Đại cương về đồ thị Đồ thị vô hướng (undirected graph) Cạnh (edge) {1,4} Đỉnh (vertex) “Đỉnh 2 và đỉnh 3 “Đỉnh 2 và đỉnh 3 kề nhau (adjacent)kề nhau (adjacent)”” Số đỉnh n = 4. Số cạnh m = 5. Đa đồ thị, Đồ thị đơn (simple graph) Đồ thị G(V, E) Tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4} Tập cạnh: E = {12, 13, 14, 23, 34} ‘Đơn’ = Không có cạnh song song và không có khuyên Khuyên (loop) Hai cạnh song song (parallel) Tập cạnh: E = {12, 13, 14, 23, 34} Đồ thị có hướng (directed graph) Cung (arc) [1,2] Khuyên (loop) Đỉnh đầu (initial) Đỉnh cuối (terminal) Bậc của đỉnh trong đồ thị vô hướng Định nghĩa: Bậc (degree) của một đỉnh x là số cạnh kề với x. Degree(1) = d(1) = 3 Degree(2) = d(2) = 2 Đỉnh treo, đỉnh cô lập d(3) = 1  đỉnh treo (pendant) d(5) = 0  đỉnh cô lập (isolated) Bậc của đỉnh trong đồ thị có hướng Định nghĩa: Bậc ra (out-degree) của một đỉnh x là số cung coi x là đỉnh đầu; bậc vào (in- degree) là số cung coi x là đỉnh cuối. OutDegree(1) = d + (1) = 1 InDegree(1) = d - (1) = 2 OutDegree(1) = d + (1) = 1 InDegree(1) = d (1) = 2 Mối quan hệ giữa số đỉnh và số cạnh Định lý: Cho G = (X, E) a) b) Số đỉnh bậc lẻ là số chẵn. 2 ( ) i X m d i ∈ = ∑ chẵn. c) ếu G có hướng ( ) ( ) i X i X m d i d i − + ∈ ∈ = = ∑ ∑ Chứng minh: (Bài tập) Bài tập 1. Trong một bữa tiệc, mọi người bắt tay nhau. CMR số người bắt tay với một số lẻ người khác là một số chẵn. 2. Bảng A của môn bóng đá Seagames 24 thi 2. Bảng A của môn bóng đá Seagames 24 thi đấu vòng tròn một lượt. CMR tại mọi thời điểm của giải, luôn có hai đội có số trận đấu bằng nhau. Đồ thị đủ K n Đ: Đồ thị đủ (complete graph) K n là đồ thị đơn vô hướng, mỗi đỉnh đều kề với các đỉnh còn lại. K 2 K 3 K 4 [...]... 1 9 Nếu đồ thị có đúng hai bậc lẻ (có đường đi Euler) thì xuất phát từ một đỉnh bậc lẻ 12 5 10 8 2 4 6 11 7 3 Đồ thị Hamilton Đ : Một đường đi trong đồ thị G được gọi là đường đi Hamilton nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của G, mỗi đỉnh đúng một lần • Nếu G có chu trình Hamilton thì G được gọi là đồ thị Hamilton VD: đồ thị G bên có chu trình Hamilton Quy tắc kiểm tra đồ thị Hamilton Giả sử đồ thị G có... cách của đồ thị có hướng có trọng lượng K(i,j) = trọng lượng của cung ij K(i,i) = 0, K(i,j) = ∞ nếu không có cung ij  0 6 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 5 ∞    K :=  6 1 0 ∞ ∞     8 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 3 ∞ 5 0    Đường đi Euler Đ : Một đường đi trong đồ thị G được gọi là đường đi Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh đúng một lần • Nếu G có chu trình Euler thì G được gọi là đồ thị Euler VD: đồ thị G... diễn đồ thị bằng ma trận Ma trận kề của đồ thị vô hướng A(i,i) = 0, A(i,j) = 1 nếu đỉnh i kề j       A :=        0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1   0  1   0    0 Ma trận kề của đồ thị có hướng B(i,i) = 0, B(i,j) = 1 nếu có cung ij       B :=        0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0   0  0   0    0 Ma trận khoảng cách của đồ thị vô... là một tập cắt vì G – {uz} không liên thông Bài tập (đồ thị G đơn) 1 CMR nếu số cạnh < số đỉnh thì G có một đỉnh treo hay một đỉnh cô lập 