Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. A. Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài. Nh chúng ta đã biết vật lí hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của môn vật lí, trong đó đi sâu vào nghiên cứu tính chất, các quy luật tơng tác của hạt cơ bản và phản hạt của chúng. Khi đi sâu vào thế giới hạt cơ bản tức là ta đã nói tới thế giới hạt vi mô. Vì vậy lí thuyết cổ điển sẽ bị thay thế bởi lí thuyết lợng tử và đợc dùng nh một công cụ khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản. Theo giả thiết của Borh về lợng tử hóa quỹ đạo thì mômen xung lợng của điện tử chuyển động quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn là một bội số nguyên của h . Trong phần luận văn này ta sẽ thấy giả thiết của Borh là hệ quả của các tiên đề của cơ học lợng tử. Để thấy rõ điều đó ta nghiên cứu lí thuyết lợng tử về mômen xung lợng. Trong đó để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ. Nh- ng cách trình bày trên hình vẽ chỉ để hiểu một cách trực quan, không thể coi là cách biểu diễn chính xác về mômen xung lợng. Vì vậy để hiểu một cách chính xác về mômen xung lợng ta đi xét hệ hai hạt, bỏ qua tơng tác giữa chúng làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng của hệ bằng tổng mômen xung lợng của từng hạt. Và để đi đến đợc điều đó ta dùng quy tắc cộng mômen xung lợng, cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung. Tuy nhiên, trong quá trình học tập và lĩnh hội phần lí thuyết nói chung và vật lí lợng tử nói riêng thì việc giải bài tập vật lí giữ vai trò quan trọng bởi lẽ chỉ có thể giải bài tập khi đã hiểu cặn kẽ phần lí thuyết về chúng. Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 1 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Vì những lý do trên đây, tôi đã chọn đề tài Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Sau đó áp dụng giải một số bài tập về cộng mômen. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu quy tắc cộng mômen xung lợng quỹ đạo, mômen cơ học riêngcủa một hạt với hai bậc tự do, mômen xung lợng của hệ hai hạt không t- ơng tác. 3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu về mômen xung lợng quỹ đạo, mômen cơ học riêng, mômen xung lợng toàn phần, cộng mômen xung lợng của các hạt. Dùng cho hệ hạt không tơng tác. 4. Phơng pháp nghiên cứu Dùng phơng pháp toán cho vật lí: Toán tử, giải phơng trình hàm riêng và trị riêng. Chơng 1: Cộng mômen xung lợng 1.1 Mômen xung lợng 1.1.1 Toán tử mômen xung lợng Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 2 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Theo cơ học cổ điển một hạt chuyển động trên quỹ đạo với xung lợng p , bán kính vectơ r , sẽ có mômen xung lợng prL = . Nh vậy toán tử mômen xung lợng của hạt prL = . Hay: )( = riL và các toán tử hình chiếu mômen xung lợng của hạt có dạng : == == ==/ xy xyz zx zxy yz yzx yxipypxL xzipxpzL zyipzpyL Còn toán tử bình phơng mômen xung lợng : 2222 zyx LLLL ++= Sau đây ta nêu lên một vài hệ thức giao hoán giữa các toán tử mômen xung lợng với nhau và giữa bình phơng môen xung lợng với chúng: 0] , [] , [] , [ ] , [; ] , [; ] , [ 222 === === zyx yxzxzyzyx LLLLLL LiLLLiLLLiLL Để thuận tiện ngời ta đa vào các toán tử: yx LiLL = Các toán tử này tuân theo các hệ thức sau: zzzz z z LLLLLLLLL LLL LLL ], [ 2] , [ 222 ++=+= = = ++ + Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 3 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. 1.1.2 Trị riêng của toán tử mômen xung lợng a. Trị riêng của toán tử hình chiếu mômen xung lợng lên phơng Oz Để thuận tiện ta dùng tọa độ cầu. Trong tọa độ cầu = iL z Gọi là hàm riêng tơng ứng với trị riêng z L của toán tử z L Thì phơng trình cho hàm riêng và trị riêng: zz LL = Giải phơng trình này ta tìm đợc thành phần phụ thuộc vào của có dạng: ( ) = z L i exp Vậy ( ) ,,r là một hằng số nhân với hàm mũ trên, hằng số này nói chung có thể phụ thuộc vào các tọa độ &r ( ) ( ) = zrr L i C exp ,,, Chú ý rằng khi thay đổi 2 thì lại trở về điểm cũ. Muốn cho là một hàm đơn trị thì ( ) ( ) 2+ = . Biến đổi đơn giản ta thu đợc mL z = với m = 0; ; 2;1 Từ đó suy ra rằng trị riêng của z L là một số nguyên lần . b. Trị riêng của bình phơng mômen xung lợng Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 4 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Vì hiệu 2222 yxz LLLL += bằng toán tử của một đại lợng vật lí dơng xác định 0 22 + yx LL . Cho nên ứng với mỗi giá trị cho trớc của bình phơng mômen xung lợng L 2 thì tất cả các giá trị riêng khả dĩ L z phải thỏa mãn bất đẳng thức: 0 22 z LL 22 LLL z Nh vậy, các giá trị khả dĩ của L z bị giới hạn bởi cận trên và cận dới. Ta kí hiệu l là số nguyên tơng ứng với giá trị lớn nhất của lL z = max )( . Do đó: 0, , 10 = l , còn ( ) 0 1 = + l Từ == LLLLLLL zzz ] , [ Nên = LLLLL zz Tác dụng LL z lên m ta đợc mmzmz LLLLL = Hay: ( ) ( ) mmmz LmLmLLL == 1 với m là hàm ứng với giá trị riêng m của z L Từ đây suy ra rằng m L là hàm riêng tơng ứng với trị riêng ( ) 1m của toán tử z L . Vì m là hàm riêng ứng với trị riêng m của z L , cho nên: mmz mL = ; ( ) 11 1 = mmz mL Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 5 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Bởi vậy: 1 = mm L Nếu m = l thì 0 1 == ++ ll L (Vì trạng thái ứng với m > l là không có) Tác dụng 2 L lên l ta có : ( ) llllzlzll llllLLLLL 222222 10 +=++=++= + Nh vậy trị riêng của toán tử bình phơng mômen xung lợng là l(l+1) 2 , với l là các giá trị nguyên dơng, kể cả giá trị 0. Với một giá trị của l đã cho thì m có nhiều giá trị. Nh trên đã nói l là giá trị lớn nhất của m, mặt khác hai h- ớng giữa trục của z là tơng đơng nhau về mặt vật lí nên với mỗi giá trị của l lại có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy m có thể có các giá trị nguyên từ +l đến -l : m = +l, l-1, l-2, ,-l tất cả có (2l+1) giá trị. 1.1.3 Phép cộng mômen xung lợng. Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ: z 2 Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 6 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. O 6 - -2 Vectơ mômen xung lợng có độ dài : )1( += llL . Hình chiếu của vectơ này lên trục z có độ lớn đại số là : L z = m với m = +l; l-1;;-l. Nh vậy L không thể định hớng tùy ý trong không gian, nó chỉ có thể định hớng nh thế nào để hình chiếu có giá trị nh trên. Ví dụ : Hình vẽ trên của L ứng với l = 2 ( ) 2;;0 61 = =+= z L llL Trên mặt phẳng hình vẽ L chỉ có thể có 5 cách định hớng khác nhau (ở nửa bên phải của trục z). Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có thể có của L trong không gian. Bây giờ, ta xét hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là 21 ; LL Nếu ta bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng của hệ L = 21 LL + . Nếu biết số lợng tử l 1 , m 1 , l 2 , m 2 xác định mômen xung lợng 21 ; LL thì ta có thể suy ra các số lợng tử l, m xác định mômen xung lợng L . Cách suy ra các số lợng tử l, m gọi là phép cộng mômen xung lợng trong cơ học lợng tử. Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 7 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Ta có : L z = L 1z + L 2z Hay: 2121 mmmmmm +=+= Mà giá trị cực đại của m 1 là l 1 ; của m 2 là l 2 . Nên giá trị cực đại của m là (l 1 +l 2 ). Ta có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trờng hợp 21 ; LL cùng hớng. Trờng hợp hai vectơ ấy ngợc hớng thì l = 21 ll . Còn trờng hợp khác l có giá trị nguyên trong khoảng giữa hai giá trị trên. Tức là : l = l 1 + l 2 ; l 1 + l 2 - 1 ; ; 21 ll . 