GIỚI HẠN DÃY SỐ A / Lý thuyết: •Nếu ,lim 0 lim 0 n n n n u v n v u< ∀ = ⇒ = • limc c = • lim lim n n u L u L= ⇒ = • 3 3 lim lim n n u L u L= ⇒ = ; • lim , 0 0,lim n n n u L u n L u L= > ∀ ⇒ > = • 2 1 1 1 1 1 u S u u q u q q = + + + = − • 1 lim lim 0 n n u u = +∞ ⇒ = 3 1 1 1 lim 0; lim 0; lim 0; n n n = = = lim 0 n q = nếu 1q < * 1 lim 0, k k N n = ∈ lim 0 k c n = 3 lim ; lim ; lim ; n n n= +∞ = +∞ = +∞ lim n q = +∞ nếu 1q > ; * lim , k n k N= +∞ ∈ lim n u = ±∞ , lim n v = ±∞ lim n u = ±∞ , lim 0 n v L= ≠ lim 0 n u L= ≠ , lim 0 n v = lim n u lim n v lim . n n u v lim n u Dấu của L lim . n n u v Dấu của L Dấu của n v lim n n u v +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ + + − − + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ B/ Bài Tập: Bài 1 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 lim 1 n n + + 2. 2 2 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − + 3. 3 3 4 lim 5 8 n n n + + + 4. ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + 5. 2 1 lim 2 n n + + 6. 2 4 lim 3 2 n n n + − + 7. ( ) ( ) 3 2 1 lim 6 1 n n n + + 8. 3 2 lim 1 n n + + 9. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + Bài 2 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 lim 2 3 n n + + 2. 2 1 lim 2 2 n n + + + ds2 3. 1 lim 1 n n + + ds1 4. 2 lim 1 n n n − + + ds0 5. 3 3 2 lim 2 n n n + + + ds1 6. 3 3 2 1 1 lim 3 2 n n + − + − 7. 3 2 3 2 1 lim 1 3 n n n n n n + + + + + Bài 3 tìm các giới hạn sau: 1. ( ) lim 1n n+ − ds0 2. ( ) 2 2 lim 5 1n n n n+ + − − ds3 3. ( ) 2 2 lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ − − − + ds 3 4. ( ) 2 lim 4n n n− − ds-2 5. ( ) 2 lim 3n n− + ds0 6. ( ) lim 1n n+ + - 1 - 7. ( ) 3 2 3 lim n n n− + ds1/3 8. ( ) 3 3 lim 1n n− + ds0 9. 3 3 2 1 lim 1 n n n n + − + − 10. ( ) 3 3 2 2 lim 3 1 4n n n n− + − + Bài 4 tìm các giới hạn sau: 1. 1 4 lim 1 4 n n − + 2. 1 2 3 4 lim 3 4 n n n n + + − + 3. 3 4 5 lim 3 4 5 n n n n n n − + + − 4. 1 1 2 6 4 lim 3 6 n n n n n + + + − + 5. 2 2 3 4 1 lim 2 n n n n − + + Bài 5 tìm các giới hạn sau: 1. sin lim 1 n n π + 2. 2 sin10 cos10 lim 2 n n n n + + Bài 6 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 3 5 (2 1) lim 3 4 n n + + + + + + ds1/3 2. 2 1 2 3 lim 3 n n + + + + − ds1/2 3. 2 2 2 2 1 2 3 lim ( 1)( 2) n n n n + + + + + + ds1/3 4. 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1)n n   + + +   +   ds1 5. 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n   + + +   − +   Bài 7 Tính các tổng sau: 1. 1 1 1 2 4 S = + + + 2. 1 1 1 1 3 9 27 S = − + − + 3. 2 3 1 0,1 (0,1) (0,1) S = + + + + 4. 2 3 2 0,3 (0,3) (0,3) S = + + + + Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số: 1. 1,1111…. 2. 2,3333… 3. 0,2222… 4. 0,212121…. 5. 0,23111… - 2 - GIỚI HẠN HÀM SỐ A/Lý thuyết : 0 0 lim x x x x → = 0 lim x x C C → = 1 lim 0 x x →±∞ = 1 lim 0 k x x →±∞ = lim k x x →+∞ = +∞ , 2 lim , 2 1 k x k l x k l →−∞ +∞ =  =  −∞ = +  ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x L f x f x L − + → → → = ⇔ = = ( ) 0 lim x x f x → ( ) 0 lim x x g x → ( ) ( ) 0 lim . x x f x g x → 0L > +∞ +∞ −∞ −∞ 0L > +∞ −∞ −∞ +∞ B/ Bài tập: Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau: 1. 2 3 9 lim 3 x x x → − − 2. ( ) 2 1 lim 3 1 x x x → + + 3. 2 3 9 lim 4 x x x → − + 4. 2 2 2 9 lim 4 x x x →+∞ − + Bài 2 Tìm các giới hạn sau:: 1. 2 lim x x → đs2 2. ( ) 2 lim 3 x x → + đs5 3. ( ) 2 2 lim 2 3 5 x x x → − − + đs-9 4. ( ) ( ) 0 lim 3 2 x x x → − + đs-6 5. 1 5 2 lim 1 x x x → + + đs7/2 6. 2 2 3 1 lim 1 x x x x → + − − đs3 7. 2 5 2 1 lim 1 x x x x → − + − + đs2/3 Bài 3:Tìm các giới hạn sau: 1. ( ) 3 lim 2 x x x →+∞ + đs +∞ 2. ( ) 3 lim 2 x x x →−∞ + đs −∞ 3. 2 2 5 3 1 lim 2 3 x x x x →+∞ + + + đs5/2 4. 2 2 5 3 1 lim 2 3 x x x x →−∞ + + + đs5/2 5. 4 2 4 5 1 lim 2 3 x x x x →+∞ + + + đs1/2 6. 4 2 4 5 1 lim 2 3 x x x x →−∞ + + + đs1/2 7. 2 3 1 lim 2 3 x x x →+∞ + + đs0 8. 2 3 1 lim 2 3 x x x →−∞ + + đs0 9. 2 3 3 1 lim 2 5 x x x →+∞ + + đs0 10. 2 3 3 1 lim 2 5 x x x →−∞ + + đs0 - 3 - ( ) 0 lim x x f x → ( ) 0 lim x x g x → Dấu của g(x) ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → L ±∞ Tuỳ ý 0 L>0 0 + +∞ - −∞ L<0 + −∞ - +∞ 11. 2 2 2 lim 1 x x x x →+∞ + + + đs +∞ 12. 2 2 2 lim 1 x x x x →−∞ + + + đs −∞ 13. 2 lim 2 x x x →+∞ + đs +∞ 14. 2 lim 2 x x x →−∞ + đs +∞ 15. 2 4 1 lim 3 1 x x x →±∞ + − đs 2 3 ± 16. 4 2 3 5 lim 2 4 5 x x x x x x →±∞ + − + − đs 1 2 17. 2 2 3 4 lim 4 1 x x x x x →±∞ + + + − đs5 , -1 18. 2 2 9 1 4 2 lim 1 x x x x x →±∞ + − + + đs 1± Bài 4 Tìm các giới hạn sau:: 1. ( ) 2 3 5 2 lim 3 x x x → + − đs +∞ 2. ( ) 2 3 2 3 lim 3 x x x →   + −   −     đs −∞ 3. 3 5 2 lim 3 x x x − → + − đs −∞ 4. 3 5 2 lim 3 x x x + → + − đs +∞ 5. 2 2 5 2 lim 2 x x x x − → + + − đs −∞ 6. 2 2 5 2 lim 2 x x x x + → + + − đs +∞ Bài 5 Tìm các giới hạn sau:: Cho hàm số : ( ) 2 2 3 1 , 2 3 7 , 2 x x x f x x x  + − ≥ =  + <  Tìm các giới hạn sau: 1. ( ) 1 lim x f x → 2. ( ) 3 lim x f x → 3. ( ) 2 lim x f x → Bài 6 Tìm các giới hạn sau:: Cho hàm số : ( ) 2 1 2 , 1 5 4 , 1 x x f x x x  − < =  + ≥  Tìm các giới hạn sau: 1. ( ) 0 lim x f x → 2. ( ) 3 lim x f x → 3. ( ) 1 lim x f x → Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0 0 ) 1. 