LTDH 2010 Chủ đề: điểm và đồ thị - các bài toán liên quan Cho họ đường ( ) ( ) : , m C y f x m= , với m là tham số thực và điểm ( ) 0 0 ;M x y cho trước. + ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ; , m M x y C y f x mÎ Û = (1) + Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2) + Số nghiệm m của (2) bằng số đường của họ ( ) m C đi qua M. Cụ thể: i). phương trình (2) vô nghiệm (theo m) thì không có đường nào của họ ( ) m C đi qua M. ii). phương trình (2) có k nghiệm m thì có k đường của họ ( ) m C đi qua M. iii). phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m thì tất cả các đường của họ ( ) m C đi qua M. Khi đó điểm M được gọi là điểm cố định của họ ( ) m C . + Các loại toán: 1. Tìm điểm cố định của họ đường ( ) m C . Sơ đồ giải b1. Gọi điểm ( ) 0 0 ;M x y là điểm cố định của họ đường ( ) m C , ta có: ( ) 0 0 ,y f x m= (1) + Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2) b2. Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m 0 0 A B ì = ï ï Û í ï = ï î (3) b3. Kết luận: tọa độ điểm cố định (nếu có) là nghiệm của hệ (3) 2. chứng minh họ đường ( ) m C có ba điểm cố định thẳng hàng. Sơ đồ giải b1. Gọi điểm ( ) 0 0 ;M x y là điểm cố định của họ đường ( ) m C , ta có: ( ) 0 0 ,y f x m= (1) + Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m. Chẳng hạn: mA+B = 0 (2) b2. Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m 0 0 A B ì = ï ï Û í ï = ï î (3) b3. Một trong hai khả năng xảy ra: Khả năng 1: + Tìm được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3). Khi đó họ đường ( ) m C đi qua 3 điểm cố định là 1 2 3 , ,M M M + chứng minh ba điểm 1 2 3 , ,M M M thẳng hàng. 1 2 3 , ,M M M thẳng hàng 1 2 1 3 .M M k M MÛ = uuuuur uuuuur Khả năng 2: Không chỉ ra được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3) hoặc hệ (3) có nghiệm “ không đẹp ” + chứng minh hệ (3) có 3 nghiệm phân biệt và kết luận ( ) m C đi qua 3 điểm cố định 1 2 3 , ,M M M + Từ hệ (3) suy ra phương trình hệ quả dạng ax + by + c = 0 (4). Từ đó kết luận 3 điểm cố định 1 2 3 , ,M M M nằm trên đường thẳng (4) và chúng thẳng hàng Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 1 3. Tìm điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường ( ) m C không đi qua, với mọi m. Sơ đồ giải b1. Gọi điểm ( ) 0 0 ;M x y là điểm mà họ đường ( ) m C không thể đi qua với mọi m, ta có: ( ) 0 0 ,y f x m= vô nghiệm (theo m) b2. Dùng tính chất vô nghiệm suy ra ( ) 0 0 ;x y thỏa b3. Kết luận 4. Tìm điểm mà họ đường ( ) m C có đúng k đường đi qua. Sơ đồ giải b1. Gọi điểm ( ) 0 0 ;M x y là điểm mà họ đường ( ) m C có đúng k đường đi qua, ta có: ( ) 0 0 ,y f x m= có đúng k nghiệm (theo m) b2. Dùng tính chất có k nghiệm suy ra ( ) 0 0 ;x y b3. Kết luận 5. Biện luận vị trí tương đối của một điểm cho trước với họ đường ( ) m C 5. điểm trên đồ thị ( ) ( ) :C y f x= có tọa độ nguyên B1. Tìm trên đồ thị ( ) ( ) 2 1 : 5 6 C y x x= + những điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên. + TXĐ: R + Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 ; 5 6 M x y C y x xÎ Û = + + Giả sử x là số nguyên ( ) x Î ¢ và thử một số giá trị của x, ta có: 0 0x y= Þ = ; 1 1x y= Þ = ; 14 2 3 x y= Þ = ; 3 12x y= Þ = ; 4 24x y= Þ = ; 125 5 3 x y= Þ = + Qua đó ta thấy: i). 0, 3x x= = , ( có dạng 3 , x k k= Î ¢ ) yÞ Î ¢ ii). 1, 4x x= = , ( có dạng 3 1 , x k k= + Î ¢ ) yÞ Î ¢ iii). 2, 5x x= = , ( có dạng 3 2 , x k k= + Î ¢ ) yÞ Ï ¢ + chứng minh i). Nếu 3 , x k k= Î ¢ thì ta có: ( ) 2 3 3 5 2 y k k= + ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m= Î ¢ ) thì ( ) 2 6 6 5y m m= + Î ¢ ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m= + Î ¢ ) thì ( ) ( ) 2 3 2 1 3 4y m m= + + Î ¢ ii). Nếu 3 1 , x k k= + Î ¢ thì ta có: ( ) ( ) 2 1 3 1 2 2 y k k= + + ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m= Î ¢ ) thì ( ) ( ) 2 6 1 1y m m= + + Î ¢ Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 2 ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m= + Î ¢ ) thì ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3y m m= + + Î ¢ iii). Nếu 3 2 , x k k= + Î ¢ thì ta có ( ) ( ) 2 1 3 2 3 7 6 y k k= + + ● Nếu k là số nguyên chẵn ( 2 ,k m m= Î ¢ ) thì ( ) ( ) 2 2 3 1 6 7 3 y m m= + + , vì: 3 1m + và 6 7m + không chia hết cho 3 ( ( ) 3 1m + M3 và ( ) 6 7m+ M3 ) nên ( ) ( ) 2 2 3 1 6 7 3 y m m= + + Ï ¢ . ● Nếu k là số nguyên lẻ ( 2 1,k m m= + Î ¢ ) thì ( ) ( ) 2 1 6 5 3 5 3 y m m= + + vì: 6 5m + và 3 5m + không chia hết cho 3 ( ( ) 6 5m+ M3 và ( ) 3 5m + M3 ) nên ( ) ( ) 2 1 6 5 3 5 3 y m m= + + Ï ¢ + Vậy: Các điểm trên ( ) C có tọa độ nguyên là những điểm có dạng 3x k= Þ ( ) 2 3 3 5 2 y k k= + , k Î ¢ và 3 1x k= + Þ ( ) ( ) 2 1 3 1 2 2 y k k= + + , k Î ¢ B2. Tìm các điểm thuộc đồ thị ( ) 2 5 15 : 3 x x C y x + + = + sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên + TXĐ: D = { } \ 3-¡ và 9 2 3 y x x = + + + + Ta có: ( ) ( ) 9 ; 2 3 M x y C y x x Î Û = + + + + Giả sử x là số nguyên ( ) x Î ¢ thì y là số nguyên Û x + 3 là ước số của 9 Û x + 3 { } 1, 3, 9Î ± ± ± + Vậy: có 6 điểm mà tọa độ là các số ngyên là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 4; 11 , 2;9 , 6; 7 , 0;5 , 12; 11 , 6;9x y = - - - - - - - B3. Tìm trên đồ thị ( ) 2 4 3 : 1 x C y x - = + những điểm sao cho tọa độ của chúng là các số nguyên + TXĐ: D = ¡ + Ta có: ( ) ( ) 2 4 3 ; 1 x M x y C y x - Î Û = + (1) + Từ (1) suy ra phương trình 2 4 3 0yx x y- + + = (2) có nghiệm nguyên. ● Nếu y = 0 thì (2) trở thành: 4 3 0x- + = 3 4 xÛ = ( Ï ¢ ) ● Nếu 0y ¹ thì (2) là phương trình bậc hai. (2) có nghiệm Û ( ) / 4 3 0y yD = - + ³ 2 3 4 0y yÛ - - + ³ Û 4 1y- £ £ Khi đó: [ ] { } 0 4, 3, 2, 1,1 4;1 y y y y ì ï ¹ ï ï ï Î Þ Î - - - - í ï ï ï Î - ï î ¢ { } 0,2xÞ Î là số nguyên Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 3 +Vậy có hai điểm cần tìm là ( ) ( ) ( ) { } ; 0; 3 , 2;1x y = - B5. Tìm điểm thuộc ( ) ( ) 2 : 2 1 4C y x y x y x= + + + + có tọa độ là các số nguyên. + Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 1 4M x y C y x y x y xÎ Û = + + + + (1) + Xét phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 2 1 4y x y x y x y x y x y x= + + + + Û - = + + + ( ) ( ) 2 2 0 2 1 4 y x y x y x y x ì - ³ ï ï Û í ï + + + = - ï î 2 4 4 2 y x x x y x ì ³ ï ï ï ï Û í - ï = ï ï + ï î ( ) 9 9 4 8 8 2 1 y x x y x ì ³ ï ï ï ï Û í = - + ï ï + ï ï î 9 8 2 9 2 1 y x y x x ì ³ ï ï ï Û í ï - + = ï ï + î Khi đó: x, y là các số nguyên Û 2x + 1 là ước số của 9 { } 2 1 1, 3, 9xÛ + Î ± ± ± Từ đó ta có hai cần tìm là ( ) ( ) ( ) { } ; 2; 2 , 0;0x y = - - BÀI TẬP LÀM THÊM b1. Các đề thi TS. Tìm trên đồ thị ( ) C các điểm có tọa độ nguyên. 1. 2 1 2 x x y x + - = + 2. 4 1 1 y x x = + + - 3. 2 1 1 x x y x + - = - 4. 2 3 6 2 x x y x + + = + 5. 2 1 2 x y x - = + B2. Tìm điểm thuộc đồ thị ( ) C có tọa độ là các số nguyên a. 8 3 2 1 x y x + = - b. 10 4 3 2 x y x - = + c. 2 6 8 1 x y x - = + d. 2 12 3 1 x y x x - = - + B3. Tìm điểm thuộc đồ thị ( ) C có tọa độ là các số nguyên a. ( ) 2 2 4 1 6y x y x y x= + + - + b. ( ) 2 3 8 2 5y x y x y x= - - + - c. ( ) 3 2 1 2 7 4 6 y x x x= + - + d. ( ) 3 2 1 3 2 12 y x x x= + + 6. Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn tính chất K cho trước. Bài toán. Tìm điểm thuộc đồ thị ( ) ( ) :C y f x= thỏa mãn tính chất K cho trước Sơ đồ giải b1. Lấy điểm ( ) 1 1 ;M x y tùy ý thộc ( ) C , ta có: ( ) 1 1 y f x= b2. Vận dụng từ tính chất K cho trước. b3. Kết luận BÀI TẬP Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 4 B1. Cho hm s ( ) 2 2 2 1 x x y f x x - + = = - cú th l ( ) C . Tỡm tham s thc k sao cho trờn ( ) C cú hai im P, Q phõn bit tha món iu kin P P Q Q x y k x y k ỡ + = ù ù ớ ù + = ù ợ . T ú chng minh P, Q cựng thuc mt nhỏnh ca ( ) C . ỏp s: 1 2 2, 1 2 2k k< - > + B2. Cho hm s ( ) 2 1 1 x x y f x x + - = = - cú th l ( ) C . Tỡm tham s thc m sao cho trờn ( ) C cú hai im P, Q phõn bit tha món iu kin P P Q Q x y m x y m ỡ + = ù ù ớ ù + = ù ợ ỏp s: 4 2 2, 4 2 2m m< - > + B3. Tỡm cỏc im trờn th hm s 2 1 2 x x y x + - = + sao cho ta ca chỳng l nhng s nguyờn. ỏp s: ( ) ( ) 1 2 3; 5 , 1; 1M M- - - - B4. Tỡm trờn th hm s 3 2 1 x y x + = - tt c nhng im cú cỏc ta l s nguyờn. ỏp s: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 6;4 , 4;2 , 2;8 , 0; 2M M M M- - 7. Tỡm hai im thuc th hm s v i xng vi nhau qua mt im cho trc. Bi toỏn. Tỡm hai im ,A B thuc th ( ) ( ) :C y f x= sao cho chỳng i xng vi nhau qua im ( ) ;I a b cho trc. S gii b1. Ly hai im ( ) ; A A A x y , ( ) ; B B B x y thuc th ( ) ( ) :C y f x= , ta cú: ( ) A A y f x= , ( ) B B y f x= b2. Dựng tớnh cht i xng qua mt im (i xng qua tõm) tỡm ta ,A B . ,A B i xng vi nhau qua ( ) ;I a b 2 2 A B A B x x a y y b ỡ + = ù ù ớ ù + = ù ợ b3. Kt lun BI TP B1. Cho ( ) ( ) 3 2 2 2 : 3 3 1 1 m C y x mx m x m= - + - + - , vi m l tham s thc. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m th ( ) m C cú hai im phõn bit i xng vi nhau qua gc ta . ỏp s: 1,0 1m m<- < < B2. Xỏc nh tham s thc m th hm s 2 2 2 2 1 x m x m y x + + = + cú hai im i xng vi nhau qua gc ta . ỏp s: { } 2 2 ; ; \ 1 2 2 m ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ẻ - Ơ - ẩ +Ơ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 8. Tỡm hai im thuc th hm s v i xng vi nhau qua mt ng thng cho trc. Trn Chớ Thanh ( im v th hm s ) Page 5 Bài toán. Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ) ( ) :C y f x= sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y ax b= + ( ) 0a ¹ cho trước. Sơ đồ giải b1. Gọi D là đường thẳng vuông góc với d , ta có 1 : y x m a D =- + và giả sử D cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt ,A B . Khi đó hoành độ ,A B là nghiệm của phương trình: ( ) 1 f x x m a =- + (1) b2. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , A B x x và sử dụng hệ thức “Vi- et” để tính ? , . ? A B A B x x x x+ = = (theo m ) b3. Tính tọa độ trung điểm I của AB và lý luận I thuộc d ta sẽ tìm được m . Từ đó suy ra tọa độ ,A B BÀI TẬP B1. Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ) 2 : 1 x C y x = + sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1d y x= + đáp số: 2 2 2 2 ;1 , ;1 2 2 2 2 A B æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø B2. Chứng minh rằng đồ thị ( ) 1 : 1 x C y x - = + nhận đường thẳng :d y x=- làm trục đối xứng B3. Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ) 2 : 1 x C y x = - sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1d y x= - đáp số: 2 2 2 2 ; 1 , ; 1 2 2 2 2 A B æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - - + - - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø B4. Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ) ( ) 2 3 4 : 2 1 x x C y x - + = - sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y x= . đáp số: 1,2 15 57 6 x ± = 9. Quỹ tích điểm (dạng xác định) 10. đồ thị đối xứng qua một điểm cho trước. B1. Cho họ đường ( ) ( ) ( ) 2 1 : 1 m x m mx C y x - + = + , với m là tham số thực. Chứng minh rằng ( ) m C và ( ) m C - đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. HD. + Từ ( ) m C suy ra ( ) m C - + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ; 1 m x m mx M x y C y x - + Î Û = + (1) Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 6 + Gi ( ) ' '; 'M x y l im i xng vi M qua O, ta cú: ' 0 ' ' 0 ' x x x x y y y y ỡ ỡ + = =- ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = =- ù ù ợ ợ (2) + Thay (2) vo (1) v chng minh ( ) ' m M C - ẻ + Kt lun B2. Cho ( ) 2 2 2 2 : 1 m x m x m C y x + + = + , vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho ( ) m C cú hai im i xng vi nhau qua gc ta O. ỏp s: { } 2 2 ; ; \ 1 2 2 m ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ẻ - Ơ - ẩ +Ơ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ B3. Tỡm cỏc im thuc th ( ) 2 1 : 1 x x C y x - + = - sao cho chỳng i xng vi nhau qua im ( ) 2;1I B4. Cho ( ) 3 2 : 9 4 m C y x mx x= + + + , vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho ( ) m C cú hai im i xng vi nhau qua gc ta . ỏp s: 0m < B9. Cho ( ) 3 2 : 7 3 m C y x mx x= + + + , vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho ( ) m C cú hai im i xng vi nhau qua gc ta . B10. Cho ( ) ( ) 3 2 2 2 : 3 3 1 1 m C y x mx m x m= - + - + - , vi m l tham s thc. Xỏc nh m sao cho ( ) m C cú hai im i xng vi nhau qua gc ta . B5. Tỡm trờn th ( ) 3 4 : 2 1 x C y x + = - cỏc cp im i xng vi nhau qua im ( ) 1;1I ỏp s: ( ) ( ) 1 3;1 3 , 1 3;1 3A B- - + + B6. Tỡm trờn th ( ) 2 2 : 1 x x C y x + + = - cỏc cp im i xng vi nhau qua im 5 0; 2 I ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ỏp s: ( ) ( ) 3; 2 , 3;7A B- - B7. Tỡm th ( ) ( ) ' :C y g x= i xng vi th ( ) ( ) 2 1 : 2 x C y x - = - qua im ( ) 1;1I . ỏp s: ( ) 2 1 ' : x C y x + = B8. Tỡm th ( ) ( ) ' :C y g x= i xng vi th ( ) 3 2 : 2 3 5 1C y x x x= + + + qua im ( ) 1;2I . ỏp s: ( ) 3 2 ' : 2 15 41 35C y x x x= - + - B9. Tỡm th ( ) ( ) ' :C y g x= i xng vi th ( ) 2 1 : 1 x x C y x - + = - qua im ( ) 2;1I . 