Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 Chơng I Căn bậc hai - căn bậc ba I. Các kiến thức lý thuyết của chơng. +) Nếu a 0, x 0, a = x <=> x 2 = a +) AA = 2 +) Để A có nghĩa thì A 0 +) )0,0(. = BABAAB +) B A B A = ( A 0, B > 0) +) )0( 2 = BBABA +) = 0,0; 0,0; 2 2 BABA BABA BA +) B BA B A = ( A và B cùng dấu, B 0) +) B BA B A = (A 0, B > 0) +) );0,( )( CBCB CB CBA CB A = + +) );0,( )( CBCB CB CBA CB A + = +) );0( )( 2 CBB CB CBA CB A = Lu ý: CB + và CB đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau, CB + và CB cũng đợc gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau II. Các dạng toán về căn bậc hai A. đối với học sinh tb, yếu Dạng 1. Tìm điều kiện xác định 1 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 1. Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức + Nếu biểu thức chứa biến nằm trong căn bậc hai .Tìm điều kiện của biển để biểu thức trong căn không âm. 2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn - Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1) (1) ax - b (*) ( Chuyển vế) Nếu a > 0, (*) x a b ( Chia cả hai vế cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi chiều) Nếu a < 0, (*) x a b (Chia cả hai vế cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều) - Ví dụ: 2x - 1 0 2x 1 x 2 1 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa a) 3x ; b) 12 x ; c) 23 +x Giải a) Để 3x có nghĩa thì x - 3 0 x 3. b) Để 12 x có nghĩa thì 2x - 1 0 2x 1 x 2 1 c) Để 2 2 3 +x có nghĩa thì 2 3 x + 2 0 2 3 x -2 x 3 4 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các biểu thức sau a) 2+ x ; b) 2 3 1 + x ; c) 3 2 2 x ; d) 1 2 +x Giải a) Để 2+ x có nghĩa thì -x + 2 0 - x -2 x 2. Vậy tập xác định của 2+ x là {x/ x 2} b) Để 2 3 1 + x có nghĩa thì - 3 1 x +2 0 - 3 1 x - 2 x 6 Vậy tập xác định của 2 3 1 + x là {x/ x 6} c) Để 3 2 2 x có nghĩa thì 3 2 2 x 0 -2x 3 2 x 3 1 Vậy tập xác định của 3 2 2 x là {x/ x 3 1 } 2 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 d) Do x 2 0 với mọi x nên x 2 + 1 1 với mọi x, do đó 1 2 +x luôn có nghĩa với mọi x. Dạng 2: So sánh các căn bậc hai 1. Kiến thức cần nắm - Đa thừa số vào trong dấu căn, đa thừa số ra ngoài dấu căn. - baba = (a, b 0) 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: So sánh: a) 15 và 4; b) 2 5 và 23 c) 3 2 và 2 3 Giải: a) Ta có: 4 = 16 mà 15 < 16 do đó 15 < 4 b) Ta có: 2 205 = mà 20 < 23 do đó 2 5 < 23 c) Ta có: 3 2 18= ; 1232 = mà 18 > 12 do đó 3 2 > 2 3 Ví dụ 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần 12; 6 3 ; 5 5 ; 8 2 Giải: Ta có: 12 = 144 ; 6 3 = 108 ; 5 5 = 125 ; 8 2 = 128 Mà 108 < 125 < 128 < 144 Vậy ta có: 6 3 < 5 5 < 8 2 < 12 Dạng 3: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn - Rút gọn 1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn + Vận dụng chính xác hằng đẳng thức AA = 2 +) Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu. +) Quy tắc khai phơng chỉ áp dụng cho tích và thơng(không áp dụng cho tổng và hiệu) 2. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn +) Hằng đẳng thức căn bậc hai. +) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu +) So sánh các căn bậc hai +) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: -) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 -) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 -) a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) -) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) -) a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) -) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 3 + b 3 3 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 -) (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 3 - b 3 +) Tính chất cơ bản của phân số )0,0(; . . = mb b a mb ma +) Phân tích đa thức thành nhân tử. 3. Các ví dụ: Ví dụ 1:Tính a) 56.14 b) 12. 7 3 3. 2 1 3 c) 50182 + Giải a) 56.14 = 282.144.144.144.14.1456.14 22 ===== b) 121212. 7 24 . 2 7 12. 7 24 . 2 7 12. 7 3 3. 2 1 3 2 ==== c) 50182 + = 2 +3 2 -5 2 = (1 + 3 - 5) 2 = 2 Ví dụ 2: Rút gọn a) ;)7()5( 22 + b) 2 )31( c) 22 )32()32( + Giải a) 22 )7()5( + = 75 + = 5 + 7 = 12 b) 2 )31( = 31 = 13 c) 22 )32()32( + = 323232)32()32(3232 ==+=+ Ví dụ 3: Rút gọn a) 22 21 b) a a + 1 1 ( a 0) c) 31 1 31 1 + , d) xx + + 1 2 1 2 ( 0 x 1) Giải a) 22 21 = 2 1 )12(2 21 = b) a a + 1 1 = a a aa = + + 1 1 )1)(1( (a 0) c) 31 1 31 1 + = 2 )31(31 31 31 31 31 )31)(31( 31 )31)(31( 31 + = + = + + + = 3 2 32 2 3131 = = ++ d) xx + + 1 2 1 2 = )1)(1( )1(2 )1)(1( )1(2 xx x xx x + + + + = x x x x + + 1 22 1 22 = xx xx = ++ 1 4 1 2222 (0 x 1) 4 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = + x x xx 2 4 . 2 1 2 1 Với 0 < x 4 b) B = + + + 1 1 : 11 x x x x x x Với 0 x 1 c) C = )1(22. 2 1 . 1 1 2 >+ xx x x Giải: a) Ta có : A = + + + x x xx x xx x 2 4 . )2)(2( 2 )2)(2( 2 = x x x xx x x x x x x 2 4 . 4 22 2 4 . 4 2 4 2 ++ = + = 1 2 4 . 4 2 = x x x x (Với 0 < x 4) b) Ta có: B = + + + 1 1 : 11 x x x x x x = 1 1 . )1)(1( )1( )1)(1( )1( + + + + + x x xx xx xx xx = 1 2 1 1 . 11 + = + + + x xx x x x xxx x xxx Với 0 x 1 c) Ta có: C = )1(1)1( )1(2 )1)(1)(1(2 )22.( 2 1 . 1 1 2 2 >+=+= ++ =+ xdoxx x xxx x x x Bài tập Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: a) 53 +x b) 3 2 +x ; c) 12 + x Bài 2: So sánh : a) 2 và 5 b) 3 2 và 17 c) 6 1 26 2 1 v Bài 3: Tính : a) 75.12 b) 25 36 . 25 24 1. 9 7 2 c) 12 21 7 25 d) 0,04.25 ; e) 90.6,4 ; f) 25 121 g) 9 1 16 h) 2 18 Bài 4. Tìm x biết: 5 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 a. 2 5x = ; b. 2 10x = ; c. 2 9 6x = Bài 5: Rút gọn a) 80205 ++ b) 24.23123 ++ c) 16x4xx + (x ) 0 Bài 6 . Giải phơng trình a. 2 2 3 2 2 8x x x + = b. 1 3 4 4 16 16 6x x x+ + + + = Bài 7: Tính a) 2 )21( b) 3)23( 2 + Bài 8 : Tính: a) 22 7)7( + b) 22 )52()35( + Bài 9. Phân tích thành nhân tử a. x 2 - 7; b. 27 18 ; c. 15 12 Bài 10: Rút gọn: a) 55 15 b) aa a + +1 (với a > 0) c) 1 1 + a a (với a 0) Bài 11: Rút gọn: a) 32 1 32 1 + + b) 21 2 21 2 + c) 52 1 32 1 + Bài 12: Rút gọn: a) 1 1 1 + + xx 1 b) yxyx + 11 Bài 13 : Rút gọn: a) 2 9 . 3 1 3 1 + x xx b) 4 1 : 2 2 2 2 + + + x x x x x B. đối với học sinh Khá, giỏi Dạng 1. Tìm điều kiện xác định * Lu ý khi tìm điều kiện xác định của một biểu thức + Nếu biểu thức chỉ chứa biến ở mẫu. Tìm điêù kiện của biển để mẫu khác 0. 6 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 + Nếu biểu thức chỉ chứa biến nằm trong căn bậc hai ( Hoặc chẵn). Tìm điều kiện của biển để biểu thức trong căn không âm. + Nếu biểu thức có biến vừa nằm trong dấu căn vừa nằm ở mẫu thì ta tìm điều kiện của biến để vừa thoả mãn cả mầu khác 0 và biểu thức dới dấu căn không âm. 2. Kiến thức cần nắm khi tìm điều kiện xác định của biểu thức dới dấu căn -) Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b 0 (1) -) Tích a.b âm khi a và b khác dấu, tích a.b dơng khi a và b cùng dấu ( Hay nói cách khác: a.b 0 0 0 0 0 b a b a ; a.b 0 0 0 0 0 b a b a 0 b a 0 0. b ba ; 0 b a 0 0. b ba -) a n xx == n a ( a 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa a) 3 1 2 3 x + 12 x ; b) 2 23 + + x x c) 12 3 + x x Giải a) Để 3 1 2 3 x + 12 x có nghĩa thì 2 1 2 1 9 2 12 3 1 2 3 012 0 3 1 2 3 x x x x x x x b) Để 2 23 + + x x có nghĩa thì 2 3 2 2 3 2 2 23 02 023 < < > >+ x x x x x x x c) Để 12 3 + x x có nghĩa thì < < > <+ >+ + 2 1 3 2 1 3 2 1 3 012 03 012 03 0 12 3 x x x x x x x x x x x x Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa: a) 1 2 x ; b) )1)(2( + xx ; c) 23 2 + xx , d) 32 24 + xx Giải 7 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 a) Cách 1: Để 1 2 x có nghĩa thì x 2 - 1 0 x 2 1 x -1 hoặc x 1 Cách 2: Để 1 2 x có nghĩa thì x 2 - 1 0 (x-1)(x+1) 0 + + 01 01 01 01 x x x x 1 1 1 1 1 1 x x x x x x (Theo cách giải 1 thì ta thấy đơn giản hơn nhng Cách giải 2 lại áp dụng cho nhiều bài tập dạng nh câu b và câu c) b) Để )1)(2( + xx có nghĩa thì ( x - 2)( x+ 1) 0 + + 01 02 01 02 x x x x 1 2 1 2 x x x x 1 2 x x c) Để 23 2 + xx có nghĩa thì - x 2 + 3x - 2 0 (1 - x)(x - 2) 0 21 2 1 2 1 02 01 02 01 x x x x x x x x x d) Để 32 24 + xx có nghĩa thì x 4 + 2x 2 - 3 0 (x 2 - 1)(x 2 +3) 0 x 2 - 1 0 x 1 hoặc x -1 Ví dụ 3: Tìm điều kiện để 32 2 + xx có nghĩa Giải Để 32 2 + xx có nghĩa thì x 2 - 2x + 3 0 x 2 - 2x +1 + 2 0 (x +1) 2 + 2 0 Ta thấy (x + 1) 2 0 nên (x +1) 2 + 2 2 Vậy với mọi x thì 32 2 + xx luôn có nghĩa. Dạng 2: Biến đổi biểu thức chứa dấu căn 8 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 1. Lu ý khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn + Vận dụng chính xác hằng đẳng thức AA = 2 + Vận dụng đúng các công thức về trục căn ở mẫu, khử mẫu. 3. Kiến thức cần nắm khi biến đổi biểu thức chứa dấu căn +) Hằng đẳng thức căn bậc hai. +) Các quy tắc khai phơng, trục căn ở mẫu, khử mẫu +) So sánh các căn bậc hai +) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: +) Tính chất cơ bản của phân số )0,0(; . . = mb b a mb ma +) Phân tích đa thức thành nhân tử. 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn : a) A= 324 b) B = )622.(3814 + ; c) C = 347 + 347 + d) D = 62725 Giải: a) A = 1313)13(1323 2 ===+ b)B = )622.(3814 + = )622(48214 + = )68.(66.828 ++ = 268)68)(68()68()68( 2 ==+=+ c) C = 347 + 347 + = 22 )32()32(32.2732.27 ++=+ = 2- 3 + 2 + 3 = 4 d)D= 62725 = 627)16(25)16(25162625 2 ===+ = 16)16( 2 = Ví dụ 2: Rút gọn: a) A = 3232 ++ b) B = 3535 + Giải: a) * Cách 1: Ta có A 2 = 22 )13()13(324324 ++=++ 321313 =++= A = 6 2 32 = * Cách 2: Ta có: A 2 = 63234232 =+++ . Do A > 0 nên a = 6 9 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 b) Ta có: B 2 = 222103522235)35(35.352)35( 22 =++=+++ Do B < 0 nên B = - 22210 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với x, y dơng thì biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x A = xy xyyx yx xyyx + + 4)( 2 Giải: Ta có: A = yx yx xyyx xy yxxy yx xyxyyx + + ++ = + ++ 2)(42 = yx + - yx + = 2 y Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A = 33 257257 ++ Giải: Cách 1: Ta có 21 3 )226 +=+=+++=+ 3 3 3 2(1231257 Tơng tự ta có 3 257 = 1 - 2 Do đó: A = (1 + 2 ) +(1 - 2 ) = 2 Cách 2:Ta có A 3 = 3 ))()(3 25725(7257257257257 33 ++++++ = 14 - 3A A 3 + 3A - 14 = 0 (A - 2)(A 2 + 2A + 7) = 0 A = 2 ( do A 2 + 2A + 7 6) Bài tập Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức a) 42 1 2 x ; b) 391 2 + x ; c) 12 12 xx x ; d) 12 332 + + x xx Bài 2. Tìm a để các căn thức sau đây có nghĩa a. 2 3 a ; b. 3 1a ; c. 5 6a + ; d. 2 1a + Bài 3 : Tính a) 6 2 5+ b) 5 2 6 c) 7 2 10 2 + d) aa 58 3 3 10 [...]... x = 6 vào hàm số y = x 1 ta đợc y = 5 Vậy toạ độ điểm C là ( 6; 5) Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số 15 C 1 x+ 2 2 Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9 Ví Dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1) Giải: Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 1) có nghĩa là: 1 = a.1 + 3 a = - 2.Vậy a = -2 Ví Dụ 2: Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm... song với hàm số y = 2x 1 16 Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9 Bài 5: Cho hàm số y = ax + 2, tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3) Bài 6: Cho hàm số y = 1 x + b, tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(4; 1) 2 Bài 8: Cho hàm số y = ax + b, tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -2; 1) và song song với đờng thẳng y = - x +3 Bài 9: Cho hàm số y = ax + b, Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm... định hệ số nguyên a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dơng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên dơng Bài 9: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax 1; y = 1, y = 5 và trục tung tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8 Để kiểm tra chơng II 20 Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9 Môn: đại số Thời gian :90 phút Câu 1: Cho hàm số y... II Môn: đại số Thời gian :90 phút 31 B A 5 C x Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9 Câu 1: (4 điểm) a)(2 điểm) Khi a = 1, b = 2 thì hàm số trở thành y = x + 2 Chọn x = 0 thì y = 2 Chọn y = 0 thì x = -2 Đồ thị hàm số y = x + 2là đờng thẳng đi qua hai điểm ( 0; 2) và (-2; 0) y 2 -2 O x b) ( 2 điểm) Đồ thị hàm số cắt trục tung tịa điểm có tung độ bằng 3 b = 3 Khi đó hàm số trở thành y = ax + 3 Đồ thị hàm số. .. hàm số bậc nhất cần tìm là y = ax + b Theo bài ra đồ thi hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2 Khi đó hàm số là y = ax + 2 29 Đề cơng ôn tập học sinh lớp 9 1 2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - , khi đó nó đi qua điểm 1 2 1 2 1 2 (- ; 0) hay - a + 2 = 0 - a = -2 a = 4 Vậy hàm số là y = 4x + 2 B, Đối với học sinh khá, giỏi Bài tập Bài 1: Bài 2: Gọi hàm số. .. 0 x . hàm số y = 3x - 1 và y = 2x + 3 Bài 4: Xác định hệ số góc của hàm số y = ax + b biết dồ thị hàm số y = ax + b song song với hàm số y = 2x 1 16 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 Bài 5: Cho hàm số. mà em cho là đúng a) Giá trị của biểu thức 121 16 . 81 49 bằng A. 11 7 B . 9 4 C. 9 7 D . 99 28 12 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 a) Giá trị của biểu thức 2 )32( bằng A . 1 B . 23. Chơng II Hàm số bậc nhất một ẩn. I. Lý thuyết 13 Đề c ơng ôn tập học sinh lớp 9 1, Định nghĩa: Hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trớc, a 0. đợc gọi là hàm số bậc nhất