Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên Chuyên đề Phương trình bậc hai 1. Cho phương trình x 2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m 2 2. Cho phương trình x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0 a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x 1 2 + x 2 2 ) - 5x 1 x 2 + Chứng minh A = 8m 2 - 18m + 9 + Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia. 3. Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức P = 10x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4. Cho phương trình x 2 + mx + n - 3 = 0 (m, n là tham số) a) Cho n = 0, chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Tìm m và n để 2 nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn hệ: 5. Cho phương trình (2m - 1)x 2 - 4mx + 4 = 0 a) Giải phương trình với m = 1. b) Giải phương trình với m bất kì. c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m. 6. Cho phương trình có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: 7. Cho phương trình x 2 + mx + m - 2 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 sao cho x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 8. Cho phương trình x 2 - mx + m - 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng. b) Đặt A = x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 b 1 ) Chứng minh a = m 2 - 8m + 8 b2) Tìm m sao cho A = 8 1 Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên 9. Cho phương trình (m + 3)x 2 - 3mx + 2m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = - 2 . b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện 2x1 - x2 = 3. 10. Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 a) Giải phương trình khi m = 4. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. c) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình. d/ CMR biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m. 11. Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + m 2 + 3 = 0. a) Giải phương trình khi m = 129. b) Tìm giá trị của m sao cho các nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn : 2(x1 +x2) - 3x1x2 + 9 = 0. c) Tìm một hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với m. 12. Cho phương trình (m - 3)x 2 - 2(m + 1)x - 3m + 1 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. b) Cho m = 5, không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức: A = x 1 2 + x 2 2 và B = x 1 3 + x 2 3 c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. 13. Cho phương trình x 2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 1 2 + x 2 2 . 14. Cho phương trình (m - 1)x 2 - 2mx + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: 15. Cho phương trình x 2 - (2m + 1)x + m 2 + m - 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m. 16. Cho phương trình x 2 - 6x + m = 0. a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 = 2x 2 b) Tính theo m giá trị của biểu thức: 2 Trng THCS Tnh Bc Chuyờn PT Bc hai GV : Nguyn c Nguyờn 17. Cho phng trỡnh x 2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0. a) Gii phng trỡnh khi m = 3. b) Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim nh hn 1, mt nghim ln hn 1. c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim nh hn 2. 18. Cho phng trỡnh x 2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0. a) Tỡm m cỏc nghim x1, x2 ca phng trỡnh tha món (2x1 + 1)(2x2 +1) = 8 b) Tỡm mt h thc gia x1 , x2 c lp vi m. 19. Cho phng trỡnh x 2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0. a) Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m. b) Chng minh rng phng trỡnh khụng th cú nghim bng - 1 c) Biu th x1 theo x2. 20. Cho cỏc phng trỡnh x 2 + mx - 1 = 0 (1) v x 2 - x + m = 0 (2). Tỡm m hai phng trỡnh cú ớt nht mt nghim chung. Tỡm nghim chung ú. Gii bi toỏn bng cỏch lp PT bc hai 1/ Mt ngi i t TP A n TP B cỏch nhau 60 km., sau ú tr v A. Tỡm vn tc lỳc i . Bit rng thi gian i v t/g v ( Khụng k t/g ngh ) l 5 h v v/tc lỳc i nhanh hn v/tc v 10 km/h 2/ Mt Ca nụ chy trờn mt con sụng di 30km. T/g ca nụ i xuụi dũng ngn hn t/g ca nụ i ngc dũng l 1 h 30 phỳt. Tỡm v/tc thc ca ca nụ, bit vn tc ca dũng nc l 5 km/h. Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? 3/ Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu tăng thêm cho chiều dài 1 4 của nó, thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3 m 2 . Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu. 4/ Nhà trờng tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan. Ngời ta dự tính : Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó đợc huy động. 5/Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên nặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h. 6/ Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đờng 120km trong một thời gian đã định. Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nới đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa còn lại của quãng đờng. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng. 7/ Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vời thứ hai trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? 8/ Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên ngời ấy đã hoàn thành kế hoạh sớm hơn thời gian quy định 1 giờ 40 phút. Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định. 3 Trng THCS Tnh Bc Chuyờn PT Bc hai GV : Nguyn c Nguyờn Bài tập Hình tổng hợp Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng Bài 4 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). Chứng minh BE = BH + DE. Bài 5 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI 2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 6 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh ABD = DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 7 . Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. CF BM CB BD = 4 . Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên Chuyên đề Phương trình bậc hai 1. Cho phương trình x 2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = - 3/2 . 8 1 Trường THCS Tịnh Bắc – Chuyên đề PT Bậc hai GV : Nguyễn Đức Nguyên 9. Cho phương trình (m + 3)x 2 - 3mx + 2m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = - 2 . b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm. với m = 1. b) Giải phương trình với m bất kì. c) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng m. 6. Cho phương trình có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Không giải phương trình, hãy tính giá