Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 101 Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLID Mục tiêu Nội dung • Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. • Giải được các bài toán trong các nội dung nêu trên. Thời lượng Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập. Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc. • Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. • Biết cách đưa dạng toàn phương về d ạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester. • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn. • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính. • Giải được các bài toán trong các nội dung nêu trên. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 102 Bài toán mở đầu : Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải P pt (k), k = 1, 2, , 24, tính bằng MW. Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là A(MWh). Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện P k , k = 1, 2, , 24 sao cho đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện. Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất P k , k = 1, 2, , 24 sao cho 24 k 24 k1 k k1 p Pmin 24 = = ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ −→ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ ∑ 24 pt k k1 P(k) P A = ⎡⎤ − = ⎣⎦ ∑ P min ≤ P k ≤ P max , k = 1, 2,…, 24. Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương. Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc. 8.1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 8.1.1. Dạng song tuyến tính Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên \, ánh xạ f: V × V → \ gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu f(x 1 + x 2 , y) = f(x 1 , y) + f(x 2 , y) x 1 , x 2 , y ∈ V f(λx, y) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ \ f(x, y 1 + y 2 ) = f(x, y 1 ) + f(x, y 2 ) ∀ x, y 1 , y 2 ∈ V f(x, λy) = λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈ \ Ví dụ: Ánh xạ f: \ 2 × \ 2 → \ xác định bởi f(u, v) = x 1 x 2 + y 1 y 2 trong đó u = (x 1 , y 1 ), v = (x 2 , y 2 ) là một dạng song tuyến tính trên \ 2 . Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu f(x, y) = f(y, x) ∀x, y ∈ V. Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng. 8.1.2. Dạng toàn phương Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e 1 , e 2 ,…, e n } là một cơ sở của V. Khi đó, ta có Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 103 f(x, y) = f nn nn ij ij ij ij i1 j1 i1j1 xe, ye xyf(e,e). == == ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ ∑∑ (8.1) Đặt f(e i , e j ) = a ij (i, j = 1, 2, , n), ta có 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A a a a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ## # Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e 1 , e 2 ,…, e n }. Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′. Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là a ij = f(e i , e j ) = f(e j , e i ) = a ji , (i, j = 1,2,…,n) thì A là ma trận đối xứng. Nếu {f 1 , f 2 ,…, f n } là một cơ sở khác của V với n km mk m1 fte = = ∑ (k = 1, 2,…, n) và f(f i , f k ) = b ik , ta có b ik = f(f i , f k ) = f nn mi mi ik m1 l1 te, te == ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ = nn ml mi lk m1 l1 ttf(e,e) == ∑∑ nn mi lk ml m1 l1 tta == ∑∑ (i = 1, 2,…, n). Từ đây, ta có B = T –1 AT, trong đó 11 12 1n 11 12 1n 21 22 2n 21 22 2n n1 n2 nn n1 n2 nn b b b t t t b b b t t t B,T b b b t t t ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ## # ## # Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương. Nếu n i i i1 xxe = = ∑ và đặt f(e i , e j ) = a ij = a ji (i, j = 1, 2, , n). Ta có n ij i j i, j 1 f(x, x) a x x = = ∑ = 222 11 1 12 1 2 1n 1 n 22 2 23 2 3 nn n a x 2a x x 2a x x a x 2a x x a x .+++++++(8.2) Trong trường hợp a ij = 0 (i ≠ j; i, j = 1, 2, , n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó 22 2 11 1 22 2 nn n f (x, x) a x a x a x .=±±± Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 104 8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản f(x, x) = 22 2 11 2 2 n n λ ξ+λξ+ +λξ 8.1.3.1. Phương pháp Lagrange Giả sử trong một cơ sở f 1 , f 2 ,…, f n nào đó ta có f(x, x) = ij i j i, j axx ∑ i, j = 1, n (8.3) Trong đó x 1 , x 2 ,…, x n là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này. Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các tích tọa độ với hệ số khác nhau). Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ. Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta c ần có ít nhất một trong các hệ số a ii (hệ số của 2 i x ) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó, nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a 12 x 1 x 2 . Ta thay các tọa độ x 1 , x 2 bởi 11 2 xxx ′′ =+ 212 xxx ′′ =− và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a 12 x 1 x 2 chuyển thành 22 12 1 2 2a (x x ) ′′ − . Theo giả thiết a 11 = a 22 = 0 nên số hạng thu được không bao giờ bị triệt tiêu, nghĩa là hệ số 2 1 x ′ khác 0. Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a 11 ≠ 0. Ta tách ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x 1 2 11 1 12 1 2 1n 1 n a x 2a x x 2a x x+++ Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng 2 11 1 12 1 2 1n 1 n a x 2a x x 2a x x+++ = 2 11 1 1n n 11 1 (a x a x ) B. a + +− (8.4) Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một của các số hạng a 12 x 2 ,…, a 1n x n . Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng f(x, x) = 2 11 1 1n n 11 1 (a x a x ) a + ++ trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x 2 ,…, x n . Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 105 Ta đặt η 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n η 2 = x 2 ……………… η n = x n Khi đó, dạng toàn phương trở thành n 2 1ijij i, j 2 11 1 f(x,x) b . a = =η+ ηη ∑ Biểu thức n ij i j i, j 2 b = ηη ∑ hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x 1 . Bây giờ, ta giả sử b 22 ≠ 0. Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên theo các công thức * 11 * 2222233 2nn * 33 * nn b b b η=η η= η+ η+ + η η=η η=η Trong các biến mới ta có n *2 * * * 12ijij i, j 3 11 22 11 f(x, x) c . ab = =η+η+ ηη ∑ Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n trong đó f(x, x) 22 2 11 2 2 n n .=λξ +λξ + +λξ Như vậy, ta đi đến định lý sau. Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều \ n cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x). Khi đó, trong \ n tồn tại cơ sở e 1 , e 2 , , e n sao cho với cơ sở đó f(x, x) = 22 2 11 22 n n . λ ξ+λξ+ +λξ Trong đó ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e 1 , e 2 , , e n . Ví dụ: Giả sử trong không gian \ 3 với cơ sở f 1 , f 2 , f 3 cho dạng toàn phương f(x, x) = 2x 1 x 2 + 4x 1 x 3 – 2 2 x – 2 3 8x . Ta đặt 12 21 33 xx xx xx ′ = ′ = ′ = Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 106 Khi đó, ta được f(x, x) = 22 112233 x2x2x4xx8x. ′ ′′ ′′ ′ −+ + − Tiếp đó, ta đặt 112 22 33 xx x x. ′′ η=− + ′ η= ′ η= Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương f(x, x) = 22 2 12 23 3 48. − η+η+ηη−η Phép biến đổi ξ 1 = η 1 ξ 2 = η 2 + 2η 3 ξ 3 = η 3 . cho ta dạng chính tắc 22 2 12 3 f(x, x) 12=−ξ +ξ − ξ . 8.1.3.2. Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả sử ma trận ik a của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f 1 , f 2 ,…, f n có các định thức con khác 0 Δ 1 = a 11 ≠ 0 ; 11 12 2 21 22 aa 0 aa Δ =≠ 11 12 1n 21 22 2n n n1 n 2 nn a a a a a a a a a Δ= ≠ 0. (8.5) Trong cơ sở f 1 , f 2 ,…, f n dạng toàn phương f(x, x) có dạng n ik i k i, k 1 f(x, x) a = =ξξ ∑ với a ik = f(f i , f k ). Mục đích của ta là xác định các véc tơ e 1 , e 2 ,…, e n sao cho f(e i , e k ) = 0 với i ≠ k (i, k = 1, n ). (8.6) Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa. Ta sẽ tìm các véc tơ e 1 , e 2 , , e n dưới dạng Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 107 1111 2212222 nn11 n22 nnn ef eff e f f f =α ⎫ ⎪ =α +α ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ =α +α + +α ⎭ (8.7) Các hệ số α ik có thể tìm như sau: Nếu f(e k , f i ) = 0 với i = 1, 2, k – 1 thì f(e k , e i ) = 0 đối với i = 1, 2,…, k – 1. Thật vậy, thay e i bởi biểu thức α i1 f 1 + α i2 f 2 + … + α ii f i ta được f(e k , e i ) = f(e k , α i1 f 1 + α i2 f 2 + + α ii f i ) = α i1 f(e k , f 1 ) + α i2 f(e k , f 2 ) + + α ii f(e k , f i ). Như vậy, nếu f(e k , f i ) = 0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(e k , e i ) đối với i < k và do đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e 1 , e 2 ,…, e n là cơ sở cần tìm. Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau: Xác định các hệ số α k1 , α k2 ,…, α kk sao cho véc tơ e k = α k1 f 1 + α k2 f 2 + … + α kk f k thỏa các điều kiện f(e k , f i ) = 0 với i = 1, 2,…, k – 1. (8.8) Với các điều kiện đó, véc tơ e k được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố định phần tử đó nhờ đòi hỏi f(e k , f k ) = 1. (8.9) Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ e k đã được xác định một cách đơn trị. Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho e k ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây đối với α ki k1 11 k2 12 kk 1k k1 21 k2 22 kk 2k k1 k1 1 k2 k1 2 kk k1 f(f ,f ) f(f ,f ) f(f ,f ) 0 f(f , f ) f(f , f ) f(f , f ) 0 f(f , f ) f(f ,f ) f(f , −− − α+α ++α = α+α ++α = α+α ++α k k1 k1 k2 k2 kk kk f) 0 f(f , f ) f(f , f ) f(f , f ) 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⎪ ⎪ α+α ++α = ⎭ (8.10) Định thức của hệ phương trình này là 11 12 1k 21 22 2k k1 k2 kk f(f ,f ) f(f ,f ) f(f , f ) f(f , f ) f(f ,f ) f(f ,f ) f(f ,f ) f(f , f ) f(f , f ) Δ= (8.11) Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 108 Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ e k đã được giải cho k bất kỳ. Bây giờ, ta tìm các hệ số b ik của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e 1 , e 2 , , e n như ta đã biết b ik = f(e i , e k ). Theo cách dựng cơ sở này, f(e i , e k ) = 0 khi i ≠ k, nghĩa là b ik = 0 khi i ≠ k. Ta tính b kk = f(e k , e k ) f(e k , e k ) = f(e k , α k1 f 1 + α k2 f 2 + … + α kk f k ) = α k1 f(e k , f 1 ) + α k2 f(e k , f 2 ) + … + α kk f(e k , f k ) và theo (8.8) và (8.9) f(e k , e k ) = α kk . Số α kk có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame k1 kk k − Δ α= Δ trong đó Δ k – 1 là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ 0 = 1. Như vậy k1 kk k k k bf(e,e) − Δ == Δ và do đó định lý sau đây đã được chứng minh. Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f 1 , f 2 ,…, f n dạng toàn phương có dạng n ik i k i, k 1 f(x, x) a = =ξξ ∑ với a ik = f(f i , f k ). Tiếp theo, giả sử các định thức Δ 1 = a 11 , 11 12 2 21 22 aa aa Δ= 11 12 1n 21 22 2n n n1 n 2 nn a a a a a a a a a Δ= đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e 1 , e 2 , , e n trong đó f(x, x) được viết dưới dạng chính tắc như sau n1 22 2 0 1 12 n 12 n f (x, x) − Δ Δ Δ =ξ+ξ++ ξ ΔΔ Δ (8.12) với ξ k là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e 1 , e 2 ,…, e n . Ví dụ: Xét dạng toàn phương f(x, x) = 222 1121323 2x 3x x 4x x x x + +++ Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 109 Ta có 3 22 2 3 10 2 201 Δ= Δ 0 = 1; Δ 1 = 2; 2 3 2 1 2 3 4 1 2 Δ ==− 3 9917 2004 0 2 444 Δ=Δ=++−− −=−− =− 222 123 1 1 4 f (x, x) 2( 4) 17 2 4 − =ξ+−ξ+ ξ − 22 2 12 3 11 8 217 = ξ−ξ+ ξ. Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình phương. Chính là, nếu Δ i – 1 và Δ i có cùng dấu thì hệ số của 2 i ξ là dương, nếu chúng khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ 1 , Δ 2 ,…, Δ n . Và như vậy, ta có định lý sau: Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các thay đổi dấu của dãy 1, Δ 1 , Δ 2 ,…, Δ n . Giả sử, trong trường hợp riêng i 0, i 1, nΔ> = . Khi đó, tồn tại cơ sở e 1 , e 2 , , e n trong đó dạng toàn phương có dạng 22 2 11 2 2 n n f (x, x) =λξ +λξ + +λξ Với i 0, i 1, nλ> ∀= , do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ. Hơn nữa, đẳng thức n 2 ii i1 f(x, x) 0 = =λξ= ∑ Nếu ξ 1 = ξ 2 = … = ξ n = 0. Nói cách khác, nếu Δ 1 > 0, Δ 2 > 0,…, Δ n > 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương. Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δ k > 0, ∀k. Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester) Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f 1 , f 2 ,…, f n là cơ sở của \ n . Khi đó, dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi i 0, i 1, nλ> ∀= . Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 110 8.2. Không gian Euclid 8.2.1. Tích vô hướng và không gian Euclid 8.2.1.1. Định nghĩa 8.3 Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của hai véc tơ x, y ∈ V là một số thực, ký hiệu <x, y> thỏa mãn các tính chất sau: 1. <x, y> = <y, x> ∀x, y ∈ V 2. <λx, y> = λ<x, y> ∀x, y ∈ V 3. <x 1 + x 2 , y> = <x 1 , y> + <x 2 , y> ∀x 1 , x 2 , y ∈ V 4. <x, x> ≥ 0 ∀x ∈ V Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclid, ký hiệu là E. Nhận xét: Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính, đối xứng f(x, y) = <x, y> trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác định dương. 8.2.1.2. Độ dài một véc tơ Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi 1 2 xx,x=< > gọi là chuẩn của véc tơ x. Chú ý: Trong \ n , ta định nghĩa tích vô hướng n ii 1 n 1 n i1 x, y x y , x (x , , x ), y (y , , y ) = <>= = = ∑ . Khi đó n 2 2 i i1 xx = = ∑ 8.2.1.3. Góc giữa hai véc tơ a, b a . b cos(a, b)<>= GGG GGG <a, b> cos(a, b) a.b ⇒= G G G G G G , nếu a0,b0. ≠ ≠ G G Chuyển sang không gian Euclid <x, y> cos(x, y) = xy Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu <x, y> = 0. [...]... về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương • Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester • Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn • Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính • Giải được các bài tập 119 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian. .. biết, ta thấy có hai bài toán cơ bản: (1) Cho một mặt cong xem như quỹ tích của các điểm, thành lập phương trình của mặt đó (2) Cho phương trình giữa các tọa độ x, y, z khảo sát dạng của mặt cong xác định bởi phương trình này 118 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid Các bạn cần.. .Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.2.1.4 Hai không gian con trực giao Cho E là một không gian Euclid Hai không gian con E1, E2 ⊂ E gọi là trực giao nếu = 0, ∀x ∈ E1, ∀y ∈ E2 8.2.1.5 Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn Cho E là một không gian Euclid Hệ cơ sở {e1; e2;…; en} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu... 111 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 8.2.2 Không gian hình học Euclid 8.2.2.1 Khái niệm Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ MN của E thỏa mãn hai tiên đề (1) MN + NP = MP, ∀M, N, P ∈ U (2) Với mỗi M ∈ U và a ∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN = a Khi U là không gian hình học Euclid. .. trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)} trong đó i , j, k là ba véc tơ đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b)) 8.2.2.2 Đường thẳng và mặt phẳng Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là a1x1 + a2x2 = b với a1, a2 không đồng thời bằng 0 Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 112 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương,. .. 36 ⇔ 2 Đây là elip 116 2 X1 X2 + 2 = 1 9 4 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e1, e2, e3)}, mặt cong S có phương trình 2 2 2x1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x1x 2 − 2x 2 x 3 = 16 2 Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó Giải: Ta có ma trận đối... + d = 1 Từ đó rút ra ⎛ a b⎞ 2 2 A=⎜ ⎟ trong đó a + b = 1 ⎝ −b a ⎠ 113 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Do đó a2 + b2 = 1 nên tồn tại ϕ để ⎧a = cosϕ ⎨ ⎩b = sinϕ Vì vậy, A trực giao khi và chỉ khi ⎛ cosϕ sinϕ ⎞ A=⎜ ⎟ (*) ⎝ −sinϕ cosϕ ⎠ (2) Giả sử f là phép biến đổi trực giao trong không gian véc tơ Euclid bao gồm các véc tơ trong mặt phẳng tương ứng với ma trận (*) theo... phương, không gian Euclid BÀI TẬP 2 2 1 Đưa dạng toàn phương f (x, x) = 27x1 − 10x1x 2 + 3x 2 về dạng chính tắc bằng phương pháp trực chuẩn hóa 2 Đưa dạng toàn phương 2 2 2 f = 6x1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x1x 2 + 4x1x 3 − 8x 2 x 3 về dạng chính tắc 3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính 17x2 + 12xy + 8y2 – 46x – 28y + 17 = 0 (1) 4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc f =... 3 e + e 3 3 1 2 e 2 1 2 2 3 e − e 6 6 117 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Trong hệ tọa độ mới {O, (f 1, f 2, f 3)}, phương trình của S là ′ x12 + 2x ′2 + 4x′2 = 16 ⇔ 2 3 Đó là một elipsoit có các bán trục là 4, 8.3 ′ x12 x′2 x′2 + 2 + 3 =1 16 8 4 8 và 2 Ý nghĩa hình học của phương trình Ta thấy rằng mỗi mặt cong trong không gian xem như quỹ tích của các điểm, có thể... 9 4 Ma trận đổi biến là ⎛ ⎜ T=⎜ ⎜ ⎜− ⎝ 2 5 1 5 1 ⎞ 5⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ 5⎠ 115 Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có 2 ⎧ ⎪cos ϕ = 5 ⎪ ⎨ ⎪sin ϕ = 1 ⎪ 5 ⎩ với cos2ϕ + sin2ϕ = 1 Đó là một phép quay trục một góc ϕ Có trường hợp ta còn phải làm phép tịnh tiến Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng S 2 2 5x1 − 4x1x 2 + 8x 2 + 20 80 x1 − x2 + 4 = . Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 101 Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLID Mục tiêu Nội dung • Khái niệm về dạng song tuyến. này. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 119 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid. Các. Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid 112 8.2.2. Không gian hình học Euclid 8.2.2.1. Khái niệm Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid