. THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ). PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hàm số 1 12 + = x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất . Cõu II (2 im) : 1. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 0 3 2 5 2 0 x y x y x y xy x y + + + = + + = 2.Gii phng trỡnh : 01cossin2sinsin2 2 =++ xxxx . Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn dx x xx I + = 3 0 2 cos 2sin Cõu IV (1 im) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, bit khong cỏch gia AB v mt phng (SCD) bng 2. Gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 60 0 .Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2) 1. Theo chng trỡnh chun. Cõu VI.a (2 im) 1. Trong mt phng to Oxy, cho điểm I(-2;0) và 2 đờng thẳng (d): 2x y + 5 = 0, (d): x +y -3 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I & cắt d,d lần lợt tại A,B sao cho 2IA IB= uur uur . 2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh: 2 2 2 2 x t y t z t = + = = + .Gi l ng thng qua im A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht. Cõu VII.a (1 im) Cho x, y, z 0 tho món x+y+z > 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) 3 3 3 3 16x y z P x y z + + = + + 2. Theo chng trỡnh nõng cao.Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn 2 2 ( ): 2 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2 ( ') : 4 5 0C x y x+ + = cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn ( ), ( ')C C ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB. 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d một góc 0 30 Cõu VII.b (1 im) Cho 0 x y z< : Chng minh rng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + Ht Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán Cõu Phn Ni dung I (2,0) 1(1,0) Lm ỳng, cỏc bc theo S kho sỏt hm s cho im ti a. 2(1,0) . Tập xác định : 1x . 1 3 2 1 12 + = + = xx x y , 2 )1( 3 ' + = x y , Bảng biến thiên: Tiệm cận đứng : 1 = x , tiệm cận ngang 2=y 2. Nếu )( 1 3 2; 0 0 C x xM + thì tiếp tuyến tại M có phơng trình )( )1( 3 1 3 2 0 2 00 xx xx y + = + + hay 0)1(3)2()1()(3 0 2 00 =++ xyxxx . Khoảng cách từ )2;1(I tới tiếp tuyến là ( ) 2 0 2 0 4 0 0 4 0 00 )1( )1( 9 6 )1(9 16 19 )1(3)1(3 ++ + = ++ + = ++ + = x x x x x xx d . Theo bất đẳng thức Côsi 692)1( )1( 9 2 0 2 0 =++ + x x , vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi ( ) 3131)1( )1( 9 0 2 0 2 0 2 0 ==++= + xxx x . Vậy có hai điểm M : ( ) 32;31 + M hoặc ( ) 32;31 + M Cõu í 1 1) CõuII:2. Gii phng trỡnh: 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =+=++ xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( == xxx . Vậy 5,0sin =x hoặc 1cossin = xx . Với 5,0sin =x ta có kx 2 6 += hoặc kx 2 6 5 += Với 1cossin = xx ta có == = 4 sin 2 2 4 sin1cossin xxx , suy ra kx 2 = hoặc kx 2 2 3 += 2 ; Câu Phần III (1,0) IV + Goij I, J ln lt l trung im ca AB v CD, H l hỡnh chiu ca I trờn SJ. Chng t c IH = 2 v gúc 0 60SJI = + Gi O l tõm ỏy, chng minh c SO = 2, 4 IJ= 3 + Tớnh c V S.ABCD = 32 9 ( vtt) V Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 < 4<m VIa 1 im ( ) : 1 0 ;1C CD x y C t t + = . Suy ra trung im M ca AC l 1 3 ; 2 2 t t M + ữ . im ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + + + = + + = = ữ T A(1;2), k : 1 0AK CD x y + = ti I (im K BC ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0AK x y x y = + = . Ta im I tha h: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + = + = . Tam giỏc ACK cõn ti C nờn I l trung im ca AK ta ca ( ) 1;0K . S A B C D I J 60 0 O H Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆ , thì ( ) //( )P D hoặc ( ) ( )P D⊃ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH AH⊥ . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d D P d I P IH H P  = =   ∈   Trong mặt phẳng ( ) P , IH IA≤ ; do đó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) 6;0; 3n IA= = − r uur , cùng phương với ( ) 2;0; 1v = − r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: ( ) ( ) 2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = . VIIa VIb 1) + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R= = , đường thẳng ( 2 2 ( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠ . + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = − ( ) ( ) 2 2 1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = − , .IA IH> ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35 a b d I d d I d a b a b ⇔ − = ⇔ − = + + 2 2 2 2 2 2 36 35 36 a b a b a b − ⇔ = ⇔ = + Dễ thấy 0b ≠ nên chọn 6 1 6 = −  = ⇒  =  a b a . Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn. 2 .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+= CACACACA . Vậy CA = hoặc CA =2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( mp có phơng trình 0)2(2 =++ zyx hay 042 =++ zyx Nếu CA =2 ta có thể chọn 2,1 == CA , khi đó 1=B , tức là )2;1;1( =n và )( mp có phơng trình 02)2( = zyx VIIb 1,00 Cho 0 x y z< : Chng minh rng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y + + + + + + + + + + + + + + + + (1) t a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y T (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c + + + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c + + + (2) Ta cú: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c + = Tng t: ( ) 4 2 ab b c a c ( ) 2 2 5c ab c ab + Cng (3); (4); (5) ta c: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c + + + pcm Du bng xy ra khi: a=b=2c a. 2z+y=2z+x=4x+2y b. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa Trước hết ta có: ( ) 3 3 3 4 x y x y + + ≥ ( ) ( ) 2 0x y x y⇔ ⇔ − + ≥ Đặt x + y + z = a. Khi đó ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 64 64 4 1 64 x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + (với t = z a , 0 1t ≤ ≤ ) Xét hàm số f(t) = (1 – t) 3 + 64t 3 với t [ ] 0;1∈ . Có ( ) [ ] 2 2 1 '( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1 9 f t t t f t t   = − − = ⇔ = ∈   Lập bảng biến thiên ( ) [ ] 0;1 64 inf 81 t M t ∈ ⇒ = ⇒ GTNN của P là 16 81 đạt được khi x = y = 4z > 0 Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y   + − − + + − + + + + +     + + +   ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y z x x y z x z y x y z y z x z y z x x y x y x y ⇔ + + − + + + + − + + + + + + + ≤ + + + (1) Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) 3 2 2 ab a b c b a c abc c c ⇔ − + − + ≤ + ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ + (2) Ta có: 2 2 (3) 2 b c c b c b c ab a c b c − + − ≤ = ⇔ − ≤ Tương tự: ( ) 4 2 ab b c a c− ≤ ( ) 2 2 5c ab c ab≤ + Cộng (3); (4); (5) ta được: ( ) ( ) 2 2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ + đpcm Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c c. 2z+y=2z+x=4x+2y d. x=y= 2 5 z 0,25 0,25 0,25 0,25 . . THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ). PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hàm số 1 12 + = x x y 1. Khảo sát sự biến thi n. 1x . 1 3 2 1 12 + = + = xx x y , 2 )1( 3 ' + = x y , Bảng biến thi n: Tiệm cận đứng : 1 = x , tiệm cận ngang 2=y 2. Nếu )( 1 3 2; 0 0 C x xM + thì tiếp tuyến tại M có. z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy x y x y + + + + + + + + + + + + + + Ht Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2010 Hớng dẫn chấm môn toán Cõu Phn Ni dung I (2,0) 1(1,0) Lm ỳng,