2 3 2 15 lim 3 x x x x → + − − đs8 2. 2 2 1 2 3 lim 1 x x x x → + − − đs2 3. 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x x → − + − đs1/2 4. 2 2 2 3 2 lim 6 x x x x x → − + + − đs1/5 5. 3 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x x x → − − + − + đs0 6. 4 4 lim x a x a x a → − − đs4a 3 7. ( ) 2 2 0 lim h x h x h → + − đs2x 8. 4 2 3 2 3 6 27 lim 3 3 x x x x x x →− − − + + + đs-36/5 9. 5 3 1 1 lim 1 x x x →− + + đs5/3 10. 1 1 lim 1 m n x x x → − − đsm/n 11. ( ) 6 5 2 1 4 5 lim 1 x x x x x → − + − đs10 Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0 0 ) 1. 1 1 lim 1 x x x → − − đs1/2 2. 2 3 1 2 lim 9 x x x → + − − đs1/24 3. 2 1 2 3 lim 1 x x x → − + − đs-1/8 4. 2 2 4 1 3 lim 4 x x x → + − − − đs1/6 - 4 - 5. 2 2 2 5 7 lim 2 x x x x x → + − + − đs1/12 6. 3 2 4 2 lim 2 x x x →− + + đs1/3 Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng 0 0 ) 1. 3 2 1 1 lim 1 x x x → − − đs1/6 2. 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − đs9/8 3. 3 0 1 1 lim 3 x x x → − − đs1/9 4. 3 2 1 1 lim 3 2 x x x →− + + − đs-2/3 5. 3 1 7 2 lim 1 x x x → + − − đs1/2 6. 3 1 1 lim 1 x x x → − − đs2/3 7. 3 0 1 1 lim x x x x → + − − đs5/6 8. 0 1 4 3 lim x x x x → + + + − 9. 0 9 16 7 lim x x x x → + + + − 10. ( ) 3 2 3 2 1 2 1 lim 1 x x x x → − + − Bài 10:Tìm các giới hạn sau 1. ( ) 2 lim x x x x →+∞ + − 2. ( ) 2 lim 2 1 4 4 3 x x x x →+∞ − − − − 3. ( ) 2 2 lim 1 1 x x x x x →+∞ − + − + + 4. ( ) 3 3 lim 1 x x x →+∞ + − 5. +∞→ x lim ( xxx 5 2 +− ) (Đs:-5/2) 6. −∞→ x lim ( 1 22 +−− xxx ) (Đs:1/2) 7. ( ) 32 3 lim . 1 x x x x →+∞ + − 8. ( ) 3 33 2 3 lim 5 8 x x x x x →+∞ + − + Bài 11:Tìm các giới hạn sau 1. 2 1 2 1 lim 1 1 x x x →   −  ÷ − −   2. 3 1 1 3 lim 1 1 x x x →   −  ÷ − −   3. 2 2 1 1 1 lim 3 2 5 6 x x x x x →   −  ÷ − + − +   BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 1. f(x) = 2 9 3 3 6 3 x khi x x khi x  − ≠  −   =  tại x 0 =3 2. f(x) = 2 25 5 5 9 5 x khi x x khi x  − ≠  −   =  tại x 0 =5 3. ( ) 2 3 2 2 7 5 khi 2 3 2 1 khi 2 x x x x f x x x x  − + − ≠  = − +   =  tạix 0 =2 4. ( ) 3 3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x x f x x  + + ≠ −   + =   = −   tại x 0 = -1 5. ( ) 1 2 3 khi 2 2 1 khi 2 x x f x x x  − − ≠  =  −  =  tại x 0 =2 6. ( ) 3 3 2 2 khi 2 2 3 khi 2 4 x x x f x x  + − ≠   − =   =   tại x 0 =2 7. ( ) 2 khi 4 5 3 3 khi 4 2 x x x f x x  − ≠   + − =   =   tại x 0 =4 8. ( ) 2 +4 2 2 1 2 x khi x f x x khi x  < =  + ≥  tại x 0 =2 9. ( ) 4 2 1 1 3 2 1 x x khi x f x x khi x  + − ≤ − =  + > −  tại x 0 = -1 10. ( ) 2 0 1 0 x khi x f x x khi x  <  =  − ≥   tại x 0 =0 - 5 - 11. ( ) 5 khi 5 2 1 3 3 khi 5 2 x x x f x x −  >   − − =   ≤   tại x 0 =5 12. ( ) 3 2 2 1 2 x x f x x + − = − tại x 0 =2 13. f(x)= 5 1 4 − ++ x xx tại x 0 = 5 14. Chứng minh các hàm số a) ( ) 2 2 3 khi 1 1 4 khi 1 x x x f x x x  + − ≠  = −   =  liên tục trên R b) ( ) 3 3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x x f x x  + + ≠ −   + =   = −   liên tục trên R c) ( ) 2 2 7 4 khi 3 5 6 3 khi 3 4 x x x x f x x  + − ≠   − + =   =   liên tục trên { } \ 2R 15. tìm a để hàm số liên tục trên R 1) ( ) 2 1 2 3 1 x khi x f x ax khi x  < =  − ≥  2) ( ) ( ) 2 2 2 1-a 2 a x khi x f x x khi x  ≤  =  >   3) ( ) 2 4 2 2 a 2 x khi x f x x khi x  − ≠  = −   =  16. Cho hàm số f(x) = 3 2 2 5 0 4 1 0 x x khi x x khi x  + − ≥  − <  Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác đònh của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0). 17. Tìm a để hàm số liên tục tại x 0 a) ( ) 3 2 khi 1 1 a+1 khi 1 x x f x x x  + − ≠  =  −  =  tại x 0 =1 b)f(x) = 2 2 2 2 4 2 x khi x x a khi x  + − ≠   −  =  tại x 0 =2 c) ( ) 1 1 khi 1 1 4 - a khi 1 2 x x x x f x x x  − − + <   − =   + ≥  +  tại x 0 =1 d) ( ) 3 3 2 2 khi 2 2 1 khi 2 4 x x x f x ax x  + − >   − =   + ≤   tại x 0 =2 18. cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0 a) ( ) 2 2x x f x x − = b) ( ) 2 2 2x x f x x − = Có thể gán cho ( ) 0f một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số ( ) f x liên tục tại x=0 19. Cho hàm số f(x) = 2 2 3 2 ax khi x khi x  ≤  >  Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thò hàm số với a tìm được. 20. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3x 2 +5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1) 21. Chứng minh rằng phương trình x 3 -3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt. - 6 - 22. Chứng minh rằng phương trình x 5 -3x 4 +5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (-2 ;5 - 7 - . 0 0 ) 1. 2 3 2 15 lim 3 x x x x → + − − đs8 2. 2 2 1 2 3 lim 1 x x x x → + − − đs2 3. 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x x → − + − đs1 /2 4. 2 2 2 3 2 lim 6 x x x x x → − + + − đs1/5 5. 3 2 2 1 1 lim 3 2 x x. (0,3) (0,3) S = + + + + Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số: 1. 1,1111…. 2. 2, 3333… 3. 0 ,22 22 4. 0 ,21 2 121 …. 5. 0 ,23 111… - 2 - GIỚI HẠN HÀM SỐ A/Lý thuyết : 0 0 lim x x x x → = . > +∞ −∞ −∞ +∞ B/ Bài tập: Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau: 1. 2 3 9 lim 3 x x x → − − 2. ( ) 2 1 lim 3 1 x x x → + + 3. 2 3 9 lim 4 x x x → − + 4. 2 2 2 9 lim 4 x x x →+∞ − + Bài 2 Tìm các giới hạn