Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đề tài: "Một số kinh nghiệm Giải bài toán cực trị đại số" Phần thứ nhất mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Nh chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những dạng toán khó, lại hay thờng gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS. Mặc dầu vậy, chúng ta vẫn cha có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những phơng pháp, những dạng toán cơ bản thờng gặp và cũng cha có một phơng pháp tìm cực trị nào tối u cho mọi dạng toán. ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với HS. Với những lí do nh vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị Đại số. Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả. II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu: 1. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai lầm thờng mắc phải. - Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải. - Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị. ********************************************************************************* 1 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** 2. Mục đích nghiên cứu: Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể vận dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể. Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phơng pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tơng tự. III. Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu: 1. Đối t ợng nghiên cứu: - Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9) 2. Ph ơng pháp nghiên cứu: - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. - Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện. - Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. - Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp ********************************************************************************* 2 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Phần thứ hai. nội dung đề tài I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định trên miền D và ,M m R . Ta nói: M là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của , ),( yxf trên D nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn: i) Với mọi x, y, . . . D thì F(x,y, . . .) M (hoặcF(x,y, . . .) m ), ii) Tồn tại x 0 , y 0 , . . . D sao cho F(x 0 ,y 0 , . . .) = M (hoặc = m) 2. Chú ý: Để tranh sai lầm thờng mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến miền giá trị của biến. Rèn những phản xạ sau: + Chứng tỏ F(x,y, . . .) M (hoặc F(x,y, . . .) m ) với mọi x, y, . . . D + Chỉ ra sự tồn tại x 0 , y 0 , . . . D để F(x 0 ,y 0 , . . .) đạt cực trị. Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của MinAA, là giá trị nhỏ nhất của A II. Những sai lầm th ờng g ặp khi giải toán cực trị: 1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 544 3 2 + = xx A Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có: xxxx +=+ ,44)12(544 22 x xx + , 4 3 544 3 2 2 1 4 3 == xAMax ********************************************************************************* 3 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhng khi khẳng định A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra nhận xét tử mẫu là các số dơng. Ta đa ra một ví dụ: Xét biểu thức 4 1 2 = x B Với lập luận phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi 0=x , ta sẽ đi đến: 4 1 max =B không phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với 3=x thì 4 1 5 1 . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 44)12(544 22 +=+ xxx nên tử và mẫu của A là các số dơng. Hoặc từ nhận xét trên suy ra 0 > A , do đó A lớn nhất khi và chỉ khi A 1 nhỏ nhất 544 2 + xx nhỏ nhất. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22 yxA += biết 4=+ yx Lời giải sai: Ta có: xyyxA 2 22 += Do đó, A nhỏ nhất xyyx 2 22 =+ 2== yx Khi đó 822 22 =+=MinA Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh đợc ),(),( yxgyxf , chứ cha chứng minh đợc myxf ),( với m là hằng số. Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng 44 2 xx sẽ suy ra: 2 x nhỏ nhất 20)2(44 22 === xxxx . Dẫn đến: 24 2 == xMinx Dễ thấy kết quả đúng phải là: Min 00 2 == xx Lời giải đúng: Ta có: 1624)( 2222 =++=+ yxyxyx )1( Ta lại có: 020)( 222 + yxyxyx )2( Từ )1( , )2( : 816)(2 2222 ++ yxyx Vậy 28 === yxMinA 2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: ********************************************************************************* 4 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: xxA += Lời giải sai: 4 1 2 1 4 1 4 1 2 += ++=+= xxxxxA Vậy 4 1 =MinA Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh , 4 1 )( xf cha chỉ ra trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức . 4 1 )( xf Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi , 2 1 =x vô lý. Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có 0x Do đó 0+= xxA Min 00 == xA Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của: ))(()( xzxyyxxyzA +++= Với 0,, zyx và 1=++ zyx Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 2 )(4 baab + 1)()(4 2 =+++ zyxzyx 1)()(4 2 =+++ xzyxzx 1)()(4 2 =+++ yxzyxx Nhân từng vế (do hai vế đều không âm) 1)))((64 +++ xzxyyxxyz 64 1 =MaxA Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để 64 1 =A là: ********************************************************************************* 5 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình =++ =+ =+ =+ 0,, 1 zyx zyx yxz xzy zyx =++ === 0,, 1 0 zyx zyx zyx Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 .31 xyzzyx ++= )1( 3 ))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx ++++++++= )2( Nhân từng vế )1( với )2( do 2 vế đều không âm) 3 3 9 2 .92 AA 3 1 9 2 3 === = zyxMaxA III. một số ph ơng pháp giải bài toán tìm c ực trị đại số 1. Ph ơng pháp tam thức b ậc hai: a, Nội dung ph ơng pháp: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phơng một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. b, Ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai. Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 18 2 += xxA 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 142 2 += xxB 3/ Tìm giá trị nếu có của 143 2 += xxC 4/ Cho tam thức bậc hai 2 P ax bx c= + + -Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 0>a -Tìm giá trị lớn nhất của P nếu 0<a HD giải: Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. 1/ 1515)4(18 22 =+= xxxA 415min == xA 2/ 11)1(2142 22 =+= xxxB 11min == xB ********************************************************************************* 6 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình mâu thuẫn Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** 3/ 3 7 3 7 3 2 3143 2 2 + =+= xxxC 3 2 3 7 max == xC 4/ c acb a b xa a c x a b xacbxaxP 4 4 2 2 2 22 = ++=++= + Nếu a b x a acb Pa 24 4 min:0 2 = => + Nếu a b x a acb Pa 24 4 max:0 2 = =< Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 )1( ++= xxA HD: )1( 2 ++ xxMinMinA Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: [ ] )()( 2 NkxfB k = VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của )7)(4)(3( = xxxxC HD: Dùng phơng pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai. VD: Tìm giá trị lớn nhất của 544 3 2 + = xx M -Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phơng nhị thức. VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 )1( 1 + ++ = x xx P HD: 2 )1( 1 1 1 1 + + + = x x P ********************************************************************************* 7 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đặt , 1 1 + = x y có 4 3 4 3 2 1 1 2 2 + =+= yyyP 1 2 1 4 3 === xyMinP Cách 2: Viết P dới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm: 4 3 1(2 1 4 3 )1(4 444 2 2 2 + += + + = x x x xx P , 1 4 3 == xMinP Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến: VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 3 yxxyA = Biết yx, là nghiệm của phơng trình: 1025 =+ yx Giải: Ta có: 2 510 1025 x yyx ==+ )10016059( 4 1 2 += xxA 25 59 160 4 59 2 += x 25 3481 6400 59 80 4 59 2 + = x 25 59 1600 59 80 4 59 2 + = x 59 125 59 80 4 59 59 125 2 = xA . Vậy = = = 59 95 59 80 59 125 max y x A c, Tiểu kết: Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai. 2. Ph ơng pháp miền giá tr ị của hàm số: a, Nội dung phơng pháp: ********************************************************************************* 8 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số )(xf với .Dx Gọi 0 y là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phơng trình (ẩn x ) sau có nghiệm: 0 )( yxf = )1( Dx )2( Tuỳ dạng của hệ )1( , )2( mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp, điều kiện ấy sẽ đa về dạng bya 0 )3( . Vì 0 y là một giá trị bất kỳ của )(xf nền từ )3( ta thu đợc: axfMin =)( và bxfMax =)( trong đó .Dx Nh vậy thực chất của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử dụng điều kiện .0 b, Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của: 1 1 2 2 ++ + = xx xx A Giải: Biểu thức A nhận giá trị khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm: 1 1 2 2 ++ + = xx xx a )1( Do 01 2 ++ xx nên )1( 1 22 +=++ xxaaxax )2(0)1()1()1)( 2 =+++ axaxa + TH1: Nếu 1 = a thì )2( có nghiệm 0 = x + TH2: Nếu 0a thì để )2( có nghiệm, cần và đủ là 0 , tức là: 0)1(4)1( 22 + aa 0)2214)(221( ++++ aaa 0)3)(13( aa )1(3 3 1 aa . Với 3 1 =a hoặc 3 = a thì nghiệm của )2( là: )1(2 )1( )1(2 )1( a a a a x + = + = ********************************************************************************* 9 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Với 3 1 =a thì ,1=x với 3 = a thì 1 = x Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có: 1 3 1 == xMinA , 13 == xMaxA Cách khác: 3 1 )1(2 3 1 242333 2 2 2 22 ++ + = ++ ++ = xx x xx xxxx A 13max == xA 3 1 )1(3 )1(2 3 1 )1(3 )12(2 )1(3 1 333 333 2 2 2 2 2 2 2 2 ++ += ++ + + ++ ++ = ++ + = xx x xx xx xx xx xx xx A 1 3 1 == xMinA Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là: 1/ Chứng minh: 3 1 1 3 1 2 2 ++ + xx xx 2/ Tìm điều kiện để phơng trình sau có nghiệm (vô nghiệm): 0 1 1 2 2 = ++ + m xx xx c, Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đa về hàm số bằng phơng pháp miền giá trị thờng đợc đa về phơng trình và tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Phơng pháp này có u điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phơng trình. 3. Ph ơng pháp sử d ụng các bất đẳng thức quen thuộc: a. Nội dung phơng pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số = = MxfDx DxMxf xMaxfM 00 (: ,)( )( ********************************************************************************* 10 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình [...]... ********************************************************************************* 16 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này Hy vọng rằng, nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán những điều thú vị và bổ... những sai sót, tôi rất mong các đồng chí, đồng nghiệp và các em học sinh chỉ bảo, đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm này đợc hoàn chỉnh hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! ********************************************************************************* 17 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ********************************************************************************... 1 3 x=y=z VD2: Tìm giá trị lớn nhất của: a/ A = x 1 + y 2 biết x + y = 4 ********************************************************************************* 12 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** x 1 + x b/ B = y2 y Giải: a/ Điều kiện: x 1; y 2 Bất đẳng thức Côsi cho phép làm... Ta có: A = x 2 + x 3 x 2 + 3 x = 1 MinA = 1 ( x 2)(3 x) 0 x 3 ********************************************************************************* 13 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi x 3 = 3 x để áp dụng bất đẳng thức giá... biến đổi đợc về dạng(x2+y2)2-3(x2+y2)+1+4x2=0 (2) (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x(3) ********************************************************************************* 14 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đặt u=x2+y2 Khi đó từ (3) ta có u2-3u+1 0 (4) Hay (3- 5 )/2 u (3+ 5 )/2 Giá trị... Côsi với 5 số không âm: 6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3x + 2 9 x 2 ********************************************************************************* 15 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** (HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x; 2 9 x 2 ) 7/ Tìm giá trị nhỏ nhất... với x>y>0 y + ( x y) 2 x 2 (HD: y(x-y) ; = 2 4 x+ 4 x x x 4 4 + + + 3 4 4 ) 3 = x 3 3 3 x 27 Phần thứ ba Kết luận Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng, mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình khi giải bài toán cực trị đại số nh trên Có những ví dụ tôi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so sánh và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài...Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** f ( x) M , x D m = Min f ( x) x0 D : f ( x 0 = m Nh vậy, khi tìm giá trị lớn... 1, , n : a1 + a 2 + + a n n a1 a 2 a 2 n 9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki: ********************************************************************************* 11 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Nếu (a1 , a 2 , a n ) và (b1 , b2 , bn ) là những số tuỳ ý, ta có: 2 2 2 2 2 2 (a1 . Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** Đề tài: "Một số kinh nghiệm Giải bài toán. những lí do nh vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị Đại số. Với mong muốn đợc trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo,. Yên Bình Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS ******************************************************************************** bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này. Hy