Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ Phần I : Đặt vấn đề I - Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng. Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả. Trong chơng trình đại số THCS, việc giải phơng trình chỉ dừng lại ở phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai là chủ yếu. Khi gặp phơng trình bậc cao học sinh gặp rất nhiều khó khăn, thậm trí không có phơng án giải. Điều đó cũng dễ hiểu bởi do nhiều lí do mà sách giáo khoa không đa ra các phơng pháp giải phơng trình bậc. Chính vì vậy việc nhận dạng, phân loại và có phơng pháp giảI cho từng dạng ph- ơng trình bậc cao, giúp cho học sinh định hớng và giải đơc các phơng trình bậc cao là hết sc cần thiết. Đó chính là lí do tôi chọn đề tài này. II nhiệm vụ nghiên cứu : - Phân loại các dạng phơng trình bậc cao. - Tìm phơng pháp giải các dạng phơng trình bậc cao. - Các ví dụ minh họa. - Các bài luyện tập. II - Đối tợng nghiên cứu : Học sinh lớp 9 trờng THCS Nghĩa Phúc, huyện Nghĩa Hng, tỉnh Nam Định. III - Phạm vi nghiên cứu: Phơng trình bậc cao một ẩn với hệ số nguyên. Phần II : Nội dung I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn: Khi dạy giải phơng trình bậc cao, phần bài tập trong SGK và SBTĐS lớp 9 là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh. Nhng thực tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải đợc các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng thể loại bài tập. Qua 2 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ quá trình dạy phơng trình bậc cao, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp. Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học sinh nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau: - Các khái niệm : Phơng trình, phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai, phơng trình bậc bậc cao. Nghiệm của phơng trình. - Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số. - Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng, các phép biến đổi tơng đơng phơng trình. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Hệ quả định lý Bơdu. - Sơ đồ Hooc ne. - Cách nhẩm nghiệm một phơng trình. II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể: A - Nội dung lý thuyết cơ sở: 1. Phơng trình, nghiệm của phơng tình : Cho A( x 1 ,x 2 ,,x n ) và B( x 1 ,x 2 ,,x n )là hai biểu thức chứa các biến x 1 ,x 2 ,,x n với các hệ số thuộc R. Khi phải tìm phần tử (a 1 ,a 2 ,.,a n ) R sao cho các giá trị t- ơng ứng của hai biểu thức bằng nhau, tức là : A(a 1 ,a 2 ,.,a n ) = B(a 1 ,a 2 ,.,a n ) thì ta viết : 3 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ A(x 1 ,x 2 ,,x n ) = B( x 1 ,x 2 ,,x n ) và gọi đẳng thức đó là một phơng trình. Các biến x 1 ,x 2 ,,x n gọi la các ẩn của phơng trình. Tập xác định của phơng trình: là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phơng trình đều có nghĩa. Mỗi phần tử (a 1 ,a 2 ,.,a n ) R thỏa mãn đẳng thức : A(a 1 ,a 2 ,.,a n ) = B(a 1 ,a 2 ,.,a n ) đợc gọi là một nghiệm của phơng trình. Việc tìm nghiệm thuộc R đợc gọi là giải phơng trình. - Phơng rình bậc nhất : Là phơng trình có dạng : ax + b = 0 ( a 0) Trong đó xlà ẩn ; a, b là các hệ số Cách giải : + Nếu a 0 Pt có nghiệm duy nhất : x = a b + Nếu a = 0 Pt có dạng : 0x = -b . b 0 => 0x = b . Pt vô nghiệm. . b = 0 => 0x = 0 . Pt có vô số nghiệm x R. - Phơng trình bậc hai : Là phơng trình có dạng : ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) Trong đó xlà ẩn ; a, b,c là các hệ số Cách giải : Theo lợc đồ sau. . Ví dụ. Giải phơng trình sau: a, x 2 + 3x - 1 = 0 Có : a = 1; b = 3 ; c = -1 Xác định các hệ số a,b,c ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) Tính a + b + c Phơng trình có 2 nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = a c Tính a - b + c Phơng trình có 2 nghiệm x 1 = -1 ; x 2 = a c Tính Phơng trình vô nghiệm Phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b 2 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 = a b 2 + ; x 2 = a b 2 = 0 = 0 0 0 < 0 > 0 = 0 2 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ = 3 2 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 2 133 + ; x 2 = 2 133 b, 4x 2 - 4x + 1 = 0 Có : a = 4; b = -4; c = 1 = (-2) 2 - 4.1 = 4 - 4 = 0. Phơng trình có nghiệm kép : x 1 = x 2 = 2 1 4 )2( = c, 3x 2 + 5x + 4 = 0 Có : a = 3; b = 5; c = 4 = 5 2 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phơng trình vô nghiệm. d, 7x 2 + 23x - 30 = 0 Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phơng trình có 2 nghiệm : x 1 = 1 ; x 2 = 7 30 e, x 2 - 60x - 61 = 0 Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phơng trình có hai nghiệm : x 1 = -1 ; x 2 = 61 - Phơng trình bậc cao : là pt dạng a n x n + a n - 1 x n - 1 + +a 1 x + a 0 = 0 (a n x n + a n - 1 x n - 1 + +a 1 x + a 0 là đa thức bậc n ( n 3) ) Trong đó xlà ẩn ; a n ,a n - 1 , .,a 1 ,a 0 là các hệ số Cách giải phơng trình bậc cao chính là nội dung chính của đề tài này và đợc nghiên cứu ở phần sau. 2. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 3. Các định lý về biến đổi tơng đơng các phơng trình : a, Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : x 4 - 24x = 32 x 4 - 24x + 4x 2 + 4 = 32 + 4x 2 + 4 ( Cộng 4x 2 + 4 vào 2 vế ) Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : 2x - 7 = 4x + 9 2x - 4x = 9 + 7 ( Chuyển vế đổi dấu hai hạng tử 4x và -7 ) 3 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ Hệ quả 2 : Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : - 4x + x 2 -5 = 2x + x 2 - 4x -5 = 2x ( Xóa hạng tử x 2 ở hai vế ) b, Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : 2 1 x 2 - 3x = 4 3 2x 2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 ) 4. Hệ quả định lí Bơdu: x = là nghiệm của đa thức f(x) f(x) chia hết cho nhị thức x - Định lí này giúp chúng ta đa Pt bậc cao về phơng trình tích ( quy về giải các ph- ơng trình có bậc thấp hơn) : Phơng trình : a n x n + a n - 1 x n - 1 + +a 1 x + a 0 = 0 (*) nếu có nghiệm x = Thì (*) <=> (x - )(a n x n - 1 + b n x n-2 + + b 1 x + b 0 ) = 0 5. Sơ đồ Hoocne: Giả sử g(x) = b n - 1 x n -1 + b n - 2 x n - 2 + +b 1 x + b 0 và r là thơng và d của phép chia đa thức f(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 cho nhị thức x - . Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau: a n a n-1 a n-2 a 1 a 0 b n-1 (=a n ) b n-2 (= b n-1 +a n-1 ) b n-3 (= b n-2 +a n-2 ) b 0 (= b 1 +a 1 ) r (= b 0 +a 0 ) 6. Nghiệm (nếu có) của một phơng trình: Phơng trình a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 = 0 - Nghiệm nguyên của Pt phải là ớc của a 0 - Nghiệm hữu tỷ của Pt có dạng q p ( trong đó p là ớc của a 0 ; q là ớc dơng của a n ). Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ + Nếu m + n = 0 Pt có nghiệm x = 1 + Nếu m - n = 0 Pt có nghiệm x = -1 4 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn: - Cung cấp cho học sinh những nội dung lí thuyết trên. - Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao: I. Nhẩm nghiệm của Pt, đa Pt về Pt tích : a) Ví dụ 1. Giải phơng trình : x 3 + 5x 2 + 3x - 9 = 0 (*) Giải: Pt có tổng các hệ số bằng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nên có một nghiệm nguyên x = 1. Sử dụng sơ đồ Hoocne có : 1 5 3 -9 1 1 6 9 0 (*) <=> (x - 1)(x 2 + 6x + 9) = 0. Tìm đợc x 1 = 1; x 2,3 = -3 b, Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x 3 - 14x 2 + 4x + 3 = 0 (*) Giải: Ta thấy Pt có nghiệm hữu tỉ x = 3 1 , nên khi phân tích VT của Pt thành nhân tử, sẽ có nhân tử 3x + 1. Khi đó ngoài việc sử dụng sơ đồ Hoocne ta có thể dùng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất hiện nhân tử 3x + 1: (*) 3x 3 + x 2 - 15x 2 - 5x+ 9x + 3 = 0 x 2 (3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0 (3x + 1)( x 2 - 5x+ 3) = 0 . Nghiệm Pt : x 1 = 3 1 ; x 2,3 = 2 135 . * Bài luyện tập BT1 : Giải các phơng trình : a, 2x 3 - 5x 2 - 3x = 0 b, x 3 - 7x + 6 = 0 c, x 3 - 5x 2 + x + 5 = 0 d, x 3 - 13x 2 - 42x - 36 = 0 e, x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x - 12 = 0 f, 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5 = 0 II. Các dạng đặc biệt : 1. Phơng trình tam thức : Phơng trình tam thức là phơng trình có dạng : ax 2n + bx n + c = 0 ( a 0) Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dơng và n 2 - Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n = 2 thì ta có phơng trình trùng phơng : ax 4 + bx 2 + c = 0 . 5 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ Ví dụ. Giải phơng trình : x 4 - 4x 2 + 3 = 0 Đặt x 2 = t . Điều kiện t 0 Phơng trình đã cho có dạng : t 2 - 4t + 3 = 0 Có : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = 3 + Với t 1 = 1 = > x 2 = 1 + Với t 2 = 3 = > x 2 = 3 Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x 1 = - 3 ; x 2 = -1; x 3 = 1; x 4 = 3 - Khi n > 2 . Đặt x n = t , để tìm nghiệm của phơng trình ta giải hệ : x n = t at 2 + bt + c = 0 Ví dụ 1. Giải phơng trình : x 6 - 9 x 3 + 8 = 0 Giải: Đặt x 3 = t , ta có : t 2 - 9 t + 8 = 0 => t 1 = 1 => x 1 = 1 t 2 = 8 => x 2 = 2 Ví dụ 2. Giải phơng trình : x 8 + 6x 4 - 7 = 0 Giải: Đặt x 4 = t ( t 0) Pt đã cho có dạng : t 2 + 6t - 7 = 0 => t 1 = 1 => x = 1 t 2 = -7 ( loại). * Bài luyện tập BT2 . Giải các phơng trình : a, x 4 + 4x 2 - 5 = 0 b, x 6 - 7x 3 - 8 = 0 c, x 8 + x 4 - 2 = 0 d, x 10 - 10x 5 + 31 = 0 2. Phơng trình đối xứng. Một phơng trình dạng : a n x n + a n - 1 x n - 1 + + a 1 x + a 0 = 0 trong đó vế trái là đa thức bậc n đợc gọi là phơng trình đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau, nghĩa là : a n = a 0 , a n - 1 = a 1 ,. Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ. Ví dụ 1. Giải phơng trình : x 4 + 6x 3 + 11x 2 + 6x + 1 = 0 Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x 2 0 ta có : x 2 + 6x+ 11 + x 6 + 2 1 x = 0 x = 1 x = -1 x = 3 x = - 3 6 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ (x 2 + 2 1 x ) + 6( x+ x 1 ) + 11 = 0 Đặt x+ x 1 = t x 2 + 2 1 x + 2 = t 2 x 2 + 2 1 x = t 2 - 2 Pt có dạng : t 2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3) 2 = 0 => t = -3 x+ x 1 + 3 = 0 => x 2 + 3x+1 = 0 . Nghiệm Pt : x 1,2 = 2 53 Ví dụ 2. Giải phơng trình : 3x 6 - 4x 5 + 2x 4 - 8x 3 + 2x 2 - 4x + 3 = 0 (*) Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x 2 0 ta có : 3x 3 - 4x 2 + 2x - 8 + x 2 - 2 4 x + 3 3 x = 0 3(x 3 + 3 1 x ) - 4( x 2 + 2 1 x ) + 2(x+ x 1 ) - 8 = 0 Đặt x+ x 1 = t x 2 + 2 1 x = t 2 - 2 x 3 + 3 1 x = t 3 - 3t Pt đã cho có dạng : 3 ( t 3 - 3t) - 4( t 2 - 2) + 2t - 8 = 0 3t 3 - 4t 2 - 7t = 0 t ( 3t 2 - 4t -7) = 0 t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0 => (*) ( x 2 + 1) ( x 2 + x +1) ( 3x 2 - 7x + 3) = 0. x 2 + 1 = 0. Pt vô nghiệm 3x 2 - 7x + 3 = 0. Pt có 2 ngiệm: x 1,2 = 6 137 Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = 6 137 Ví dụ 3. Giải phơng trình : 2x 5 + 3x 4 - 5x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 (*) Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5), ta không thể giải ngay tơng tự nh VD1 và VD2. Ta nhận thấy Pt đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một nghiệm là x = -1 Khi đó (*) (x + 1)( 2x 4 + x 3 - 6x 2 + x + 2) = 0 . x + 1 = 0 2x 4 + x 3 - 6x 2 + x + 2 = 0 ( Pt đối xứng bậc chẵn đã biết cách giải ) Chú ý: Nếu m là nghiệm của phơng rình đối xứng thì m 1 cũng là nghiệm của phơng trình đó. x 2 + x +1 = 0. Pt vô nghiệm 7 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ * Cách chia cả hai vế của Pt cho x 2 0 cũng đợc sử dụng đối với các Pt có dạng : ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 trong đó 2 = b d a e gọi là phơng trình hồi quy .Để giải Pt dạng này ta đặt ẩn phụ : t = x + bx d Ví dụ. Giải phơng trình : x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 = 0 (*) Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x 2 0 ta có : (x 2 + 2 1 x ) + 6 ( x - x 1 ) + 7 = 0 . Đặt x - x 1 = t x 2 + 2 1 x = t 2 + 2 Pt đã cho có dạng : t 2 + 2 + 6t + 7 = 0 ( t 2 + 3 ) 2 = 0 (*) ( x 2 + 3x - 1) 2 = 0. Nghiệm của Pt (*): x 1,2 = 2 73 * Bài luyện tập BT3 . Giải các phơng trình : a, x 4 - 7x 3 + 14 x 2 - 7x + 1 = 0 b, x 6 + 3x 5 - 30x 4 - 29 x 3 - 30 x 2 + 3x + 1 = 0 c, x 5 - 5x 4 + 4x 3 + 4x 2 - 5x + 1 = 0 d, x 4 - 3x 3 - 6x 2 + 3x + 1 = 0 e, x 4 + 3x 3 - 14 x 2 - 6x + 4 = 0 3. Phơng trình dạng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*) trong đó a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n Cách giải : (*) [(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r [adx 2 + (a.l + d.m)x + ml][ bcx 2 + (b.k + c.n)x + nk] = r Do a.d = b.c và a.l + d.m = b.k + c.n . Nên đặt adx 2 + (a.l + d.m)x = t Khi đó Pt có dạng At 2 + Bt + C = 0. Giải Pt tìm t . Sau đó giải Pt : adx 2 + (a.l + d.m)x = t ta tìm đợc nghiệm của Pt đã cho. Ví dụ 1. Giải phơng trình : ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) = 4 (*) Giải [ ( 4x + 1) ( 3x + 2)] [ ( 12x - 1) ( x + 1)] = 4 ( 12x 2 + 11x + 2)( 12x 2 + 11x - 1) = 4 Đặt 12x 2 + 11x = y ( y + 2) ( y - 1) - 4 = 0 8 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ y 2 + y - 6 = 0 = > y = 2 ; y = - 3 (*) (12x 2 + 11x - 2) (12x 2 + 11x + 3) = 0 .Giải tiếp ta có nghiệm : x 1,2 = 24 21711 Ví dụ 2. Giải phơng trình : (x 2 + 5x + 6)(x 2 + 9x + 20) = 24 (*) Giải (*) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24 [( x + 2) ( x + 5)][ ( x + 3) ( x + 4)] = 24 (x 2 + 7x + 10)( x 2 + 7x + 12) - 24 = 0 Đặt x 2 + 7x + 11 ( = ( ) ( ) 2 127107 22 +++++ xxxx ) = t Pt có dạng : (t - 1)(t + 1) - 24 = 0 t 2 = 25 t = 5 (*) ( x 2 + 7x + 6) ( x 2 + 7x + 16) = 0 ( x + 1) ( x + 6) ( x 2 + 7x + 16) = 0 . Ta tìm đợc nghiệm : x 1,2 = -6 ; -1 * Bài luyện tập BT4 . Giải các phơng trình : a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8 b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680 c, (4x + 3) 2 (x + 1) (2x + 1) = 810 d, (x 2 + 4x + 3)(x 2 + 12x + 35) + 15 = 0 4. Phơng trình dạng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx 2 trong đó a.d = b.c Cách giải Nhóm [(x + a)( x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx 2 rồi đặt ẩn phụ x ad xt += Ví dụ. Giải phơng trình : (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x+ 12) = 4x 2 Giải Ta nhóm nh sau : [(x + 2)(x+ 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x 2 (x 2 + 14x + 24)( x 2 + 11x + 24) = 4x 2 Vì x =0 không phải là nghiệm của Pt nên chia cả hai vế của Pt cho x 2 0 ta có : ++ ++ x x x x 24 11 24 14 = 4. Đặt x x 24 + = y, ta có : (y + 14)(y + 11) - 4 = 4 9 [...]... + 2x + 8)( x2 - 2x - 4) = 0 x2 - 2x - 4= 0 10 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ Pt đã cho có 2 nghiệm x1,2 = 1 5 5.2 Giải phơng trình : x4 + 2x3 - x2 - 2x -1 5 = 0 Giải x4 + 2x3 - x2 - 2x -1 5 = 0 x4 + 2x3 + x 2- 2x2 - 2x -1 5 = 0 (x2 + x)2 - 2( x2 + x) - 15 = 0 Đặt x2 + x = t Pt có dạng : t2 -2 t -1 5 = 0 t = 5 hoặc t = -3 (x2 + x - 5) (x2 + x + 3) = 0 Pt có nghiệm x1,2... 9x + 8) (x2 - 6x + 8) = 4x2 8 x Đặt x + 6 = t Nghiệm: x1,2= 7 12 3 ; x2 = -3 2 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ 13 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ b) x2 + 4x -1 2 c) 2x3 - 5x2 - 3x d) x4 + 4x2 - 5 e) x3 - 7x + 6 f) 3x3 - 7x2 + 17x - 5 g) 4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 3 3)Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24 b) ( x2... x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1) g h) (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1) 4) a) ( x - y) ( x - z) ( z - y) ( xz + yz + xy) b) ( a + b) ( b + c) ( a - c) c) ( b - c) ( c - a) ( a - b) ( a + b + c) d ) ( x - 2z) ( y - 2z) ( x + y) 15 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ e) (2x - y) ( 2x + z) ( y + z) ( 2x + y - z) f) 3( x2 + y2) (y2+ z2)( x + z) ( x - z) g) ( a - b) ( b - c)... ac = 8 3a + c = -1 4 (* ) ( x2 - 4x + 1) ( x 2 - 2x + 3) = 0 a = -4 c = -2 Pt có nghiệm x1,2 = 2 3 2 Hớng dẫn hoặc đáp số : BT1: b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0 c , ( x + 1)( x2 - 6x + 7) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 0; x2 = 3; x3 = 1 2 => Nghiệm Pt: x1 = 1; x2 = 2; x3 = -3 => Nghiệm Pt: x1 = -1 ; x2,3 = 3 2 d, (x - 3)(x2 - 10x + 12) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 3; x2,3 = 5 13 a, x(x - 3) ( 2x + 1) =... trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ e , (x -1 )(x + 2)( x2 + x + 6) = 0 => Nghiệm Pt: x1 = 1; x2 = - 2 f, ( 3x -1 ) ( x2 - 2x + 5) = 0 => Nghiệm Pt: x = 1 3 BT2: a, x1 = 1; x2 = - 1 b, Đặt x3 = t => t1 = - 1 => x1 = -1 t2 = 8 => x2 = 2 c, Đặt x4 = t ( t 0) => t1 = 1 => x1 = 1; x2 = - 1 t2 = - 2 ( Loại) d, Đặt x5 = t => t2 - 10t + 31 = 0 Vô nghiệm BT3: a, ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x... 1; 6; b) x = -1 ; -2 c) ( y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2) 2 + ( y - 2) ( y + 2) = ( y - 2) ( y -1 ) y=1;2 2 + x )2 + 4 (x2 + x) - 12 Đặt x2 + x = t t = 6 ; -2 d) ( x Với t = 6 x2 + x - 6 = 0 x = 2 ; -3 Với t = -2 đa thức x2 + x + 2 không có nghiệm e) ( x + 1)4 x = -1 1 3 7) a ) x = ; 3 2 b) x = -1 : -2 ; 3 c) x = -1 ; 2 ; 8 d) x = 2 1 2 e) x = f) x = 1 3 g) Đặt x2 + 8x + 11 = t t = 1 ; -1 Với t = 1 ... 5x2 + 2x + 1 e) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1 Một số bài tập áp dụng: 6) Tìm nghiệm của đa thức: a) x2 - 7x+ 6 b) x3 + 5x2 + 8x + 4 c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4 d) ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -1 2 e) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1 7) Giải phơng trình: a) 6x2 - 11x + 3 = 0 b) x3 - 7x - 6 = 0 c) x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0 d) x3 - x2 - x = 2 e) 2x3 - x2 + 5x + 3 = 0 f) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0 g) (x2 + 8x + 7)... - 3x2 = 0 j) ( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3 14 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ 8) Rút gọn 2 a) 3x 2 + 5 x 2 3x 7 x + 2 b) x 4 16 x 4 4x 3 + 8x 2 16 x + 16 Chỉ dẫn hoặc đáp số : 1) a) (x + 6) ( x - 2) b) x(x - 3) ( 2x + 1) c)(x - 1) ( x + 3)2 d) ( x - 1) ( x + 1) ( x2 + 5) e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3) f) ( 3x -1 ) ( x2 - 2x + 5) g) ( 2x +1) ( 2x3 - 3x2 + 9x -. ..Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ y2 + 25y + 150 = 0 Giải Pt ta đợc y1 = -1 0; y2 = -1 5 => x2 +10x +24 = 0 x2 +15x +24 = 0 Pt có 4 nghiệm x1 = -4 ; x2 = -6 ; x3,4 = 15 129 2 * Bài luyện tập BT5 Giải các phơng trình : a, 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2 b, (x - 8) (x - 4) (x - 2) (x - 1) = 4x2 5 Phơng trình dạng : (x + a)4 + (x + b)4... (y2+ z2)( x + z) ( x - z) g) ( a - b) ( b - c) ( c - a) h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c) i) ( a - b)( b - c) ( a - c) j) ( a2 - b) ( b2 - c) ( c2 - a) k) Dạng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz Kết quả (x + y) ( y + z) ( x + z) l) 3( x + y) ( y + z) ( x + z) a) b) ( x+ 2) ( x 4 - 4x 3 - 2x 2 - 9x + 2) = ( x+ 2) ( x2 + x + 2) ( x2 - 5x + 1) d) Dạng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d) . 2x 3 - x 2 - 2x -1 5 = 0 Giải x 4 + 2x 3 - x 2 - 2x -1 5 = 0 x 4 + 2x 3 + x 2 - 2x 2 - 2x -1 5 = 0 (x 2 + x) 2 - 2( x 2 + x) - 15 = 0 Đặt x 2 + x = t Pt có dạng : t 2 -2 t -1 5. bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ 13 Phơng trình bậc cao Nguyễn Văn Minh - THCS Nghĩa Phúc - NH - NĐ b) x 2 + 4x -1 2 c) 2x 3 - 5x 2 - 3x d) x 4 + 4x 2 - 5 e) x 3 - 7x. z 2 )( x + z) ( x - z) g) ( a - b) ( b - c) ( c - a) h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c) i) ( a - b)( b - c) ( a - c) j) ( a 2 - b) ( b 2 - c) ( c 2 - a) k) Dạng : xy ( x + y) + xz