1 v1.0 BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Nguyên hàm củamộthàmsố,tíchphânbất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định. 2. Tích phân bất định củahàmhữutỉ,hàmlượng giác, hàm vô tỉ. 3. Tích phân xác định, tính chất, mốiliênhệ vớinguyênhàm,cácphương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng củatíchphânxácđịnh. 4. Tích phân suy rộng. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm củahàmsố: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x    2 f(x) 3x 2   VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm củahàmsố: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x    2 f(x) 3x 2   VÍ DỤ 1 (tiếp theo) . Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1) F'(x) f(x), x D, hay dF(x) f(x)dx  Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:     32 32 2 x +2x+1 '=3x +2 (6x)' 6 (3x +2x)'=9x +2 (3x 2x)' 6x 2      Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. 5 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsin x x d. arcsin x C     2 1 f(x) 1 1x   VÍ DỤ 2 6 v1.0 Hàm số có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? a. arccos x b. arccos x c. arcsin x x d. arcsin x C     2 1 f(x) 1 1x   VÍ DỤ 2 (tiếp theo)     7 v1.0 VÍ DỤ 3 Tích phân bằng: 2 dx 32x  1x a. arctg 33 1x b. arctg C 33 1x c. arctg 33 1x d. arctg C 33               8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức tích phân cơ bản 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Tích phân bằng: 2 dx 32x  1x a. arctg 33 1x b. arctg C 33 1x c. arctg 33 1x d. arctg C 33                   2 22 dx dx 1 x arct g C 3x (3) x 3 3         Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C. 10 v1.0 Tích phân bằng: 2 dx 23x  33 a. arctg x C 22 13 b. arctg x C 2 6 3x c. arctg C 2 6 1x d. arctg C 66     VÍ DỤ 4 [...]... 2    dx  1  cos x  dx 1 1 x x tg    C  tg    C  x 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 23 v1.0 VÍ DỤ 10 2 Tích phân a 1  x 2 dx bằng: 1 b 3 c 7 3 d 1 3 24 v1.0 VÍ DỤ 10 (tiếp theo) 2 Tích phân  x 2 dx bằng: 1   a 1 b 3 7 c 3 1 d 3 2    1 2 x3 23 13 7 2    x dx  31 3 3 3 Hướng dẫn: 3. 2 .3 Công thức Newton - Leibnitz a  f(x)dx  F(x) b  F(b)  F(a) a b Trong đó F(x) là một nguyên hàm... bất định 3. 1.2 .3 34 v1.0 VÍ DỤ 14 (tiếp theo)  Tích phân 3ln x  2 dx bằng: x a 3 ln2 x  2 ln x  C 3 b ln2 x  2 ln x  C 2 c 3 ln x  2 ln x  C d 2  ln x  3  4 ln x  C     Đặt t  ln x  dt   dx x 3ln x  2 t2 dx  (3t  2)dt  3  2t  C x 2 3  ln2 x  2ln x  C 2  Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại thành hàm của biến số cũ 35 v1.0 VÍ... ln2 0 1  ln2 e e  2 2 30 v1.0 VÍ DỤ 13 e Tích phân  x ln xdx bằng: 1 a 1  e2 4 b 1  e2 2 c 1  e2 4 1  e2 d 2 31 v1.0 VÍ DỤ 13 (tiếp theo) e Tích phân  x ln xdx bằng: 1 a 1  e2 4  b 1  e2 2  c 1  e2 4 1  e2 d 2   32 v1.0 VÍ DỤ 14  Tích phân 3ln x  2 dx bằng: x a 3 ln2 x  2 ln x  C b 3 2 ln x  2 ln x  C 2 c 3 ln x  2 ln x  C d 2  ln x  3  4 ln x  C 33 v1.0 VÍ DỤ 14 (tiếp theo)... (tiếp theo) Tích phân  dx bằng: 2 2  3x a 3 3 arctgx  C 2 2  b 1 3 arctgx  C 2 6  c 3 x arctg C 2 6  d 1 x arctg C 6 6  Gợi ý:  dx  2 2  3x  dx 2  3   x2  3  11 v1.0 VÍ DỤ 5 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Khi đó,  xf(x 2 )dx là: F(x2 ) a C 2 b F(x2 )  C c xF(x2 )  C d F(x2 ) 12 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 3. 1.2.2, tr.46 Phương pháp biến đổi biểu... Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại thành hàm của biến số cũ 35 v1.0 VÍ DỤ 15 Tích phân    1 a 3 ln x 3ln x  2 dx bằng: x ln x 3 b  c 2 3 ln x  4 ln x  C 3 d 2 ln x    2 ln x  C 3 ln x  2 ln x  C  3  4 ln x  C 36 v1.0 ... xe x2 và f(1)  2e 1 x2 3e a f(x)  e  2 2 2 b f(x)  e x  e 1 2 5 c f(x)   e x  e 2 2 2 d f(x)  e x  3e 17 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  xe 1 2 3e a f(x)  e x  2 2 2 b f(x)  e x  e 1 x2 5 c f(x)   e  e 2 2 2 d f(x)  e x  3e     x2 và f(1)  2e 2 1 1 2 e x dx 2  e x  C 2 2 1 3 f(1)  2e  f(1)  e  C  2e  C  e 2 2 1 2 3  f(x)  e x  e 2 2 f(x)... là rất quan trọng a a b b  f(x)dx    f(x)dx 27 v1.0 VÍ DỤ 12 ln 2 Tích phân  xe  x dx bằng: 0 a 1  ln 2 b 1  ln 2 2 c ln 2  1 d ln 2  1 2 28 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 3. 1.2.4 và 3. 2.1.4 b  b a b  Phương pháp tích phân từng phần: udv   uv   vdu a a trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục • Trong các tích phân   x nekx dx x n sinkxdx;  x ncoskxdx n nguyên...  C d F(x2 ) 12 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 3. 1.2.2, tr.46 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: Chú ý: d(u(x))  u'(x)dx; d(x 2 )  (x 2 ) ' dx  2xdx  xdx  1 d(x 2 ) 2 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Khi đó, F(x2 ) a C 2  b F(x2 )  C  d F(x2 ) 1 1 f(x 2 )d(x 2 )  F(x 2 )  C 2 2  c xF(x2 )  C  xf(x 2 )dx là:   xf(x 2 . 3 (tiếp theo) Tích phân bằng: 2 dx 32 x  1x a. arctg 33 1x b. arctg C 33 1x c. arctg 33 1x d. arctg C 33                   2 22 dx dx 1 x arct g C 3x (3) x 3 3         Nhận. theo)     7 v1.0 VÍ DỤ 3 Tích phân bằng: 2 dx 32 x  1x a. arctg 33 1x b. arctg C 33 1x c. arctg 33 1x d. arctg C 33               8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức. củahàmsố: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x    2 f(x) 3x 2   VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm củahàmsố: 3 3 2 a. x 2x 1 b. 6x c. 3x 2x d. 3x 2x    2 f(x) 3x 2   VÍ