11. th i xng qua mt ng thng cho trc. Bi toỏn 1. Chng minh rng ( ) ( ) :C y f x= nhn ng thng x a= lm trc i xng phng phỏp Trn Chớ Thanh ( im v th hm s ) Page 7 + Đặt x a X y Y ì = + ï ï í ï = ï î và thay vào phương trình ( ) y f x= ,ta được ( ) Y F X= +chứng minh ( ) Y F X= là hàm số chẵn Bài toán 2. Tìm trục đối xứng dạng x a= của ( ) ( ) :C y f x= HD. + Đặt x a X y Y ì = + ï ï í ï = ï î và thay vào phương trình ( ) y f x= ,ta được ( ) Y F X= + lý luận x a= là trục đối xứng của ( ) C Û ( ) Y F X= là hàm số chẵn Û các hệ số bậc lẻ của F(X) bằng 0. Từ đó suy ra giá trị của a B1. Cho họ đường ( ) 1 : m mx C y x m + = + , với m là tham số thực và 1m ¹ ± . Chứng minh rằng ( ) m C và ( ) m C - đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y x= . B2. Chứng minh rằng đường thẳng x = 1 là trục đối xứng của đồ thị ( ) 4 3 2 : 4 2 12 1C y x x x x= - - + - Từ đó giải phương trình 4 3 2 4 2 12 1 0x x x x- - + - = B3. Chứng minh rằng trục hoành là trục đối xứng của đồ thị a. ( ) 2 : 2 3C y x x= - - b. ( ) 2 : 2 3C y x x= - - B4. Chứng minh rằng đồ thị ( ) 2 1 : 1 x C y x - = - có hai trục đối xứng lần lượt là 1 : 1d y x= + và 2 : 3d y x=- + B5. Tìm đồ thị ( ) ( ) ' :C y g x= đối xứng với đồ thị ( ) 2 2 : 2 x x C y x + - = - qua đường thẳng : 2d y = HD. + Ta có ( ) ( ) 2 2 ; 2 x x M x y C y x + - Î Û = - (1) + Gọi ( ) ' '; 'M x y là điểm đối xứng với M qua đường thẳng : 2d y = , ta có: ' ' ' 4 2 2 x x x x y y y y ì = ï ì ï = ï ï ï Û í í + ï ï = - = ï î ï ï î (2) + Thay (2) vào (1) ta được phương trình của ( ) ( ) 2 3 6 ' : 2 x x C y g x x - + - = = - B6. Tìm đồ thị ( ) ( ) ' :C y g x= đối xứng với đồ thị ( ) 2 2 3 7 : 1 x x C y x - + = - qua đường thẳng : 2d x = HD. + Ta có ( ) ( ) 2 2 3 7 ; 1 x x M x y C y x - + Î Û = - (1) + Gọi ( ) ' '; 'M x y là điểm đối xứng với M qua đường thẳng : 2d x = , ta có: Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 8 ' 4 ' 2 2 ' ' x x x x y y y y ì + ï ì ï = - = ï ï ï Û í í ï ï = ï î ï = ï î (2) + Thay (2) vào (1) ta được phương trình của ( ) ( ) 2 2 13 17 ' : 3 x x C y g x x - + = = - B7. Chứng minh rằng ( ) 3 5 : 2 1 x C y x - + = - có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận của ( ) C B8. Chứng minh rằng ( ) 2 2 3 1 : 2 x x C y x - + = + có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận của ( ) C B9. Chứng minh rằng ( ) 2 1 : 1 x x C y x - + = - có hai trục đối xứng lần lượt là ( ) 1 : 1 2 2d y x= - + và ( ) 2 : 1 2 2d y x= + - B10. Tìm đồ thị ( ) ( ) ' :C y g x= đối xứng với đồ thị ( ) 2 2 5 3 : 1 x x C y x + - = - qua đường thẳng : 1d y =- . B11. Tìm đồ thị ( ) ( ) ' :C y g x= đối xứng với đồ thị ( ) 2 4 7 1 : 3 2 x x C y x - + - = - qua đường thẳng : 1d x = B12. Tìm đồ thị ( ) ( ) ' :C y g x= đối xứng với đồ thị ( ) 3 2 : 3 5 10 2C y x x x= - + - qua đường thẳng : 2d x =- Bài tập làm thêm. 1. Chứng minh rằng đồ thị ( ) 1 : 1 x C y x - = + nhận đường thẳng : 2d y x= + làm trục đối xứng 2. Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ) 1 : 1 x C y x - = + sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là nhỏ nhất. đáp số: ( ) 1 2;1 2M - + - 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ) 1 : 2 x C y x + = - sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là nhỏ nhất. đáp số: 1 0; 2 M æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø 4. Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ) 2 1 : 3 x C y x + = - sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 9 đáp số: ( ) ( ) 1 2 3 7;2 7 , 3 7;2 7M M+ + - - 5. Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ) 2 1 : 1 x C y x + = + sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. đáp số: ( ) ( ) 1 2 0;1 , 2;3M M - 6. Chứng minh rằng với mọi 0m ¹ , họ đường ( ) ( ) 1 : m m x m C y x m + + = + luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. 7. M là một điểm bất kỳ trên đồ thị ( ) 2 1 : 1 x C y x - = - có hoành độ M x m= , tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và tam giác IAB có diện tích không đổi khi m thay đổi. Biết I là tâm đối xứng của ( ) C . 8. Tìm hai điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của ( ) 1 : 1 x C y x + = - sao cho đoạn AB ngắn nhất. Viết phương trình của đường thẳng AB. đáp số: ( ) ( ) 1 2;1 2 , 1 2;1 2A B- - + + và đường thẳng AB: y = x 9. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của ( ) 2 4 : 1 x C y x - = - sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất. đáp số: ( ) ( ) 1 2;2 2 , 1 2;2 2M N- + + - 10. Cho đồ thị ( ) 2 4 : 1 x C y x + = + a). Gọi ( ) 0 0 ;M x y là một điểm bất kỳ trên ( ) C . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( ) C bằng một hằng số (không phụ thuộc 0 0 ,x y ). b). Gọi I là tâm đối xứng của ( ) C . Tìm điểm H thuộc ( ) C sao cho đoạn IH ngắn nhất. Chứng minh rằng khi đó tiếp tuyến của ( ) C tại H vuông góc với IH. đáp số: a). 2 b). ( ) ( ) 1 2 1 2;2 2 , 1 2;2 2H H- + + - - = 11. Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( ) 3 : 1 x C y x + = + cắt hai đường tiệm cận của ( ) C lần lượt tại A, B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB. 12. Cho đồ thị ( ) 2 1 : 2 x C y x + = + và đường thẳng :d y x m=- + , m là tham số thực. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Tìm tọa độ A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất. đáp số: ( ) ( ) 2 3;2 3 , 2 3;2 3A B- - + - + - 13. M là một điểm thuộc đồ thị ( ) 2 1 : 1 x C y x + = + có hoành độ ( ) 1x a a= ¹ - . Chứng minh rằng diện tích của tam giác được tạo bởi tiếp tuyến của ( ) C tại M và hai đường tiệm cận của ( ) C bằng một hằng số không phụ thuộc M. Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 10 [...]...đáp số: S = 2 Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 11 . của ( ) C tại M và hai đường tiệm cận của ( ) C bằng một hằng số không phụ thuộc M. Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 10 đáp số: S = 2 Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page. đường thẳng (4) và chúng thẳng hàng Trần Chí Thanh ( điểm và đồ thị hàm số ) Page 1 3. Tìm điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường ( ) m C không đi qua, với mọi m. Sơ đồ giải b1. Gọi điểm ( ) 0. x x= + + 6. Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn tính chất K cho trước. Bài toán. Tìm điểm thuộc đồ thị ( ) ( ) :C y f x= thỏa mãn tính chất K cho trước Sơ đồ giải b1. Lấy điểm ( ) 1 1 ;M