài tập: Bài 1:Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm. a.Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn. Chỉ ra vị trí tâm đờng tròn đó. b.Tính bán kính của đờng tròn đó. Giải: -Xét ABD có ã DAB = 90 0 (gt) ABD vuông tại A Gọi O là tđ của BD (O) ngoại tiếp ABD (1) Chứng minh tơng tự ta có (O) ngoại tiếp DBC (2) Từ (1) và (2) A, B, C, D cùng thuộc (O), tâm O là tđ của DB. - áp dụng định lý Pitago tính DB = ? Bài 2: Cho hình vuông ABCD a.Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn, chỉ ra vị trí tâm đờng tròn. b.Tính bán kính đờng tròn đó biết cạnh hình vuông bằng 2dm. Bài 3: Cho ABC nhọn, vẽ đờng tròn (O) có đờng kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E. a.Chứng minh CD AB, BE AC. b. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK BC Giải: - Ta có (O) ngoại tiếp BDC - O là tđ của BC DBC vuông tại D CD AB Chứng minh tơng tự BE AC Xét ABC Có DC AB CD là đờng cao ABC BE AC(gt) BE là đờng cao ABC CD cắt BE tại K (gt) K là trực tâm của ABC AK là đờng cao AK BC Bài 4: Cho ABC cân tại A, nội tiếp O đờng cao AH cắt (O) tại D. a.Vì sao AD là đk b.Tính ã ACD c.Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính AH và bk (O) Giải: a.Xét ABC cân tại A có AH là đờng cao AH đồng thời là đờng trung tuyến HB = HC O thuộc AH hay AD là đk của (O) b.Ta có (O) ngoại tiếp ADC (gt) O là tđ của AD (CMT) ADC vuông tại C ã ACD = 90 0 c.HC = 2 1 BC = 12cm áp dụng định lý Pitago cho v AHC AH = ? áp dụng hệ thức lợng cho v ADC ta có: HC 2 = AH.HD HD = ? Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ A B C D E M N C B O A D Ôn tập toán 9 Năm học 2009 - 2010 AO = 2 1 AD = Bài 5: Cho ABC, ' A < 90 0 , các đờng cao BD, CE. Gọi M và N theo thứ tự là tđ của BC, DE. a.CMR: 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc đờng tròn. b.Chứng minh DE < BC c.Chứng minh MN ED d. ABC có thêm đk gì thì MDE là tam giác đều Giải: a. BCD vuông tại D M là tđ của BC (M) ngoại tiếo BCD Tơng tự (M) ngoại tiếp BEC B, C, D, E thuộc đờng tròn tân M b.Ta có BC là đờng kính (M) ED là dây của đờng tròn (M) M ED ED < BC c.Ta có N là tđ của dây ED(gt) N M MN ED Bài 6: Cho (O), đkính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R cung này cắt đờng tròn (O) ở B và C a.Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao? b.Tính số đo các góc ã CBD , ã CBO , ã CBA c.CMR ABC là tam giác đều Giải: a.Xét tứ giác OBDC có OB = BD = DC = OC = R OBDC là hình thoi BC là phân giác của ã OBD (T/c) b. OBD đều ã OBD = 60 0 (T/c) ã OBC = 2 1 ã OBD = 2 1 60 0 = 30 0 = ã CBD Ta có (O) ngoại tiếp ABD Có AD là đờng kính (O) ABD vuông tại B ã ABD = 90 0 ã ABO = ã ABD - ã OBD = 90 0 60 0 = 30 0 c.Xét ABC có ã ABC = ã BCA = 60 0 ABC đều Bài 7: Cho nửa (O), đờng kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d của đờng tròn. Gọi E và F lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB. CMR: a.CE = CF Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ [...]... c.AC//FG Phạm Văn Sinh Tr ờng T H C S Yên Mỹ Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm d.AC, DE, BF đồng quy Giải: a ABC EBD (g.g) ã b.Ta có DEB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) 0 ã DEC = 90 ã ã DEC + CAD = 90 0 + 90 0 = 1800 ADEC nội tiếp 0 ã CFB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ã ã CFB = CAB = 90 0 F, A cùng nhìn xuống hai dầu mút của đoạn BC dới một góc bằng 1v không đổi F, A đờng tròn đkính BC AFBC... MNDC là hình chữ nhật Hớng giải 0 a ã ABC = 90 (góc nội tiếp ) 0 ã ABD = 90 (.) 0 ã ã ABC + ã ABD = CBD = 180 C, B, D thẳng hàng Phạm Văn Sinh ờng T H C S Yên Mỹ Tr - Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm b MBN CAD (g.g) MB = MN MB.CD = MN.CA CA CD d.MN AB thì MNDC là hình chữ nhật Bài 5: Từ M cố định ngoài (O), kẻ 1 tt MT và một cát tuyến MAB của đờng tròn đó a.CMR: MT2 = MA.MB và tích này không phụ... ABCD Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật b.Tính độ dài đờng kính BD c.Xác định điều kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông Giải: a Ta có ABD cân tại B BD là đờng kính Phạm Văn Sinh ờng T H C S Yên Mỹ Tr - Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm BD là đờng trung trực của AC BD AC - Từ tính chất đờng trung bình MNPQ là hình bình hành ả - Chứng minh M = 1v MNPQ là hình chữ nhật à à b.Ta có: B... c AMIO là hình bình hành Giải: ã a.Ta có MNB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa (0)) 0 ã MOB = 90 (gt) ã ã MNB + MOB = 90 0 +90 0 = 1800 OMNB nội tiếp b.Xét AMO ABN(g.g) AM = AO AB AN AM.AN = AO.AB (AO = R, AB = 2R) = 2R2 Chứn minh OMNI nội tiếp ã ã ta có IMO = 90 0 (gt) và ONI = 90 0 (vì NI là tt của (0)) ã ã IMO = ONI = 90 0 M, N cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn IO dới 1 góc bằng 1v không đổi M,... tuyến quay quanh A thì CBD có số đo không đổi Phạm Văn Sinh ờng T H C S Yên Mỹ Tr - Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm b.Từ C và D vẽ 2 tiếp tuyến của đờng tròn CMR 2 tiếp tuyến này hợp với nhau thành 1 góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay quanh A Hớng giải: 1 a.+ ã ACB = Sđ ẳ AnB 2 1 + ã AmB ADB = Sđ ẳ 2 ẳ , ẳ AnB AmB cố định ã ACB , ã ADB không đổi ã CDB không đổi ã ã b CBA = MCA (.) ã ABD =... c.MI//AO (cùng CD) ta có à = ã ANO (góc đáy cân ANO ) A Phạm Văn Sinh ờng T H C S Yên Mỹ Tr - Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm ã ã ẳ ANO = MIO (góc nội tiếp cùng chắn MO .) ã à = MIO A 0 Xét vAMO có à + ã AMO = 90 A ã ã Xét vOMI có MIO + MOI = 90 0 ã ã AMO = MOI mà 2 góc này ở vị trí so le trong AM//OI AMIO là hình bình hành Bài 8:Cho điểm A nằm ngoài (O, R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE... A, B, D, H cùng thuộc đờng tròn b.Gọi E là giao của Cb với nửa đờng tròn Phạm Văn Sinh Tr ờng T H C S Yên Mỹ Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm Chứng minh BC.AE = AB.AD Giải: ã a.Ta có CAD = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) 0 ã CAD = ã ADB = 90 H, D nhìn xuống AB dới một góc bằng 1v không đổi Vậy H, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính AB H, D, A, B cùng thuộc đờng tròn b.Xét ACB và EDA ã ACE... K BC) a.Chứng minh AEHF là hình chữ nhật b.AE.AB =AF.AC c.Chứng minh BEFC nội tiếp d.Chứng minh các v BIE, BEH, BHA và BAC đồng dạng e BI + CK = BC Giải ã ã a BEH = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) HEA = 90 0 0 0 ã ã HFC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O')) HFA = 90 có A = 90 0 (gt) AEHF là hình chữ nhật b vABH có AH2 = AE.AB vAHC có AH2 = AF.AC AE.AB = AF.AC c .Hình chữ nhật AEHF nội tiếp ã... = 300 Tính SABC theo R Giải: a.Hs tự chứng minh b BAE BHC (g.g) Phạm Văn Sinh ờng T H C S Yên Mỹ Tr - Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm BE.BC = BH.BA c.IC = IM = ID = IE à ả C1 = M 1 ả à M 2 = B1 à à ả ả mà C1 = B1 , M 1 = M 2 ả ả ã ã mà M 1 + IMD = 90 0 M 2 + IMD = 90 0 0 2 của (O) ã IMO = 90 MI là t chứng minh tơng tự ta có IE là t2 của (O) MI và IE là 2 t2 cắt nhau tại trung điểm I của CD... MA.NB = R2 d AOE cân tại O có OM là phân giác OM là đờng trung tuyến IE = IA Phạm Văn Sinh Tr ờng T H C S Yên Mỹ Ôn tập toán 9 học 20 09 - 2010 Năm Chứng minh tơng tự ta có EK = KB Xét AEB có IE = IA (CMT) KE = KB (CMT) IK là đờng TB của AEB IK = 1 1 AB = 2R = R (không đổi) 2 2 Vậy IK không phụ thuộc vào vị trí E trên (O) Bài 12: Cho đờng tròn (O), bán kính OA = R Lấy điểm M đối xứng với O qua A Từ . A B C H C A B C A B C A B A C B H Ôn tập toán 9 Năm học 20 09 - 2010 Ôn tập hình học Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông a.Lý thuyết I.Hệ thức lợng trong tam giác vuông Cho ABC, A = 1v; AH BC 1.AB 2 . Mỹ Ôn tập toán 9 Năm học 20 09 - 2010 OO là trung trực của AB *Cho (O) tiếp xúc (O) tại I I OO Phạm Văn Sinh Tr - ờng T H C S Yên Mỹ O A D B C D E O A B C H O A D B C Ôn tập toán 9 Năm học. Mỹ B A C N M A C B A' B' C' Ôn tập toán 9 Năm học 20 09 - 2010 Bài 9: Cho ABC vuông ở A, C = 30 0 , BC = 10cm a.Tính AB, AC. b.Từ A kẻ AM và AN vuông góc với phân giác trong và ngoài