1.2 Lý thuyết lợng tử về mômen xung lợng. 1.2.1 Lợng tử hóa mômen xung lợng. Quy tắc lợng tử hóa mômen xung lợng :Toán tử bình phơng mômen xung lợng toàn phần 2 J của hạt vi mô có trị riêng là j( j +1 ) 2 . Trong đó j là số không âm nguyên hoặc bán nguyên. Toán tử hình chiếu của mômen xung lợng toàn phần lên trục z có giá trị riêng là J z = m j .Với : m j = +j; j-1; ; -j. Có tất cả ( 2j + 1 ) giá trị. Tập hợp (2j + 1) hàm sóng ứng với (2j + 1) trị riêng khác nhau của z J và với cùng một trị riêng j( j +1 ) 2 của 2 J đợc gọi là một đa tuyến. 1.2.2 Quy tắc cộng mômen xung lợng. Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 8 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Xét một hệ gồm hai hạt và gọi các toán tử mômen xung lợng của chúng là )2()1( , JJ . Giả sử giữa hai hạt không có tơng tác. Khi đó hạt thứ i (i =1, 2) Có thể đợc diễn tả bằng (2j i +1) hàm sóng )(i j ii à với các giá trị xác định của các bình phơng mômen xung lợng và hình chiếu của nó lên trục Oz: )(2)()(2 )1( i jii i j i iiii jjJ àà += )()( )( i ji i j i z iiii J àà à = Với : iiii jjj ++= , ,1, à . Tức là : ii j à Hệ hai hạt nh vậy đợc mô tả bằng (2j 1 + 1) (2j 2 + 1) tích trực tiếp của hai hàm sóng )2()1( 2211 àà jj . Trong nhiều trờng hợp ngời ta lại quan tâm đến mômen xung lợng toàn phần của hệ. Toán tử mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên trục Oz là: )2()1( JJJ += )2()1( z zz JJJ += Bình phơng mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên trục Oz có trị riêng là j( j+1) 2 và à với j à . Vấn đề đặt ra là j bằng bao nhiêu và các hàm riêng tơng ứng có dạng nh thế nào? Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 9 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Trớc hết, ta thấy rằng tích )2()1( 2211 àà jj là hàm riêng của z J ứng với trị riêng: à = ( ) 21 àà + Vì : )2()1( 2211 àà jjz J = ) ( )2()1( z z JJ + )2()1( 2211 àà jj = ) ( )1()1()2( 1122 àà jzj J + ) ( )2()2()1( 2211 àà jzj J = ( ) 21 àà + )2()1( 2211 àà jj Nhng các tích )2()1( 2211 àà jj lại không phải là hàm riêng của 2 J . Vì sự có mặt của 2 )2()1( JJ làm cho )2()1(2 2211 àà jj J cosnt )2()1( 2211 àà jj Tuy nhiên từ các tích )2()1( 2211 àà jj có thể lập đợc tổ hợp tuyến tính đồng thời là hàm riêng của z JJ , 2 , kí hiệu là à jjj 21 2 J à jjj 21 = j( j+1) 2 à jjj 21 z J à jjj 21 = à à jjj 21 Vì giá trị lớn nhất của 21 , àà là j 1 , j 2 nên 21max jj += à khi và chỉ khi { } 2211 , jj == àà . Hàm sóng hai hạt tơng ứng duy nhất là )2()1( 2211 jjjj . Đó cũng chính là trạng thái ứng với giá trị mômen xung lợng toàn phần j = 21max jj += à . Vậy 212121 jjjjjj ++ = )2()1( 2211 jjjj . Giá trị tiếp theo của à là 1 max à = 1 21 + jj , khi { } 1, 2211 == jj àà , hoặc { } 2211 ,1 jj == àà . Hàm sóng hai hạt tơng ứng là )2( 1 )1( 2211 jjjj , hoặc Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 10 [...]... Hờng-32A Lí 32 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử 1 Kết luận : Trị riêng của JS là: 2 { j ( j + 1) + s ( s + 1) l (l + 1)} , 2 trong đó: j = l+s; l+s-1; ; l s Chơng 2: Mômen cơ học riêng 2.1 Toán tử spin của electron Phù hợp với nguyên lí chung của cơ học lợng tử, spin của electron phải đợc biểu diễn bằng toán tử tuyến tính Hermite Chúng ta kí hiệu các toán tử hình chiếu spin... trạng thái của nguyên tử là 3 D nên 2s + 1=3 và l = 2 Hay: s =1; l = 2 Và theo quy tắc cộng mômen ta có: Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 14 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử j = l +s; l +s-1;l - s = 3; 2; 1 Với j =3 thì M1 = 8 àB 3 Với j =2 thì M2= 7 àB 6 Với j =1 thì M3 = 1 àB 2 Bài 2: Mômen từ của nguyên tử ở trạng thái 4 D, 5 F bằng 0 Xác định mômen của nó trong các trạng thái... thức tính mômen từ của nguyên tử : M = g à B j ( j + 1) = 0 (1) trong đó : g = j ( j + 1) + s ( s + 1) l (l + 1) +1 2 j ( j + 1) +) Với nguyên tử ở trạng thái 4 D thì s = 3 1 ; l = 2 Thay vào (1) ta đợc: j = 2 2 Vậy mômen xung lợng toàn phần : J = 3 2 +) Với nguyên tử ở trạng thái 5 F thì s = 2, l = 3 Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 15 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử Tơng tự... Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 16 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử a) Với hai electron ns và ns thì l1 = l2 = 0 ; s1 = s2 = 1 2 Nên: Mômen xung lợng quỹ đạo của hệ hai electron L = L1 + L2 Mômen xung lợng riêng của hệ hai electron S = S1 + S 2 trong đó : L = l (l + 1) ; S = s ( s + 1) l = l1 + l2; l1 + l2 -1;.; l1 l2 = 0 s = s1 + s2; s1 + s2 -1;.; s1 s2 = 1; 0 Mômen xung lợng toàn phần:... S = 1 + 2 2 Đa vào các số lợng tử s và ms lần lợt xác định giá trị của bình phơng Spin và hình chiếu Spin: S 2 = s ( s + 1) 2 S z = ms Với ms= -s,-s+1, +s Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 35 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử 2.2 Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng có thể đo đồng thời bình phơng Spin và hình chiếu Spin lên một trục Bài giải: Mômen cơ học riêng hay spin là đại lợng... nhiều hạt vi mô cùng chuyển động trong trờng xuyên tâm thì mômen xung lợng toàn phần J của cả hệ sẽ đợc hợp thành tùy theo các dạng tơng tác Trong trờng hợp tơng tác spin-quỹ đạo của mỗi hạt mạnh hơn so với tơng giữa các hạt với nhau thì: J = J i với J i = L i + S i i =1 Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 13 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử với L = Li , S = S i ... là các toán tử thành phần của toán tử J thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau: J x J y J y J x = i J z (1) J y J z J z J y = i J x (2) J z J x J x J z = i J y (3) J x , J y , J z là những toán tử Hermite 1) Chứng minh rằng: [ ] [ ] [ ] a) J 2 , J x = J 2 , J y = J 2 , J z = 0 Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 25 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử [ ] [ ] ... Nên nghiệm 1 = f1 ( r , ) expi m ; 2 = f 2 ( r , ) expi m + 2 2 trong đó f1, f2 là hàm tùy ý của r , Vì cũng là hàm riêng của L2 nên ta có: Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 21 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử R ( r )Yl , m 1 ( , ) 1 1 2 = = 2 R2 ( r )Yl , m + 1 ( , ) 2 trong đó: R1(r), R2(r) là hàm bán kính, m là số bán nguyên Bây giờ ta phải... trong đó: mmax = l; ms max = s Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 30 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử Nên mj max = l + s =jmax Các giá trị có thể có của j là :l+s; l+s-1; ;l+s-q = jmin Bây giờ cần xác định giá trị của q = ? Các toán tử L2 , S 2 , Lz , S z giao hoán với nhau nên chúng có chung hàm riêng lsmm Trong đó : m = -l; -l+1; ;l và ms = -s; -s+1;; s s Nh vậy ứng với một... ta có : Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 23 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử 1 l ( l + 1) j ( j + 1) + m + R1 + 4 2 1 2 l + 2 m R1 + l ( l + 1) j ( 2 1 2 l + m R2 = 0 2 1 j + 1) m + R2 = 0 4 Để hệ phơng trình trên có nghiệm không tầm thờng thì định thức các hệ số phải bằng 0 Từ đó ta tìm đợc: j = l 1 2 Trong trờng hợp j = l + 1 ta đợc : 2 1 1 1 l + . Lí 1 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Vì những lý do trên đây, tôi đã chọn đề tài Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Sau đó áp dụng giải một số bài tập về cộng mômen. 2 riêng. Chơng 1: Cộng mômen xung lợng 1.1 Mômen xung lợng 1.1.1 Toán tử mômen xung lợng Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 2 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Theo cơ học cổ điển. tử l, m gọi là phép cộng mômen xung lợng trong cơ học lợng tử. Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí 7 Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử. Ta có : L z = L 1z + L 2z Hay: 2121 mmmmmm