ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC: 2008 – 2009. Ngày thi: 31/03/2009 Bài 1: (4đ) Rút gọn. 1/. ( ) 2 3 2 3 3 2 3 2 24 8 6 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3 A      + = + + − + +  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ + + −      2/. 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5B = + + − − + Bài 2: (6đ) Giải phương trình, hệ phương trình sau: 1/. ( ) 2 2 2 2 14 2 8 8 14 8 24 0x x x x x x x + − + + − + + = 2/. 2 2 2 2 8 7 x y x y x y xy  + + + =  + + =  Bài 3: (2đ) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa 2a b c + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2a b c abc + + + < Bài 4: (4đ) Cho nửa đường tròn O bán kính R đường kính AB, M là điểm di động trên nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. Bài 5: (4đ) Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kỳ qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: 3 AB AC AM AN + = Hết HƯỚNG DẪN Bài 1: Rút gọn. 1/. HS tự biến đổi. Kết quả A = -5 2/. Tính 2 B rồi suy ra 2 5 5B = − Bài 2:Giải phương trình, hệ phương trình sau: 1/. ( ) 2 2 2 2 14 2 8 8 14 8 24 0x x x x x x x+ − + + − + + = 2 2 2 2 2 8 8 14 14 8 24 0x x x x x x x x x⇔ − + + + + − + + = ( ) ( ) 2 2 2 8 14 8 24 0x x x x x x⇔ − + + − + + = 2 2 8 2 8 12 x x x x x x  − + = −  ⇔  − + = −  • 2 2 2 2 8 2 8 4 4 x x x x x x x x ≥  − + = − ⇔  + = − +  (vô nghiệm) • 2 2 2 12 8 12 8 24 144 x x x x x x x x ≥  − + = − ⇔  + = − +  (vô nghiệm) Vậy PT đã cho vô nghiệm. 2/. 2 2 2 2 8 7 x y x y x y xy  + + + =  + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 1 1 7 2 7 x y x y xy x y xy x y xy − − = + − =   ⇔ ⇔   + + = + + =    ( ) 1 1 1 x y =  ⇔  =  . Thế x = 1 và y = 1 vào (2) ta tìm được các nghiệm của hệ là { } { } { } { } 1;2 , 1; 3 , 2;1 , 3;1− − Bài 3: Bài này có nhiều cách làm, sau đây là một trong số các hướng để HS suy nghĩ tìm lời giải: ( ) 2 2 2 2 4 2a b c a b c ab bc ca+ + = ⇔ + + = − + + .Từ đó : ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1a b c abc ab bc ca abc ab bc ca abc+ + + < ⇔ − + + + < ⇔ − − − + < Ta thấy rằng: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1a b c abc ab bc ca a b c abc ab bc ca− − − = − − − + + + − = − − − + − Cho nên BĐT ở trên trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0a b c a b c− − − + < ⇔ − − − < Ngoài ra do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa 2a b c+ + = nên 1, 1, 1a b c< < < Do đó BĐT ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0a b c− − − < đúng. Bài 4: (4đ) H D C O A B M 1/. OM là đường trung bình của hình thang ABCD suy ra DM = MC = d 2/. .2 ABCD S R d= , cho nên ( )ABCD max max S d⇔ 3/. Kẻ AH vuông góc với OM tại H, suy ra AHMD là hình chữ nhật suy ra d = AH Ta có: AH AO R ≤ = (AO là đường xiên). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H O≡ . Khi đó OM AB⊥ hay M là điểm chính giữa của cung AB Bài 5: (4đ) P Q N M G I A B C Kẻ BQ và CP lần lượt song song với MN (P, Q thuộc đường trung tuyến AI) Trong tam giác ABQ và APC có: AB AQ AM AG = , AC AP AN AG = Hai tam giác IBQ và ICP bằng nhau (g.c.g) nên IP = IQ. Từ đó AP + AQ = 2AI (xét 3 trường hợp) Bây giờ ta có thể suy ra 3 2 2. 3 2 AB AC AQ AP AI AM AN AG AG AG + = + = = = Hết . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC: 2008 – 2009. Ngày thi: 31/03/2009 Bài 1: (4đ) Rút gọn. 1/. ( ) 2 3 2 3 3 2 3 2 24. tại M, N. Chứng minh rằng: 3 AB AC AM AN + = Hết HƯỚNG DẪN Bài 1: Rút gọn. 1/. HS tự biến đổi. Kết quả A = -5 2/. Tính 2 B rồi suy ra 2 5 5B = − Bài 2 :Giải phương trình, hệ phương trình sau: 1/ 1; 3 , 2;1 , 3;1− − Bài 3: Bài này có nhiều cách làm, sau đây là một trong số các hướng để HS suy nghĩ tìm lời giải: ( ) 2 2 2 2 4 2a b c a b c ab bc ca+ + = ⇔ + + = − + + .Từ đó : ( ) 2 2 2 2