2 Cho G có bậc nhỏ nhất ≥ k ≥ 2 CMR G có một chu trình sơ cấp có chiều dài ≥ k 3 Giả sử số cạnh ≥ số đỉnh CMR G có chu trình 4 Vẽ tất cả đồ thị có 5 đỉnh (không đẳng cấu) và a) Có 4 cạnh b) Có 6 cạnh Bài tập (đồ thị G đơn) 5 CMR G hoặc “bù của G” là liên thông 6 Cho... 2 Ví dụ: hai đồ thị sau đẳng cấu với song ánh 1 DN, 2 CT, 3 BD, 4 AG Tính chất của sự đẳng cấu Tính chất: ếu G1(X1,E1) ≅ G2(X2,E2) thì: 1 |X1| = |X2|: cùng số đỉnh 2 |E1| = |E2|: cùng số cạnh 3 Cùng số đỉnh với bậc tương ứng 4 Số đỉnh kề với i ∈ X1 và ϕ(i) ∈ X2 như nhau •Tính chất trên chỉ có điều kiện cần •Ví dụ: hai đồ thị sau không đẳng cấu ? Bài tập 1 Xét sự đẳng cấu của các cặp đồ thị sau Chỉ ra... đồ thị sau không đẳng cấu ? Bài tập 1 Xét sự đẳng cấu của các cặp đồ thị sau Chỉ ra song ánh nếu chúng đẳng cấu Bài tập 2 Một đồ thị đơn G gọi là tự bù nếu nó đẳng cấu với đồ thị bù của nó a) CMR nếu G tự bù thì số đỉnh của G là 4k hay 4k+1 (k nguyên dương) b) Tìm tất cả các đồ thị tự bù có 4 đỉnh; 5 đỉnh Đường đi Định nghĩa: Cho G = (X, E) • Đường đi (path) là một dãy các cạnh liên tiếp nhau (x0, x1,... sơ cấp • (u, y, w, v, u) là một chu trình Có thể xem chu trình này như chu trình (w, v, u, y, w) Định lý ĐL: ếu mọi đỉnh của một đồ thị G đều có bậc ≥ 2 thì G có ít nhất một chu trình đơn Chứng minh (Xem giáo trình) Tính liên thông của đồ thị Đ : Hai đỉnh x và y của một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông (connected) với nhau nếu x = y hoặc có đường đi giữa hai đỉnh x, y hận xét: • Quan hệ liên thông...Tính chất của Kn • Bậc mỗi đỉnh: d(x) = n – 1 • Số cạnh của Kn: m = n(n – 1)/2 K3 K4 Đồ thị bù G = Kn −G Bài tập 1 Một lớp học có 6 học sinh CMR luôn có 3 người quen nhau hoặc 3 người không quen nhau 2 Bốn người bất kỳ (trong số n>3 người) đều có một người quen với ba người còn lại CMR... là đường đi Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của G, mỗi cạnh đúng một lần • Nếu G có chu trình Euler thì G được gọi là đồ thị Euler VD: đồ thị G bên có chu trình Euler a g e abdhbcdefa nên G là một đồ thị Euler Sự tồn tại đường đi Euler ĐL: Cho G liên thông Khi MĐ: Cho G liên thông Khi đó, G có đường đi Euler đó, G Euler khi và chỉ (nhưng không có chu khi mọi đỉnh của G đều trình Euler) khi và chỉ... hai đỉnh x, y hận xét: • Quan hệ liên thông là một quan hệ tương đương • Mỗi lớp tương đương là một thành phần liên thông (component) của G • Nếu G chỉ có một thành phần liên thông thì G được gọi là đồ thị liên thông (luôn có đường đi giữa hai đỉnh x, y bất kỳ) Ví dụ tính liên thông • G liên thông • H không liên thông • H có 2 thành phần liên thông Cầu Khớp Đối chu trình Đ : Cho G = (X,E) và A⊂ X . hai đồ thị sau không đẳng cấu ? ? Bài tập 1. Xét sự đẳng cấu của các cặp đồ thị sau. Chỉ ra song ánh nếu chúng đẳng cấu Bài tập 2. Một đồ thị đơn G gọi là tự bù nếu nó đẳng cấu với đồ thị. Đại cương về đồ thị Đồ thị vô hướng (undirected graph) Cạnh (edge) {1,4} Đỉnh (vertex) “Đỉnh 2 và đỉnh 3 “Đỉnh. mọi thời điểm của giải, luôn có hai đội có số trận đấu bằng nhau. Đồ thị đủ K n Đ: Đồ thị đủ (complete graph) K n là đồ thị đơn vô hướng, mỗi đỉnh đều kề với các đỉnh còn lại. K 2 K 3 K 4 Tính