111 Chương 5 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM 5.1 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y=f(x) từ các tập hợp dữ liệu rời rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f(x) là một hàm phức tạp, khó tính toán và khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản: dễ tính đạo đạo hàm và nguyên hàm… Nội suy bằng đa thức là tìm một đa thức P(x i ) bậc n-1 qua n mốc nội suy x i với 1, i n  thỏa mãn P(x i )= f(x i ). Nói cách khác, có thể mô tả tập các điểm dữ liệu rời rạc của hàm y = f(x) dưới dạng bảng: x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n Sau đó tính các hệ số của đa thức P(x) bậc n-1 thỏa mãn: y i =P (x i ), 1, i n  (5.1) Bây giời ta cần xây dựng công thức tính các hệ số của đa thức P(x). Giả sử đa thức P(x) được viết dưới dạng tường minh: P(x) = p 1 x n-1 + p 2 x n-2 + +p n-1 x+ p n Từ điều kiện (5.1), để tìm các hệ số p i của đa thức nội suy P(x) ta có thể giải hệ phương trình sau đây: 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n p x p x p x p y p x p x p x p y p x p x p x p y                             112 hay 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n x x x p y p y x x x p y x x x                                           . Ma trận hệ số của hệ phương trình chính là ma trận Vandermonde của vector x=( x 1 ,x 2 , x n ). Do đó, để giải hệ phương trình trên có thể sử dụng một câu lệnh đơn giản trong Matlab: >> p =vander(x)\y (5.2) Đa thức nội suy được tính theo công thức trên đơn giản, nhưng khá cồng kềnh. Tính hệ số của đa thức nội suy dạng tường minh bằng giải hệ phương trình như trên sẽ mất nhiều công sức tính toán khi số nút nội suy lớn. Do đó ta cần phải nghiên cứu một số phương pháp tìm đa thức nội suy khác, đơn giản hơn. Định lý 5.1 (Tính duy nhất của đa thức nội suy). Đa thức nội suy bậc n-1 thoả mãn (5.1) là duy nhất. Chứng minh. Thật vậy. Giả sử có 2 đa thức nội suy bậc n-1 là P(x) và Q(x) cùng thoả mãn điều kiện (5.1). Nghĩa là y i =P(x i )=Q(x) với 1, i n  . Xét đa thức R(x)=P(x)-Q(x). Rõ ràng là: R(x i )=P(x i )-Q(x i ) =0 , 1, i n  . Như vậy R(x) là đa thức bậc không quá n-1 nhưng có tới n nghiệm khác nhau x 1 ,x 2 , x n . Do đó R(x) =0 với mọi x, hay P(x)  Q(x). Điều đó chứng tỏ rằng đa thức nội suy bậc n-1 thỏa mãn (5.1) là duy nhất (đ.p.c.m). Khi số nút nội suy lớn, thì việc giải hệ phương trình như trên tốn rất nhiều công sức. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp khác để tìm đa thức nội suy mà không cần giải hệ phương trình. 5.1.1 Đa thức nội suy Lagrange Trước hết ta xây dựng các đa thức cơ bản như sau:                     1 2 1 1 i 1 2 1 1 L x i i N i i i i i i i N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                với 1, i n  . 113 Dễ thấy các đa thức cơ bản có tính chất:   0 khi i j 1 khi i j i j L x       Do đó nếu đặt P (x) =   n i ii xLy 1 )( (5.3) thì P(x) là đa thức bậc không quá n thoả mãn P(x i )=y i , với 1, i n  . Do đó P(x) chính là đa thức nội suy bậc n-1 của hàm số đã cho. Đa thức dạng (5.3) còn gọi là đa thức nội suy Lagrange. Nó có dạng tổng của n đa thức bậc n-1. Thí dụ 1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange bậc 2 từ bảng dữ liệu có dạng sau đây: x x 1 x 2 x 3 y y 1 y 2 y 3 Giải: Ta có các đa thức nội suy cơ bản:                 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 2 1 2 3 ( ) , ( ) x x x x x x x x L x L x x x x x x x x x           và        1 2 3 3 1 3 2 ( ) x x x x L x x x x x      . Do đó                        2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 ( ) x x x x x x x x x x x x P x y y y x x x x x x x x x x x x                . 5.1.2 Đa thức nội suy Newton Nội suy bằng đa thức Lagrange là một phương pháp khá đơn giản, sử dụng rất ít các kiến thức về đại số, nên dễ nhớ. Tuy nhiên đây lại là một phương pháp kém hiệu quả. Bây giờ xét trường hợp giữ bảng dữ liệu cũ và bổ sung thêm một nút nội suy mới (để hàm số được nội suy chính xác hơn) thì tất cả các đa thức nội suy cơ bản lại phải tính toán lại từ đầu. Thay cho công thức nội suy dạng Lagrange ta viết đa thức nội suy P(x) dưới dạng: P(x)= a 1 + a 2 (x-x 1 ) + a 3 (x-x 1 )(x-x 2 )+…+ a N (x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ) (x-x n-1 ) (5.4) Các hệ số a i của đa thức có thể được tính trong bảng tỉ hiệu (tỉ sai phân) theo công thức qui nạp như sau: 114   1 1 1 1 , i i i i i i y y f x x x x       : Tỉ hiệu cấp 1 tại x i ;   1 1 2 1 1 2 1 2 2 [ , ] [ , ] , , i i i i i i i i i f x x f x x f x x x x x          : Tỉ hiệu cấp 2 tại x i ;…   1 1 2 1 1 1 [ , , , ] [ , , , ] , , k i i i k k i i i k k i i k i k i f x x x f x x x f x x x x              :Tỉ hiệu cấp k tại x i ; …   2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 1 [ , , , ] [ , , , ] , , , n n n n n n n f x x x f x x x f x x x x x        :Tỉ hiệu cấp n-1 tại x 1 . Tại nút x i chỉ phải tính các tỉ hiệu cấp 1 đến cấp n-i. Ta lập một bảng để thuận tiện khi tính toán các tỉ hiệu. Bảng 5-1 Bảng tỉ hiệu với 6 núy nội suy x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x 1 y 1 f 1 [x 1 ,x 2 ] f 1 [x 2 ,x 3 ] f 1 [x 3 ,x 4 ] f 1 [x 4 ,x 5 ] f 1 [x 5 ,x 6 ] x 2 y 2 f 2 [x 1 ,x 2 ,x 3 ] f 3 [x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ] f 3 [x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 3 [x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 3 y 3 f 2 [x 2 ,x 3 ,x 4 ] f 4 [x 1, x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 5 [x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 4 y 4 f 2 [x 3 ,x 4 ,x 5 ] f 4 [x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 5 y 5 f 2 [x 4 ,x 5 ,x 6 ] x 6 y 6 Khi đó các hệ số của đa thức nội suy (5.4) được xác định như sau: a 1 =y 1 , a 2 = f 1 [x 1 ,x 2 ], a 3 = f 2 [x 1 ,x 2 ,x 3 ] a n = f n-1 [x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ]. Công thức (5.4) với cách tính các hệ số a i như trên gọi là công thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x 1 . Với công thức này, khi thêm một nút nội suy mới x n+1 thì ta chỉ cần tính thêm một hệ số mới a n+1 . Khi đó bảng tỉ hiệu chỉ phải thêm một dòng. Mặt khác, nếu chú ý ta thấy công thức Newton không đòi hỏi sự sắp xếp thứ tự về giá trị của dữ liệu, nên khi đảo ngược thứ tự của dữ liệu thì dạng mới của đa thức nội suy là: P(x)=b 1 + b 2 (x-x n ) + b 3 (x-x n )(x-x n-1 )+…+b n (x-x n )(x-x n-1 )(x-x n-2 ) (x-x 2 ) ( 5.5) Khi đó các hệ số của đa thức nội suy dạng (5.5) được xác định như sau: b 1 =y n , b 2 = f 1 [x n-1 ,x n ], b 3 = f 2 [x n-2 ,x n-1 ,x n ] b n = f n-1 [x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ]. 115 Công thức với cách tính các hệ số b i như trên gọi là công thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x n . Do định lý 5.1 có thể thấy công thức Lagrange và các công thức Newton tiến hay lùi đều xác định cùng một đa thức, chỉ có hình thức thể hiện là khác nhau và thuận tiện áp dụng cho các trường hợp khác nhau. Thí dụ 2. Cho hàm y =f(x) dưới dạng bảng số sau: x 1 2 3 5 6 8 y 5,230 2,092 1,406 -1,202 -1,321 0,015 Hãy lập đa thức nội suy cho hàm F(x) đã cho dưới dạng: a. Tường minh; b. Lagrange; c. Newton tiến xuất phát từ x 1 =1. d. Newton lùi xuất phát từ x 6 =8. Giải. a. Để tìm hệ số tường minh của đa thức P(x) ta sử dụng công thức (5.2): >> x=[1 2 3 5 6 8]; >> y=[ 5.230 ; 2.092; 1.406; -1.202 ; -1.321; 0.015]; >> p=vander(x)\y p = -0.0187 0.4201 -3.4803 13.2919 -24.3719 19.3890 Do đó :   5 4 3 2 0,0187 0,4201 3,4803 + 13.2919 24,3719 19,389 0 P x x x x x x      b. Lập đa thức nội suy Lagrange: ( 2)( 3)( 5)( 6)( 8) ( 1)( 3)( 5)( 6)( 8) ( ) 5,230 2,092 (1 2)(1 3)(1 5)(1 6)(1 8) (2 1)(2 3)(2 5)(2 6)(2 8) x x x x x x x x x x P x                        116 ( 1)( 2)( 5)( 6)( 8) ( 1)( 2)( 3)( 6)( 8) +1,406 1,202 (3 1)(3 2)(3 5)(3 6)(3 8) (5 1)(5 2)(5 3)(5 6)(5 8) x x x x x x x x x x                      ( 1)( 2)( 3)( 5)( 8) ( 1)( 2)( 3)( 5)( 6) 1,321 0,015 (6 1)(6 2)(6 3)(6 5)(6 8) (8 1)(8 2)(8 3)(8 5)(8 6) x x x x x x x x x x                       hay ( ) 0,0187( 2)( 3)( 5)( 6)( 8) 0,0291( 1)( 3)( 5)( 6)( 8) P x x x x x x x x x x x              0,0234( 1)( 2)( 5)( 6)( 8) 0,0167 ( 1)( 2)( 3)( 6) ( 8) x x x x x x x x x x             0,0110( 1)( 2)( 3)( 5)( 8) 0,00001( 1)( 2)( 3)( 5 )( 6) x x x x x x x x x x             c. Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x 1 =1. x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 1 5,230 -3,1380 -0,6860 -1,3040 -0,1190 0,6680 1,2260 -0,2060 0,3950 0,2623 -0,3580 0,1502 -0,0265 -0,0187 2 2,092 0,1016 -0,0295 3 1,406 5 -1,202 6 -1,321 8 0,015 Từ bảng tỉ hiệu ta có:               5, 230 3,1380 1 1, 2260 1 2 0,3580 1 2 3 P x x x x x x x                             0,1016 1 2 3 5 0,0187 1 2 3 5 6 x x x x x x x x x            d. Lập đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x 6 =8. Từ bảng tỉ hiệu ta có:               0,015 0,0668 8 0,2623 8 6 0,0265 8 6 5 P x x x x x x x                             0,0295 8 6 5 3 0,0187 8 6 5 3 2 x x x x x x x x x            5.1.3 Sai số nội suy Giả sử P(x) là đa thức nội suy của hàm f(x) tại n nút nội suy x 1 ,x 2 , ,x n ; x i  [ a,b] và hàm f(x) khả vi đến cấp n. Khi đó có thể chứng minh được rằng: R(x)= f(x) - P(x) =   n ( x ) f (c ) n!  , với c [ a,b]; 117 trong đó  (x) =(x-x 1 )(x-x 2 ) (x-x n-1 )(x-x n ) là đa thức bậc n và có n nghiệm tại các nút nội suy x 1 , x 2 , ,x n . Do f (n) (c) là hằng số nên dáng điệu của sai số của nội suy R(x) phụ thuộc vào dáng điệu của hàm  (x). Xét trường hợp các nút nội suy cách đều. Khi đó hàm  (x) có biên độ nhỏ dần ở giữa khoảng nội suy và lớn dần khi đi ra hai biên (xem hình 5.1). Từ đó có một vấn đề nảy sinh là: nếu được phép chọn các nút nội suy thì nên chọn như thế nào để sai số nội suy trở thành bé nhất. Điều đó dẫn đến việc giải bài toán: max|  (x )|  min Kết quả gải bài toán như sau: - Nếu a=-1 vàc b=1, thì các nút nội suy “ tối ưu” được chọn như sau: 2 1 os , 1, 2 i i x c i n n           . (5.6) Đó chính là các nghiệm của đa thức Chebysev bậc n:     1 1 cos .arccos 2 n n T x n x   Hình 5.1 Đồ thị hàm y=  (x) trên lưới đều Điều đó nghĩa là phân bố các nút nội suy “tối ưu” là thưa ở giữa, dày dần khi tiến sang 2 biên của khoảng nội suy. Khi đó ta có đánh giá sai số :     1 1 2 n n x T x     118 - Nếu a  -1 hoặc b  1 thì tiến hành đổi biến 2 x a b t b a     để đưa x  [a,b] về t [-1,1] rồi chọn t i theo công thức (5.4) 2 1 , 1, 2 i i t cos i n n           . Sau đó tiến hành đổi biến ngược lại     2 i i b a t a b x     . Khi đó sai số nội suy được tính theo công thức sau:         2 1 ( ) ( ) !2 n n n n b a R x P x f x f x n      (5.7) 5.1.4 Một số hàm số tính toán với đa thức Trong Matlab đã có sẵn các hàm nội trú thuận tiện cho thực hiện tính toán các đa thức nội suy nói riêng và tổ hợp các đa thức nói chung.  Hàm POLYFIT Cú pháp: p = polyfit(x,y,N) Giải thích: Hàm POLYFIT tính hệ số của đa thức xấp xỉ hàm cho bởi cặp 2 vector cùng cấp x và y. - Nếu N  length(x) –1, thì hàm tính vector p là vector hệ số của đa thức nội suy bậc N: P(x)= p 1 x N +p 2 x N-1 + +p N x+p N+1 thỏa mãn P(x i )= y i ,i=1,2, , length(x). - Nếu N < length(x)-1, hàm sẽ tính vector các hệ số p của đa thức xấp xỉ tốt nhất đối với dữ liệu theo nghĩa bình phương tối thiểu.  Hàm POLYVAL Cú pháp: y = polyval (p,x) Giải thích. Hàm POLYVAL tính giá trị của đa thức có hệ số cho bởi vector p tại tất cả các giá trị của vector x, nghĩa là : y = p 1 x n-1 + p 2 x n-2 + +p n-1 x+ p n  Hàm CONV Cú pháp: c = conv (a,b) 119 Giải thích. Hàm CONV thực hiện việc nhân hai đa thức có hệ số a và b thành đa thức hệ số c. Thí dụ 3. Nhân hai đa thức (3x 2 +4x+5).(2x 3 -3x 2 +2) >> a = [0 3 4 5]; >> b = [2 -3 0 2]; >> c = conv(a,b) c = 0 6 -1 -2 -9 8 10  Hàm DECONV Cú pháp: [q,r] =deconv (a,b) Giải thích. Hàm DECONV chia đa thức có hệ số là vector a cho cho thức có hệ số là vector b, được đa thức có hệ số là vector q và phần dư là đa thức có hệ số là vector r. Thí dụ 4. Chia đa thức (2x 2 +3x+6)/(2x+3) >> a = [2 3 6]; >> b = [2 3]; >> [q,r] = deconv (a,b) q = 1 0 r = 0 0 6  Hàm ROOTS Cú pháp: x = roots(p) Giải thích. Hàm ROOTS tính tất cả các nghiệm thực và phức của đa thức có hệ số là vector p trả về kết quả là vector nghiệm x. Thí dụ 5. >> roots([3 4 1]) 120 ans = -1.0000 -0.3333 >> x= roots([1 2 3 2 1]) x = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 5.1.4 Biểu diễn hàm số trên đồ thị  Vẽ đồ thị phẳng bằng lệnh plot plot(x,y,'symbol'): Vẽ đồ thị hàm y đối với x. 2 vector thực x và y cùng cỡ. 'Symbol' là xâu qui định kiểu màu hoặc đường vẽ: y yellow w white * star m magenta g green o circle c cyan b blue x x-mark r red k black plot(y,'symbol') : Nếu y là vector thực lệnh vẽ đồ thị của hàm y đối với x là số thứ tự của toạ độ của y. Nếu y là vector phức thì tương đương với lệnh: plot(real(y),imag(y), 'symbol')  Xác định tỉ lệ trên đồ thị bằng lệnh axis axis([xmin xmax ymin ymax]) : Thay đổi lại tỷ lệ của các trục toạ độ. axis auto (mặc định): Matlab tự chọn một tỷ lệ thích hợp nhất cho đồ thị. V = axis : Trả về một vectơ hàng mô tả tỷ lệ của đồ thị hiện tại, có dạng [xmin xmax ymin ymax]. axis equal : Các trục toạ độ có cùng đơn vị. axis square : Hộp đồ thị hình vuông. Khi xem đồ thị có thể dùng các công cụ “+” và “ –“ để phóng to thu nhỏ vùng đồ thị muốn xem. [...]... dụ 9 Tính hệ số của đa thức bậc 2 xấp xỉ tốt nhất hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng: x y 1 1,2341 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 3,9242 2, 456 3 - 0,2224 -1 ,32 15 0 ,55 06 Giải Đầu tiên ta lập bảng tính toán: xi xi2 yi xi3 xi4 xi yi xi2 yi 1 1,2341 1,00 1,000 1,0000 1,2341 1,2341 1 ,5 3,9242 2, 25 3,3 75 5,06 25 5,8863 8,8294 2 2, 456 3 4,00 8,000 16,0000 4,9126 9,8 252 2 ,5 -0 ,2224 6, 25 15, 6 25 39,06 25 -0 ,55 60 -1 ,3900 3 -1 ,32 15. .. -0 ,55 60 -1 ,3900 3 -1 ,32 15 9,00 27,000 81,0000 -3 ,96 45 -1 1,89 35 3 ,5 0 ,55 06 12, 25 42,8 75 150 ,06 25 1,9271 6,7448 34, 75 97,8 75 292,18 75 9,4396 13, 350 1 13 ,5 6,6213 - Giải hệ phương trình:  292,18 75 97,8 75 34, 75   a  13, 350 1      34, 75 13 ,5   b    9, 4396   97,8 75  34, 75 13 ,5 6   c   6, 6213       ta được các hệ số a= -0 ,1868, b= -0 .4071 và c = 3,1013 130 5. 3.3 Một số dạng xấp... và tính P(x) tại x= 1; 1,2; 1.4; ; 2,8; 3 x 1 y 1,2341 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 3,9242 2, 456 3 - 0,2224 -1 ,32 15 0 ,55 06 2 Đa thức P(x)= ax3 + bx2 +cx +d đo được dưới dạng bảng: x y 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 5,23401 2,09242 1,4 056 3 - 1,20224 -1 ,321 05 0,0 150 1 - Tìm các hệ số a, b, c, d bằng phương pháp bình phương tối thiểu - Tính P(x) tại x = 1 ,5; 1,6; 1,7; 3,2 3 Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng: x 1,0 1 ,5 2,0 y -2 , 950 01... khai triển nhị thức Newton bậc 10 6 Hàm số y=f(x) được cho dưới dạng bảng, Tính vector hệ số của đa thức nội suy bậc 5 bằng cách sử dụng ma trận Vandermonde x y 1,0 1 ,5 2,0 -2 ,30 650 -1 ,12320 -1 ,00020 2 ,5 3,0 3 ,5 2, 757 54 8,37002 15, 83 752 7 Cho 2 vector: 5x10 + 12x9 -4 x7 +3x6 -5 x2 -1 0 = 0 -3 x8 + 6x5 +8x7 +3x3 +2x4 -1 1x -2 = 0 Hãy tính vector p, q và s tương ứng là hệ số của tổng tích, thương và phần dư... được cho dưới dạng bảng: x 1,0 1 ,5 2,0 y -2 , 950 01 -2 ,90 250 -1 ,00020 2 ,5 3,0 3 ,5 2, 757 54 8,37002 15, 83 752 Tính xấp xỉ hàm f(x) tại x= 1; 1.1; 1.2; ; 3 bằng phương pháp spline bậc 3 4 Hàm số y=f(x) được cho bởi bảng số Tính gần đúng f(x) tại x=1, 25 bằng phương pháp spline bậc 3: x y 1,0 1,1 1,2 3, 850 11 -2 ,30 650 -1 ,12320 1,3 4, 857 54 1,4 1 ,5 8,36602 10,99 154 5 Dùng ma trận pascal, đưa ra màn hình vector...    n    n  yi      i 1     xi2   i 1 n i 1 n  xi i 1 (5. 20)  Bằng phương pháp tương tự bạn có thể tự xây dựng được hệ phương trình tính hệ số của đường hồi qui bậc 3,4 ,5 Để tiện cho việc tính toán các hệ số của hệ phương trình (5. 20) người ta thường lập bảng tính toán có dạng: 129 Bảng 5- 2 Bảng tính toán cho đa thức hồi qui bậc 2 xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi x1 y1 … … … …...     hay     Giải hệ phương trình trên sẽ tính được các hệ số a,b và c của quan hệ hàm số cần xấp xỉ 132 BÀI TẬP A Cài đặt chương trình và lập hàm 1 Cho tập dữ liệu {(xi,yi)}, i  1, n Cài đặt hàm tính vector hệ số: a=(a1,a2, a3,…, an) của đa thức nội suy Newton tiến bậc n-1, xuất phát từ x1: P(x) = a 1 +a 2(x-x1)+ a3(x-x1)(x-x2) + + a n(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1) theo bảng tỉ hiệu Lệnh gọi hàm có... Thí dụ 8 Tạo một text file có tên data.m gồm 2 cột dữ liệu: 0 2.38471 1.0e-01 1.82271 2.0e-01 2.03641 3.0e-01 2.41649 4.0e-01 2.17773 5. 0e-01 1.98777 127 (5. 17) Sau đây là chương trình xây dựng đường hồi qui tuyến tính: % Matlab code for linear regression clear; load data.m; x = data(:,1); y=data(:,2); plot(x,y,'*'); axis([0 0 .5 0 4]); hold on; grid on; a11=sum(x.*x) ; a12=sum(x); n=length(x); b1=sum(x.*y)... cả hai vế của (5. 11) cho j  và dj  6 h j 1 h j hj h j 1  h j hj 6 m j 1  h j 1  h j 6 y j 1  y j y j  y j 1  hj h j 1 (5. 13) và đặt ,  j  1  j  h j 1 h j 1  h j ,  y j 1  y j y j  y j 1     , j  2, n  1  hj h j 1    (5. 14) thì (5. 13) trở thành:  j m j 1  2m j   j m j 1  d j , j  2, n  1 (5. 15) Đây là một hệ gồm n-2 phương trình tuyến tính của n ẩn số... t=1:n; x(t)=2*(t-1)/1 9-1 ; y(t)=1/(1+16*x(t)^2); end; save dulieu x y; %% Hoặc save('dulieu.mat', 'x', 'y' Chương trình vẽ đồ thị của các hàm nội suy: % Demonstrate the "failure" of Polynomial Interpolation on equidistant grids 121 clear; load dulieu; n=length(x); axis( [-1 1 -0 .5 4]); plot(x,y,'o'); %% Đánh dấu các điểm dữ liệu bằng hình chữ “ o” hold on; grid on; coef=polyfit(x,y,n-1); xx= [-1 :0.01:1]; . 39,06 25 81,0000 150 ,06 25 1,2341 5, 8863 4,9126 -0 ,55 60 - 3,96 45 1,9271 1,2341 8,8294 9,8 252 -1 ,3900 -1 1,89 35 6,7448 13 ,5 6,6213 34, 75 97,8 75 292,18 75 9,4396 13, 350 1 -. 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 1,2341 3,9242 2, 456 3 - 0,2224 - 1,32 15 0 ,55 06 1,00 2, 25 4,00 6, 25 9,00 12, 25 1,000 3,3 75 8,000 15, 6 25 27,000 42,8 75 1,0000 5, 06 25 16,0000. -3 ,1380 -0 ,6860 -1 ,3040 -0 ,1190 0,6680 1,2260 -0 ,2060 0,3 950 0,2623 -0 , 358 0 0, 150 2 -0 ,02 65 -0 ,0187 2 2,092 0,1016 -0 ,02 95 3 1,406 5 -1 ,202 6 -1 ,321