Các bài thi hình học của Tỉnh HD Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O 1 ) là đờng tròn tâm O 1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O 2 ) là đờng tròn tâm O 2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại D (D không trùng với A). 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông. 2) Chứng minh O 1 D là tiếp tuyến của (O 2 ). 3) BO 1 cắt CO 2 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. 4) Xác định vị trí của M để O 1 O 2 ngắn nhất. Câu IV (1đ) Cho 2 số dơng a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 4 4 1 1 a b ữ ữ Câu II Cho hệ phơng trình : mx y 2 x my 1 = + = 1) Giải hệ phơng trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Câu III Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt là P, Q, R. 1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông. 2) Đờng thẳng BI cắt QR tại D. Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đờng tròn. 3) Đờng thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt tại E và F. Chứng minh AE. CF = 2AI. CI. Câu III Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q. 1) Chứng minh BP = CQ. 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất. 3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB 2 = HA 2 + HC 2 . Tính góc AHC. Câu III Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đờng cao của tam giác (H BC). 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD. Chứng minh HM vuông góc với AC. 3) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R. Chứng minh : r + R AB.AC . Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đờng tròn ngoại tiếp tại I. 1) Chứng minh OI vuông góc với BC. 2) Chứng minh BI 2 = AI.DI. 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. Chứng minh rằng : ã ã BAH CAO= . 4) Chứng minh : ã à à HAO B C= . Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F. 1 1) Chứng minh AE = AF. 2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. Câu IV (1đ) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả m n phã ơng trình: 3 x 7 y 3200+ = . Câu III (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 1) Chứng minh rằng MN là đờng kính của đờng tròn đờng kính AH. 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. Chứng minh: BI = IC. Câu IV (1đ) Chứng minh rằng 5 2 là nghiệm của phơng trình: x 2 + 6x + 7 = 2 x , từ đó phân tích đa thức x 3 + 6x 2 + 7x 2 thành nhân tử. Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. 1) Chứng minh OI song song với BC. 2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn. 3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ. Câu IV (1đ)Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( ) 7 7 4 3+ . Câu III (3,5đ) Cho đờng tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB. 1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đờng tròn. 2) PQ cắt AB tại E. Chứng minh: MP 2 = ME.MI. 3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB. Tính PA. Câu IV (1đ) Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x 2 + nx + p) = x 3 10x 12. Câu IV (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD. 1) Chứng minh : MIC = HMK . 2) Chứng minh CM vuông góc với HK. 3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất. Câu V (1đ) Chứng minh rằng : (m 1)(m 2)(m 3)(m 4)+ + + + là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m. Câu IV (3,5đ) Cho hai đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đờng tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O 1 O 2 chứa B, có tiếp điểm với (O 1 ) và (O 2 ) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O 1 ) và (O 2 ) thứ tự ở C và D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 3) Đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF. 2 Câu V (1đ) Tìm số nguyên m để 2 m m 23+ + là số hữu tỉ. Câu III (3đ) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đờng tròn đờng kính AB và BC. 3) Kẻ đờng kính MK của đờng tròn đờng kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. Câu IV (1đ) Xác định a, b, c thoả m n:ã ( ) 2 23 5x 2 a b c x 3x 2 x 2 x 1 x 1 = + + + + . Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và ã ã MNP PNQ= và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 1) Chứng minh ã ã PMI QNI= . 2) Chứng minh tam giác MNE cân. 3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME. Câu IV (1đ) Tính giá trị của biểu thức: A = 5 3 4 2 x 3x 10x 12 x 7x 15 + + + với 2 x 1 x x 1 4 = + + . Câu IV (3đ) Cho nửa đờng tròn đờng kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P M, P N). Dựng hình bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đờng thẳng MQ tại K. 1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đờng tròn. 2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ. 3) Tìm vị trí của P trên nửa đờng tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. Câu V (1đ) Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 là tất cả các nghiệm của phơng trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. Tính: x 1 x 2 x 3 x 4 . Câu IV (3đ) Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đờng tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đ- ờng tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đờng tròn. 2) Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh : MI. MJ = MN. MP. Câu V (1đ) Gọi y 1 và y 2 là hai nghiệm của phơng trình : y 2 + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho phơng trình : x 2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là : x 1 = y 1 2 + 3y 2 và x 2 = y 2 2 + 3y 1 . Bài 4 (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a) CEFD là tứ giác nội tiếp. b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. c) BE.DN = EN.BD. 3 Bài 5 (1đ) Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2x m x 1 + + bằng 2. Bài 4 (3đ) Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C). Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK. 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bài 5 (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phơng trình y = x 2 . H y tìm toạ độ của điểm M thuộc (P)ã để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Câu IV (3đ). Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Kẻ đờng kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1) Chứng minh OM // DC. 2) Chứng minh tam giác ICM cân. 3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC 2 = IA.IN. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0). Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Câu IV (3đ). Cho đờng tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm bất kì trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đờng kính BB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 1) Chứng minh AH // BC. 2) Chứng minh rằng HB đi qua trung điểm của AC. 3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đờng tròn cố định. Câu V (1đ). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m + 1)x 4m 1 và điểm A(-2 ; 3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đ- ờng thẳng trên là lớn nhất. Câu IV (3đ). Cho đờng tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đờng thẳng AQ tại M. 1) Chứng minh rằng MO = MA. 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lợt tại B và C. a) Chứng minh : AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đờng tròn thì PQ // BC. Câu V (1đ). Giải phơng trình : 2 2 x 2x 3 x 2 x 3x 2 x 3 + + = + + + . Câu II(3đ). Cho hệ phơng trình ( ) a 1 x y 4 ax y 2a + + = + = (a là tham số). 4 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả m n x + y ã 2. Câu III(3đ). Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Chứng minh : 1) Tích BM.BN không đổi. 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp. 3) BN + BP + BM + BQ > 8R. Câu IV (1đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 2 2 x 2x 6 x 2x 5 + + + + . Câu IV (3đ). Cho đờng tròn (O). Lấy điểm A ở ngoài đờng tròn (O), đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) tại hai điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đờng thẳng không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE). Đờng thẳng vuông góc với AB tại A cắt đờng thẳng CE tại F. 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. 2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đờng thẳng FB với đờng tròn (O). Chứng minh DM AC. 3) Chứng minh : CE.CF + AD.AE = AC 2 . Câu V (1đ). Cho biểu thức: B = (4x 5 + 4x 4 5x 3 + 5x - 2) 2 + 2008 Tính giá trị của B khi x = 1 2 1 2 2 1 + . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Trên đờng tròn lấy một điểm C ( C không trùng với A,B và CA > CB ) . Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A , tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC tại E . 1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp . 2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F. Chứng minh : ẳ ẳ 0 2 90BCF CFB+ = . 3) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM // AB . Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho x, y thỏa m n :ã ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = Tính x + y . Cõu IV: (3 im) Cho ng trũn tõm O. Ly im A ngoi ng trũn (O), ng thng AO ct ng trũn (O) ti 2 im B, C (AB < AC). Qua A v ng thng khụng i qua O ct ng trũn (O) ti hai im phõn bit D, E (AD < AE). ng thng vuụng gúc vi AB ti A ct ng thng CE ti F. 1) Chng minh t giỏc ABEF ni tip. 2) Gi M l giao im th hai ca ng thng FB vi ng trũn (O). Chng minh DM AC. 5 3) Chng minh CE.CF + AD.AE = AC 2 . Cõu V: (1 im) Cho biu thức : B = (4x 5 + 4x 4 5x 3 + 5x 2) 2 + 2008. Tớnh giỏ tr ca B khi x = 1 2 1 . 2 2 1 + Câu IV(3,0 điểm) Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN (KAN). 1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn. 2. Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK. 3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất. Câu V:(1,0 điểm) Cho x, y thoả m n: ã 3 3 2 2x y y x+ = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x 2 + 2xy 2y 2 +2y +10. Cõu 3: (2,0 im) Cho phng trỡnh: x 2 - 2x + (m 3) = 0 (n x) a) Gii phng trỡnh vi m = 3. b) Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 v tha món iu kin: x 1 2 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 Cõu 4:(3 im) Cho tam giỏc MNP cõn ti M cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip ng trũn ( O;R). Tip tuyn ti N v P ca ng trũn ln lt ct tia MP v tia MN ti E v D. a) Chng minh: NE 2 = EP.EM b) Chng minh t giỏc DEPN k t giỏc ni tip. c) Qua P k ng thng vuụng gúc vi MN ct ng trũn (O) ti K ( K khụng trựng vi P). Chng minh rng: MN 2 + NK 2 = 4R 2 . Cõu 5:(1,0 im) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A = 2 6 4x x 1 + Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho tam giác vuông ABC ( à C = 90 0 ) nội tiếp trong đờng tròn tâm O . Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ) . Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AC , đờng tròn này cắt đờng tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) . Đoạn thẳng BM cắt đờng tròn tâm A ở điểm N . a) Chứng minh MB là tia phân giác của góc ã CMD . b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm A nói trên . c) So sánh góc CNM với góc MDN . d) Cho biết MC = a , MD = b . H y tính đoạn thẳng MN theo a và b . ã 6 . vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp. b) MF vuông góc với HK. 2) Tìm vị trí của điểm. nằm trên cung lớn PQ của đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lợt tại B và C. a) Chứng minh : AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. b) Chứng. giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Câu III Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp