Nhắc lại giới hạn - đạo hàm - vi phân Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x Hệ quả: ® = x0 x lim1 sinx ® = u(x)0 sinu(x) lim1 u(x) ® = u(x)0 u(x) lim1 sinu(x) b) x x 1 lim1e,xR x ®¥ ỉư +=Ỵ ç÷ èø Hệ quả: 1 x x0 lim(1x)e. ® += x0 ln(1x) lim1 x ® + = x x0 e1 lim1 x ® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1 (x)'x aa- =a 1 (u)'uu' aa- =a 2 11 ' xx ỉư =- ç÷ èø 2 1u' ' uu ỉư =- ç÷ èø ( ) 1 x' 2x = ( ) u' u' 2u = xx (e)'e = uu (e)'u'.e = xx (a)'a.lna = uu (a)'a.lna.u' = 1 (lnx)' x = u' (lnu)' u = a 1 (logx') x.lna = a u' (logu)' u.lna = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1 (tgx)'1tgx cosx ==+ 2 2 u' (tgu)'(1tgu).u' cosu ==+ 2 2 1 (cotgx)'(1cotgx) sinx - ==-+ 2 2 u' (cotgu)'(1cotgu).u' sinu - ==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b) Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b) +DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b) +- == 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C =+ ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( ) f(x)dx'f(x) = ò · af(x)dxaf(x)dx(a0) =¹ òò · [ ] f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx +=+ òòò · [ ] [ ] f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x) ) =+Þ=+=+= òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. § Bài 1 : NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC =+ ò duuC =+ ò 1 x xdxC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò 1 u uduC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò dx lnxC(x0) x =+¹ ò du lnuC(uu(x)0) u =+=¹ ò xx edxeC =+ ò uu edueC =+ ò x x a adxC(0a1) lna =+<¹ ò u u a aduC(0a1) lna =+<¹ ò cosxdxsinxC =+ ò cosudusinuC =+ ò sinxdxcosxC =-+ ò sinuducosuC =-+ ò 2 2 dx (1tgx)dxtgxC cosx =+=+ òò 2 2 du (1tgu)dutguC cosu =+=+ òò 2 2 dx (1cotgx)dxcotgxC sinx =+=-+ òò 2 2 du (1cotgu)ducotguC sinu =+=-+ òò dx xC(x0) 2x =+> ò du uC(u0) 2u =+> ò 1 cos(axb)dxsin(axb)C(a0) a +=++¹ ò 1 sin(axb)dxcos(axb)C(a0) a +=-++¹ ò dx1 lnaxbC axba =++ + ò axbaxb 1 edxeC(a0) a ++ =+¹ ò dx2 axbC(a0) a axb =++¹ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b) ="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2 F(x)ln(xxa) =++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1 f(x) xa = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 22 2x 1 (xxa)' 2xa F'(x)[ln(xxa)]' xxaxxa + ++ + =++== ++++ 2 222 xax1 f(x) xa(xxa)xa ++ === ++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 ekhix0 F(x) xx1khix0 ì ³ ï = í ++< ï ỵ Là một nguyên hàm của hàm số x ekhix0 f(x) 2x1khix0 ì ³ = í +< ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x0 ¹ , ta có: x ekhix0 F'(x) 2x1khix0 ì > = í +< ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Só Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x 0 = 0. 20 x0x0 F(x)F(0)xx1e F'(0)limlim1. x0x - ®® -++- === - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x 0 = 0. x0 x0x0 F(x)F(0)ee F'(0)limlim1. x0x ++ + ®® === - Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1. -+ ==Þ= Tóm lại: x ekhix0 F'(x)f(x) 2x1khix0 ì ³ == í +< ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x)vớix(a;b) ="Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Þ giá trò của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Só Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: 2 xkhix1 F(x) axbkhix1 ì £ = í +> ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2xkhix1 f(x) 2khix1 £ ì = í > ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x1 ¹ , ta có: 2xkhix1 F'(x) 2khix1 < ì = í > ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x1x1 limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1) -+ ®® ==Û+=Û=- · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x1 x1 f(x)F(1)x1 F'(1)=limlim2. x1x1 - ® ® == · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 = 0. x1x1x1 F(x)F(1)axb1ax1a1 F'(1)limlimlima. x1x1x1 +++ + ®®® -+-+ ==== Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2. -+ Û=Û= (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: - =++ 22x F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của 22x F(x)(2x8x7)e - = + trên R. Giải: Ta có: 2x22x F'(x)(2axb)e2(axbxc)e =+-++ 22x 2ax2(ab)xb2ce - éù =-+-+- ëû Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F'(x)f(x),xR Û="Ỵ Û-+-+-=-+-"Ỵ 22 2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1 ab4b3 b2c7c2 == ìì ïï Û-=Û=- íí ïï -=-= ỵỵ Vậy - =-+ 22x F(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x F(x)lntg 24 p ỉư =+ ç÷ èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1 f(x) cosx = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2 ln(x1) ,x0 F(x) x 0,x0 ì + ¹ ï = í ï = ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 22 2ln(x1) ,x0 f(x) x1x 1,x0 ì + -¹ ï = + í ï = ỵ Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số 2x F(x)(axbxc).e - =++ là một nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(2x5x2)e - =-+ trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 32 2 x3x3x7 F(x)củaf(x)vàF(0)8. (x1) ++- == + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 x f(x)sinvàF. 224 pp ỉư == ç÷ èø ĐS: a/ 2 x8 F(x)x; 2x1 =++ + b/ 1 F(x)(xsinx1) 2 =-+ Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2 F(x)(axbxc)2x3 =++- là một nguyên hàm của hàm số: 2 20x30x73 f(x)trênkhoảng; 2 2x3 -+ ỉư =+¥ ç÷ èø - b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a4;b2;c1; ==-= b/ 2 G(x)(4x2x10)2x322. =-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dxF(x)C =+ ò thì 1 f(axb)dxF(axb)Cvớia0. a +=++¹ ò Giải: Ta luôn có: 1 f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0. a +=++¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 11 f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm) aa +=++++ òò . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x) =+Þ=+= òò Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 3 (2x3)dx + ò b/ 4 cosx.sinxdx ò c/ x x 2e dx e1 + ò d/ 2 (2lnx1) dx x + ò Giải: a/ Ta có: 44 33 11(2x3)(2x3) (2x3)dx(2x3)d(2x3).CC. 2248 ++ +=++=+=+ òò b/ Ta có: 5 44 cosx cosx.sinxdxcosxd(cosx)C 5 =-=-+ òò c/ Ta có: xx x xx 2ed(e1) dx22ln(e1)C e1e1 + ==++ ++ òò d/ Ta có: 2 23 (2lnx1)11 dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C. x22 + =++=++ òò Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x 2sindx 2 ò b/ 2 cotgxdx ò c/ tgxdx ò d/ 3 tgx dx cosx ò Giải: a/ Ta có: 2 x 2sindx(1cosx)dxxsinxC 2 =-=-+ òò b/ Ta có: 2 2 1 cotgxdx1dxcotgxxC sinx ỉư =-= + ç÷ èø òò c/ Ta có: sinxd(cosx) tgxdxdxlncosxC cosxcosx ==-=-+ òòò [...]... Ỵ R \ {-2 ; - 1}, ta được: I= Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I = òx 2 1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1 [ + ] + C a2 a+2 a +1 dx - 4x + 3 Giải: Ta có: 1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 ỉ 1 1 ư = = = ç ÷ x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1 ø 2 1 ỉ dx dx ư 1 d(x - 3) d(x - 1) 1 Khi đó: I = ç ò - - ' = (ln x - 3 - ln x - 1) + C ÷ = [ò 2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2 = 1 x -3 ln + C 2 x -1 Ví... d(ex - e- x ) Þ F(x) + G(x) = ò x dx = ò x = ln ex - e - x + C1 -x -x e -e e -e x -x e -e f(x) - g(x) = x = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 e - e- x ìF(x) + G(x) = ln ex - e- x + C1 1 ï Ta được: í Þ F(x) = (ln e x - e- x + x) + C 2 ïF(x) - G(x) = x + C2 ỵ BÀI TẬP Bài 19 Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ f(x) = ĐS: a/ sin x ; sin x + cos x b/ f(x) = sin 2 x.cos 2x c/ f(x) = ex e x + e- x 1 1 1 1 (x -. .. = ò dx (x - 1)10 Giải: Sử dụng đồng nhất thức (công thức Taylo): x 3 = 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 x3 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 Ta được: = (x - 1)10 (x - 1)10 = 1 3 3 1 + + + 10 9 8 (x - 1) (x - 1) (x - 1) (x - 1)7 é 1 3 3 1 ù Khi đó: I = ò ê + + + dx 10 9 8 (x - 1) (x - 1) (x - 1)7 ú ë (x - 1) û 1 3 3 1 =+ C 9 8 7 9(x - 1) 8(x - 1) 7(x - 1) 6(x - 1)6 Dạng 2: Tính tích phân bất đònh:... mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(1 - x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(ax + b)a dx, với... tích phân bất đònh: I = ò dx (1 - x)39 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: x 2 = (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 x2 (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 1 2 1 Ta được: = = + 39 39 37 37 (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x)39 Khi đó: I = ò = dx 2dx dx - +ò 37 38 (1 - x) (1 - x) (1 - x)39 1 2 1 + + C 36(1 - x)36 37(1 - x)37 38(1 - x)38 Chú ý: Mở rộng tự nhiên của phương pháp giải trên ta đi xét ví dụ: x3 Ví dụ 4: Tính tích phân. .. 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C 3 15 è5 ø =- 2 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1 x + C 15 15 Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx Giải: 1 - t3 3 Đặt: t = 1 - 2x Þ x = Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt, 2 2 3 2 2 x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = Khi đó: I = 3 7 4 (t - t )dt = 8ò 1 - t3 2 ỉ 3 2 ư 3 7 4 t ç - t dt... = - sin 4x Þ F(x) - G(x) = - ò sin 4xdx = 1 cos 4x + C2 4 ìF(x) + G(x) = - cos2x + C1 1ỉ 1 ï ư Þ F(x) = ç - cos2x + cos 4x ÷ + C Ta được: í 1 2è 4 ø ïF(x) - G(x) = 4 cos 4x + +C2 ỵ ex Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) = x e - e-x Giải: e- x Chọn hàm số phụ: g(x) = x e - e- x Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: ex + e- x f(x) + g(x) = x e - e- x ex + e- x... 1 1 thì vi t lại f(x) = x - 5x + 6 x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì vi t lại f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x · Với f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vi t lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 2 1 1 thì vi t lại f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1) 2 2x + 1 + 3 - 2x = 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x · tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1 · cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1 · x... -( x + 2) [ -( x + 1) + -( x + 2)]dx 1 1 é ù Suy ra: dt = êú dx = 2 (x + 1)(x + 2) ë 2 -( x + 1) 2 -( x + 2) û dx 2dt Û =t (x + 1)(x + 2) Khi đó: I = - 2 ò dt = -2 ln t + C = -2 ln -( x + 1) + -( x + 2) + C t BÀI TẬP Bài 12 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x4 x2 - x a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10 ; c/ f(x) = ; x -4 (x - 2)3 2 ĐS: a/ 9 1 2 1 (x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C 12 11 10 x2 - 1 d/ f(x)... - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = Khi đó: I = 2-t 2-t 8 ỉ 1 ư 1 9 t ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt = 3 3 è 6 ø 18 1 1 ỉ 1 10 2 9 ư 1 10 1 9 9 8 ò (t - 2t )dt = 18 ç 10 t - 9 t ÷ + C = 180 t - 81 t + C 18 è ø Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 2dx 1- x Giải: Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2 Suy ra: dx = - 2tdt & x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2 tdt) = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt t 1- x 2 2 ỉ1 ư Khi đó: I = 2 ò (t 4 - . Nhắc lại giới hạn - đạo hàm - vi phân Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x . 2 111 f(x)th vi tlạif(x) x5x6x3x2 = =- -+ · Với 11 f(x)th vi tlạif(x)(32x2x1) 2 2x132x == + + +- · Với xx2xxx f(x)(23)th vi tlạif(x)42.69. =-= -+ · Với 3 f(x)8cosx.sinxth vi tlạif(x)2(cos3x3co sx).sinx ==+. a1a1 ab4b3 b2c7c2 == ìì ïï -= Û =- íí ïï -= -= ỵỵ Vậy - =-+ 22x F(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x F(x)lntg 24 p ỉư =+ ç÷ èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm