Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com MẶT CẦU, KHỐI CẦU I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa mặt cầu - Trong không gian cho điểm I cố định và số thực duong R không đổi. Mặt cầu (S) tâm I, bán kinh R là tập hợp những điểm M sao cho IM = R. - Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho · 0 AMB 90= là mặt cầu đường kính AB 2. Vị ttí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(I,R) và mp(P). Gọi IH = d = d(I,(P)) a) d > R : (S) và (P) không có điểm chung b) d = R : (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H, H là tiếp điểm, (P) là tiếp diện c) d < R : (P) có chung với (S) một đường tròn (C) tâm H, bán kính 2 2 r R d= − 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(I,R) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ , d = IH = d(I, ∆ ) a) d > R : ∆ và (S) không có điểm chung b) d = R : ∆ tiếp xúc với (S) tại H, H là tiếp điểm, ∆ là tiếp tuyến c) d < R : ∆ và (S) có hai điểm chung - Tại một điểm M thuộc S(I,R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng vuông góc với IM và tạo thành mp (P) vuông góc với OM 4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu: 2 3 4 S 4 R , V R 3 π π = = 5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. - Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Xác định một cạnh bên d đồng phẳng với trục của đường tròn ngoại tiếp đáy - Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của trục và cạnh bên d đó. 6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. - Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được. Khi đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẩng nối tâm hai đáy. II – VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 1. Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho: MA MB MC MD a+ + + = uuuur uuur uuur uuuur >0 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với (ABCD). Qua A, kẻ mp (P) vuông góc với SC tại I, (P) cắt SB, SD tại M, N. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, M, I, N cùng nằm trên một mặt cầu. 3. Xác định tâm, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp: a) Hình tứ diện đều cạnh a b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO = 2a, SO vuông góc với (ABCD) c) Tứ diện S.ABC, ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, SA = 2a, SA vuông góc với (ABC) d) Hính chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với (ABCD) 4. Cho tứ diện S.ABC, đáy là tam giác cân ABC có cạnh đáy BC = 2a, · BAC α = , cạnh bên SA hợp với đáy một góc β sao cho hình chiếu của lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD. 6. Cho tứ diện ABCD có AB AC 2,DB DC 3,DA 5= = = = = . Hãy tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 7. Cho tam giác ABC cân ớ A, góc A = 30 0 , BC = 4. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 chứa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) 8. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Gọi A là một điểm tùy ý trên mặt cầu. mp(P) qua A và hợp với OA một góc 60 0 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và mặt cầu 1 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Hai mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy một góc α mà 1 cos 3 α = a) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu đó 10.Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho biết hình chiếu của A' xuống mp(ABC) là O và cạnh bên hợp với đáy một góc α mà 1 cos 3 α = . a) Chứng minh A'ABC là tứ diện đều b) Xác định tâm và tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp A'ABC. 11.Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền AC = 2a, (SAC) vuông góc với (ABC) và 2 mặt (SAB) và (SCD) cùng hợp với (ABC) các góc bằng α mà tan 2 α = . Kẻ SO vuông góc với (ABC). a) Chứng minh O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC b) Mặt cầu đó cắt các mặt (SAB) và (SCB) theo các đường tròn (C 1 ) và (C 2 ). Chứng minh (C 1 ) và (C 2 ) bằng nhau. Tính tổng diện tích hai 2 đường tròn đó. 12.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD. a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCE b) Chứng minh rằng không có mặt cầu nào ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SACD. 13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy là hình vuông tâm O cạnh a, mặt bên hợp với đáy một góc α . Gọi I 1 , I 2 lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp; S 1 , S 2 lần lượt là diện tích mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp SABCD. a) Chứng minh I 1 , I 2 nằm trên SO b) Tính góc α để: 1 2 S 25 S 4 = 14. Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, BD = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC). Kẻ AH ⊥ DB, AK ⊥ DC, HK cắt (ABC) tại E. Chứng minh có mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến. 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com MẶT TRÒN XOAY - MẶT TRỤ - MẶT NÓN I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Mặt tròn xoay a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng ∆ và đường cong (C ). Khi quay (P) quanh ∆ , các điểm của (C ) tại thành một mặt cong, gọi là mặt tròn xoay nhận ∆ làm trục và (C ) là đường sinh b) Tính chất: - Trục ∆ là trục đối xứng của mặt tròn xoay - Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn xoay và tâm thuộc trục ∆ - Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục, ta được giao tuyến là một đường tròn, có tâm thuộc trục 2. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ a) Định nghĩa mặt trụ: Trong mp(P) cho 2 đường thẳng d và ∆ song song với nhau. Khi quay (P) quanh ∆ , đường thẳng d sinh ra mặt tròn xoay, gọi là mặt trụ nhận d là đường sinh, ∆ là trục. b) Tính chất - Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) vuông góc với trục ta được giao tuyến là một đường tròn - Nếu cắt mặt trụ bởi mp (Q) không vuông góc, không song song với trục thì ta được giao tuyến là một elip - Cho điểm M trên mặt trụ, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua M, song song với trục, đó là đường sinh đi qua M. - Nếu cắt mặt trụ bởi mp (S) song song với trục ∆ và cách ∆ một đoạn m thì: + m > R : (S) ở ngoài mặt trụ + m = R : (S) tiếp xúc với mặt trụ dọc theo một đường sinh, ta noi (S) là tiếp diện của mặt trụ + m < R : (S) cắt mặt trụ dọc theo 2 đường sinh song song c) Hình trụ và khối trụ - Phần giới hạn bởi mặt trụ và hai mặt phẳng (P) và (P') vuông góc với trục được gọi là hình trụ - Khoảng cách giữa (P) và (P') gọi là chiều cao của hình trụ - Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ d) Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ - Diện tích hình trụ: S 2 Rh π = - Thể tích khối trụ: 2 V R h π = 3. Mặt nón, hình nón, khối nón a) Định nghĩa mặt nón - Trong mp(P) cho 2 đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại S và hợp với nhau một góc 0 2 π α α   < <  ÷   . Khi quay (P) quanh ∆ , đường thẳng d sinh ra mặt tròn xoay, gọi là mặt nón tròn xoay, đỉnh S, góc ở đỉnh 2 α , nhận d là đường sinh, ∆ là trục. b) Tính chất - Cắt mặt nón đỉnh S bởi mp (P) khong qua S: + Nếu (P) vuông góc với trục: giao tuyến là đường tròn + Nếu (P) cắt mọi đường sinh của mặt nòn thì giao tuyến là elip + Nếu (P) song song với chỉ một đường sinh của mặt nòn thì giao tuyến là parabol + Nếu (P) song song với 2 đường sinh của mặt nòn thì gioa tuyến là 2 nhánh của một hypebol - Cắt mặt nón bởi một mp (P) qua S + (P) chỉ có một điểm chung (S) với mặt nón + (P) có chung với mặt nón một đường sinh duy nhất; ta nói (P) tiếp xúc với mặt nón, (P) là tiếp diện + (P) cắt mặt nó ntheo 2 đường sinh. c) Hình nón, khối nón d) Diện tích xung quanh của hình nón: S Rl π = (R: bán kính đáy, l: đường sinh) e) Thể tích khối nón: 2 1 V R h 3 π = 3 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com II – VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP Vấn đề 1. Chứng minh điểm M, đường thẳng d nằm trên mặt nón - Chứng minh d là một đường sinh, tức là chứng minh:d đi qua đỉnh S và · ( ) d, α ∆ = : nửa góc ở đỉnh - Chứng minh SM là một đường sinh Ví dụ 1. Trong mp (P), cho điểm O cố định và điểm M di động (M khác O). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại M lấy điểm N sao cho ON = 2OM. Chứng minh khi M di chuyển trên (P) thì ON luôn nằm trên một mặt nón. Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Gọi O, I là tâm của 2 hình vuông ABCD, EFGH. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của IM. Chứng minh N thuộc hình nón mà ta phải xác định Vấn đề 2. Chứng minh đường thẳng d, điểm M luôn nằm trên mặt trụ - Chứng minh d là một đường sinh, nghĩa là d//trục và cách trục một đoàn bằng bán kính R - Chứng minh M cách trục một đoạn bằng bán kính R Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và điểm A cố định không thuộc d. Gọi ∆ là đường thẳng thay đổi trong không gian sao cho ∆ luôn cất và vuông góc với d tại B. Kẻ AM vuông góc với ∆ . Chứng minh điểm M luôn thuộc một mặt trụ mà ta phải xác định. Vấn đề 3. Thiết diện qua đỉnh của hình nón Thiết diện qua đỉnh là một tam giác cân, cạnh bên là đường sinh, đáy là dây cung của đường tròn đáy. Ví dụ 4. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R, đường sinh bằng đường kính đáy. Một thiết diện qua đỉnh SAB có góc ASB = 30 0 . a) Tính diện tích thiết diện SAB b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SAB) Vấn đề 4. Khảo sát thiết diện song song với trục vủa hình trụ Ví dụ 5. Cho hình trụ trục OO', có thiết diện qua trục là một hình vuông. Một thiết diện song song với trục có diện tích bằng 2 4 2a và khoảng cách từ trục đến thiết diện đó bằng a. Tính diện tích của thiết diện qua trục. Vấn đề 5. Tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ, hình nón, khối nón Ví dụ 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh bên bằng a và góc giữa mặt bên và đáy = 60 0 . Gọi (S 1 ) là hình nón nội tiếp hình chóp có diện tích xung quanh S 1 . Gọi S 2 là hình nón ngoại tiếp hình chóp có diện tích xung quanh là S 2 . Tính tỉ số S 1 /S 2 Ví dụ 7. Cho hình nón, đường cao SO. Gọi SAB là thiết diện qua đỉnh, cho biết góc giữa thiết diện và đáy là β , góc · AOB 2 α = và khoảng cách từ O đến (SAB) bằng d. Tính thể tích khối nón Ví dụ 8. Cho hình trụ tròn xoay, đường cao OO'. Xét một lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' đáy là hình vuông cạnh a nội tiếp trong hình trụ (hai đáy nội tiếp trong hai đường tròn đáy của hình trụ). Tính thể tích hình trụ, biết rằng hình lăng trụ có tính chất: tổng diện tích các mặt bên bằng tổng diện tích 2 đáy với 2 mặt chéo. Vấn đề 6. Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình nón, hình trụ - Sử dụng thiết diện qua trục, từ đó có thể chuyển qua bài toán về hình học phẳng: Hình tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác cân, hình chữ nhật. Ví dụ 9. Cho hình cầu tâm O, đường kính SS' = 4R. Gọi S là hình nón đỉnh S, nội tiếp trong hình cầu sao cho tâm I của đường tròn đáy là trung điểm của OS'. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó Ví dụ 10. Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Hãy tìm kích thước của hình trụ để hình trụ có thể tích lớn nhất. Ví dụ 11. Cho hình cầu tâm (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 0 . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N) 4 . Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com MẶT CẦU, KHỐI CẦU I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa mặt cầu - Trong không gian cho điểm. và mặt cầu 1 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai mặt bên (SAB). tuyến. 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương II Email: tranhung18102000@yahoo.com MẶT TRÒN XOAY - MẶT TRỤ - MẶT NÓN I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Mặt tròn xoay a) Định nghĩa: