Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương 4. Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình http://www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 2 Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình § 1. Bất đẳng thức A. Tóm tắt giáo khoa . 1. A > B Ù A – B > 0 ; A < B Ù A – B < 0 A ≥ B Ù A – B ≥ 0 ; A ≤ B Ù A – B ≤ 0 2. Tính chất : (a) A > B và B > C => A > C (b) A > B Ù A + C > B + C (c) A > B Ù A.C B.C A.C B.C > ⎧ ⎨ < ⎩ (d) Nếu A, B > 0 : A > B Ù AB> A > B Ù 33 AB> (e) AB ACBD CD > ⎧ => + > + ⎨ > ⎩ (f) AB0 CD0 >> ⎧ ⎨ >> ⎩ => AC > BD 3. Bất đẳng thức Cô-si : * Định lí : Với mọi a , b 0≥ : ab ab 2 + ≤ Đẳng thức xảy ra Ù a = b * Hệ quả : • 1 a2 a +≥ • Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s 2 / 4 khi a = b • Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b 4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. * |x| ≤ a Ù - a ≤ x ≤ a * |x| ≥ a Ù xa xa ≥ ⎡ ⎢ ≤− ⎣ * |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥ ||a| - |b|| B. Giải toán . Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ 0 . Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) 2(a 3 + b 3 ) ≥ (a + b)(a 2 + b 2 ) ∀ a , b và a + b > 0 b) 4x 2 + y 2 ≥ 4x + 4y - 5 , ∀ x, y c) x 2 – 4xy + 5y 2 + 2x – 8y + 5 ≥ 0 , ∀ x, y d) x1 9x 4−+ − ≤ , ∀ x ∈ [1 ; 9] nếu C > 0 nếu C < 0 Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 3 Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a 3 + b 3 ) – (a + b)(a 2 + b 2 ) ≥ 0 (định nghĩa) \ Ù (a + b)[2(a 2 + b 2 – ab) - (a 2 + b 2 )] ≥ 0 Ù (a + b)(a 2 + b 2 – 2ab) ≥ 0 Ù (a + b)(a – b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b) 2 ≥ 0 b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x 2 – 4x + 1) + (y 2 – 4y + 4) ≥ 0 Ù (2x – 1) 2 + (y – 2) 2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) c) Bất đẳng thức cần CM Ù x 2 – 2(2y – 1)x + 5y 2 – 8y + 5 ≥ 0 ( viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y) Ù [x 2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1) 2 ] – (2y – 1) 2 + 5y 2 – 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng để đưa về hằng đẳng thức a 2 – 2ab + b 2 ) Ù [x – 2y + 1] 2 + y 2 – 4y + 4≥ 0 ( rút gọn ) Ù ( x – 2y + 1) 2 + (y – 2) 2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) d) Hai vế đều dương , bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức tương đương : 2 (x1 9 x) 16−+ − ≤ Ù(x – 1) + (9 – x) + 2 (x 1)(9 x) 16 − −≤ ( khai triển) Ù 2 2 (x 10x 9) − +− ≤ 8 ( rút gọn ) Ù 2 x10x9 − +− ≤ 4 ( nhân hai vế cho ½ ) Ù - x 2 + 10x – 9 ≤ 16 ( bình phương hai vế ) Ù x 2 – 10x + 25 ≥ 0 ( rút gọn ) Ù (x – 5) 2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô- si Sử dụng một trong các dạng : ab ab 2 + ≤ ; a + b ≥ 2 ab Hoặc các dạng tương đương : a 2 + b 2 ≥ 2ab ; ab ≤ 2 ba 22 + (2 bất đẳng thức này đúng với mọi a, b ) Ví dụ 1 : CMR : a) (x 1)(5 x)−− ≤ 2 , ∀ x ∈ [1 ; 5] b) x4 x5 − + ≤ 1 6 , ∀ x ≥ 4 c) x + 9 x1− ≥ 7 , ∀ x > 1 d) 2 4x 8x 1 x + + ≥ 12 , ∀ x > 0 Giải a) Vì x ∈ [ 1 ; 5] nên x – 1 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 1 và 5 – x , ta có : (x 1)(5 x)−− ≤ (x 1) (5 x) 2 2 −+ − = Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. b) Ta có : 1 x4 (x4)9 3 −= − ( nhân và chia cho 3 = 9 để đưa về dạng ab ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 4 và 9 : x4− = 9)4x( 3 1 − ≤ 1(x 4) 9 x 5 . 32 6 − ++ = Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 4 Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức : x4 1 x5 6 − ≤ + ( đpcm) Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x + 5 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. c) Ta có : x + 9 x1− = ( x – 1) + 9 x1 − + 1 ( thêm 1 bớt 1 để đưa về dạng a + 9 a ) . Áp dụng bất đẳnghức Cô – si cho hai số dương : x – 1 và 9 x1 − , ta được : (x – 1) + 9 x1− ≥ 2. 9 (x 1). 2. 9 6 x1 −== − Suy ra : x + 9 x1− ≥ 6 + 1 ( cộng hai vế cho 1 ) ≥ 7 ( đpcm) Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x - 1 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. d) Ta có : 2 4x 8x 1 x ++ = 4x + 1 x + 8 ( Chia tử và mẫu ) Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho 4x và 1 x , ta được : 4x + 1 x ≥ 1 2. 4x. 4 x ≥ Suy ra : 2 4x 8x 1 x ++ ≥ 4 + 8 = 12 ( đpcm) Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1 . (2) Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại . (3) Trong 4 bài toán này , nếu ta dấu giá trị của vế phải , ta được bài toán đi tìm giá trị lớn nhất ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ nhất ( bài c , d) của một biểu thức Ví dụ 2 : CM các bất đẳng thức sau : a) 222 222 abcacb b cacba ++≥++ , với mọi a , b, c ≠ 0 . b) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với mọi a , b, c ≥ 0 . c) (a + b + c) ( 111 abc ++) ≥ 9 , (a , b , c > 0 ). Khi nào đẳng thức xảy ra ? Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) . Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : 22 22 22 22 ab ab 2. b cbc +≥ = 2 a c Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 5 22 22 22 22 b cbc 2. ca ca +≥ = 2 b a 22 22 22 22 ca ca 2. ab ab +≥ = 2 c b Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , rồi chia hai vế cho 2 , ta được đpcm . b) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : a + b ≥ 2 ab > 0 b + c ≥ 2 b c > 0 c + a ≥ 2 ca > 0 Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , ta được đpcm . c) Ta có : (a + b + c) ( 111 abc ++) = 1 + 1 + 1 + ( ab b a + ) + ( ac ca + ) + ( b c cb + ) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số trong dấu ngoặc , ta được : ab b a + ≥ 2 . ab .2 ba = (1) , ac bc 2(2); 2(3) ca cb +≥ +≥ Suy ra : (a + b + c) ( 111 abc ++) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (4) ( đpcm) Đẳng thức xảy ra ở (4) Ù Đẳng thức xảy ra đồng thời xảy ra ở (1) , (2) , (3) Ù abacbc ;; b ac a c b == = Ù a 2 = b 2 = c 2 Ù a = b = c Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối . Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . Ví dụ : a) CM : |5 – x| + |x + 10| ≥ 15 với mọi x . b) Giải bất phương trình : |x – 3| ≤ 5 c) Giải bất phương trình : |2x – 3| ≥ x 2 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| , ta có : |5 – x| + |x + 10| ≥ | 5 – x + x + 10 | = 15 : đpcm . Vậy bất đẳng thức đúng với mọi x . b) Ta có phép biến đổi tương đương : |x – 3| ≤ 5 Ù - 5 ≤ x – 3 ≤ 5 Ù 3 – 5 ≤ x ≤ 3 + 5 ( chuyển vế số 3 ) Ù - 2 ≤ x ≤ 8 c) Ta có phép biến đổi tương đương : |2x – 3| ≥ x 2 Ù 2 2 2x 3 x 2x 3 x ⎡ +≥ ⎢ + ≤− ⎣ Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 6 Ù 2 2 x2x30(1) x2x30(2) ⎡ −−≤ ⎢ ++≤ ⎣ (1) Ù (x + 1)(x – 3) ≤ 0 Ù x10 x30 x10 x30 ⎡ +≥ ⎧ ⎨ ⎢ − ≤ ⎩ ⎢ ⎢ + ≤ ⎧ ⎢ ⎨ − ≥ ⎢ ⎩ ⎣ Ù 1x3 x − ≤≤ ⎡ ⎢ ∈∅ ⎣ Ù - 1 ≤ x ≤ 3 (2) Ù (x + 1) 2 + 2 ≤ 0 Ù x ∈ ∅ Vậy bất phương trình có nghiệm : - 1 ≤ x ≤ 3 . Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức số T . Cách 1 ( Phân tích ) : • Để tìm GTNN của T , ta viết T dưới dạng : T = f 2 (x) + m trong đó m là giá trị không đổi .Thế thì : T ≥ m , ∀ x Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTNN của T là m . • Để tìm GTLN của T , ta viết T dưới dạng : T = - f 2 (x) + M trong đó M giá trị không đổi .Thế thì : T ≤ M , ∀ x Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTLN của T là M . Cách 2 ( Dùng bất đẳng thức Cô- si) Tương tự như trên , tìm M ( hay m) sao cho : T ≤ M ( hay T ≥ m ) Ví dụ 1 : a) Tìm GTNN của biểu thức T = 2x 2 + y 2 – 2xy – 4x b) Tìm GTLN của biểu thức T = 2x + x 2 – x 4 Giải a) Ta có : T = (x 2 – 2xy + y 2 ) + (x 2 – 4x + 4) – 4 = (x – y) 2 + (x – 2) 2 – 4 Vì (x – y) 2 ≥ 0 và (x – 2) 2 ≥ 0 , ∀ x , y , do đó : T ≥ - 4 , ∀ x, y Đẳng thức xảy ra Ù 2 2 (x y) 0 xy2 (x 2) 0 ⎧ −= ⎪ <=> = = ⎨ −= ⎪ ⎩ Vậy GTNN của T là – 4 . b) Ta có : T = 2 - (1 – 2x + x 2 ) – (1 - 2x 2 + x 4 ) = 2 – (1 – x) 2 – (1 – x 2 ) 2 Vì - (1 – x) 2 ≤ 0 và - (1 – x 2 ) 2 ≤ 0 , ∀ x , do đó : T ≤ 2 , ∀ x . Đẳng thức xảy ra Ù 2 2 22 x1 (1 x ) 0 x1 (1 x ) 0 = ⎧ −= ⎧ ⎪ <=> ⎨⎨ = −= ⎪ ⎩ ⎩ Ù x = 1 Vậy GTLN của T là 2 . Ví dụ 2 : a) Tìm GTNN của T = 42 2 4x 3x 9 x −+ ( x ≠ 0 ) b) Tìm GTLN của T = (2x 3)(5 3x)+− ( - 3/2 ≤ x ≤ 5/3 ) c) Cho a , b , c > 0 và a + b + c = 1 , tìm GTNN của biểu thức : T = 111 (1)(1)(1) abc −−− Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 7 Giải a) Ta có : T = 4x 2 – 3 + 2 9 x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x 2 và 2 9 x , ta có : 4x 2 + 2 9 x ≥ 2. 2 2 9 4x . 12 x = => T ≥ 12 – 3 = 9 Đẳng thức xảy ra Ù 4x 2 = 2 9 x Ù x 4 = 9 4 Ù x 2 = 3 2 Ù a = 2 3 ± Vậy GTNN của T là 9 . b) Ta có : T = 35 35 2(x).3(x) 6.(x)(x) 23 23 +−= +− Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x + 3 2 ) và ( 5 3 - x) , ta có : T ≤ 35 xx 23 6. 2 ++− = 19 6. 12 = 19 26 Đẳng thức xảy ra Ù x + 3 2 = 5 3 - x Ù x = 1 12 Vậy GTLN của T là 19 26 Ta có : T = 1a1b1c abc −−− = (b c)(c a)(a b) abc +++ (thế 1 – a = b + c , 1 – b = c + a ….) Dùng bất đẳng thức Cô-si , CM được : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc ( Xem dạng toán 2. Ví dụ 2 .(b)) , suy ra : T ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra Ù a = b = c = 1/3 Vậy GTNN của T là 8 C. Bài tập rèn luyện 4.1. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx , ∀ x, y , z Suy ra : x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz(x + y + z) b) 3a 2 + b 2 + 4c 2 + 9d 2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) , ∀ a , b , c, d c) 4a 2 + 9b 2 + 5 ≥ 4(a + 3b) , ∀ a , b d) x 2 – 4xy + 7y 2 + 2x – 10y + 4 ≥ 0 , ∀ x , y 4.2. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : a) 22 22 xxyy 1 xxyy 3 −+ ≥ ++ , ∀ x, y > 0 b) 3 22 a2ab aabb 3 − ≥ ++ , ∀ a, b > 0 c) ab + 22 (1 a )(1 b) 1−−≤ , ∀ a , b ∈ [ - 1 ; 1] d) 11 1 11 y( ) (xz)(xz)( ) xz y xZ ++ +≤+ + Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 8 4.3 . CM : 22 22 2 2 ab cd (ac)(bd)++ +≥ + ++ , ∀ a , b, c, d Khi nào đẳng thức xảy ra . Áp dụng : Tìm GTNN của biểu thức y = 22 x2x2 x4x8 + ++ − + 4.4. CM : ∀ a, b, x , y , ta có : |ax + by| ≤ 2222 (a b)(x y)++ ( bđt B.C.S) Áp dụng : a) CMR ∀ a , b , |a + b| ≤ 22 2(a b )+ b) Cho 3a + 4b = 5 , CM : a 2 + b 2 ≥ 1 c) Cho 2a 2 + 3b 2 = 5 , CM : 2a + 3b ≤ 5 4.5. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : a) (a + b)( 11 ) ab + ≥ 4 , ∀ a , b > 0 b) 4x 5 x1 + + ≥ 4 , ∀ x > - 1 c) 8x + 2x 4 x1 + + ≥ 2 , ∀ x > - 1 d) 4 2ab ab ab ≤ + , ∀ a , b > 0 * 4.6. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : a) ab bc ca abc cab ++≥++ , ∀ a , b, c > 0 b) (a + 22 11 )(b ) b a ++ ≥ 8 , ∀ a , b > 0 c) (y 2) x 1 (x 1) y 4 (x 1)(y 2) +−++− ++ ≤ 26 412 + , ∀ x > 1 , ∀ y > 4 d) 8(p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc với a , b , c là 3 cạnh tam giác và p là nửa chu vi . * 4.7. Tìm GTNN của các biểu thức sau : a) A = x 4 – 2x 3 + 2x 2 – 2x + 5 b) B = 2 x4x5 ,x 1 x1 ++ >− + c) C = (x + 1) 2 ( 2 14 1 xx ++ ) ; x > 0 d) D = 22 ab b 1a1 + − − với a > 1 , b > 1 * 4.8. Tìm GTLN của các biểu thức sau : a) A = (4 x)(4x 15)−− b) B = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(3 - x) c) C = | |x + 3| - | 4 – x | | d) D = 22 22 ab 1+a + b (1 a )(1 b )++ e) E = 2 42 x xx9++ * 4. 9 . a) Cho x , y > 0 và x + y = xy , tìm GTNN của x + y b) Cho x , y > 0 và x 2 + y 2 + xy ≤ 3 , tìm GTNN của T = xyy2 1 xyx2 1 22 + + + c) Cho x , y > 0 và x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức : T = ) y 1 1)( x 1 1( 22 −− Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 9 4.10.Người ta có 100m rào để rào một miếng đất hình chữ nhật để thả gia súc biết một cạnh của miếng đất là bờ sông ( không phải rào ) . Hỏi kích thước miếng đất có diện tích lớn nhất có thể rào được ? * 4.11. CMR những hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ( có 1 cạnh nằm trên một cạnh tam giác và hai đỉnh kia thuộc hai cạnh còn lại của tam giác ) có diện tích không lớn hơn nửa diệ n tích tam giác . 4.12. Chọn câu đúng : Nếu có a > b > c > 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là đúng : I. ac bc b aba −− > −− II. ab > ac III. b b ac > a) Chỉ I b) Chỉ II c) I và II d) II và III 4.13. Chọn câu đúng : Biết a 2 < b 2 và a, b đều khác 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là đúng : I. 22 ab aa < II. 22 11 ab > III. (a + b)(a – b) < 0 a) Chỉ II b) I và II c) II và III d) I và III 4.14. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức A = 2 x 2 - 4xy + 5y 2 – 4x – 2y + 2 là : a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 0 4.15. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức : 2 2x 4x 3 x1 − + + (x > - 1) ∈ : a) (0,4 ; 0, 5) b) (0,5; 0,6) c) (0,6 ; 0, 7) d) (0,7) ; 0,8) 4.16 Chọn câu đúng : GTLN của biểu thức : 2 2 x2 2x 2x − − ( 0 < x < 1 ) là : a) một số nguyên dương b) một số nguyên âm c) một số hữu tỉ d) một số vô tỉ D. Hướng dẫn hay đáp số . 4.1. a) Ù 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2(xy + yz + zx ) Ù (x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 ≥ 0 Suy ra : x 4 + y 4 + z 4 ≥ (x 2 y -2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz(x + y + z) b) Ù (a – b) 2 + (a – 2c) 2 + (a – 3d) 2 ≥ 0 c) Ù (2a – 1) 2 + (3b – 2) 2 ≥ 0 d) Ù (x – 2y + 1) 2 + 3(y – 1) 2 ≥ 0 4.2 . a) Ù 3(x 2 – xy + y 2 ) ≥ x 2 + xy + y 2 Ù 2(x – y) 2 ≥ 0 b) Ù 3a 3 ≥ (2a – b)(a 2 + ab + b 2 ) Ù (a 3 + b 3 ) – (a 2 b + ab 2 ) ≥ 0 Ù (a + b)(a – b) 2 ≥ 0 4.3 . Bình phương hai vế và rút gọn : 2222 (a b )(c d ) ac bd + +≥+ * Nếu ac + bd < 0 thì bất đẳng thức đúng. * Nếu ac + bd ≥ 0 , bình phương lần nữa và rút gọn : (ad – bc) 2 ≥ 0 ( đúng ) Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 10 Đẳng thức xảy ra khi ad = bc và ac + bd ≥ 0 Áp dụng : y = 22 2 2 (x 1) 1 (2 x) 2+++ − +≥ 22 (x 1 2 x) (1 2)++ − + + ≥ 22 33 32+= Dấu “=” xảy ra khi (x1)21.(2x) (x 1)(2 x) 2 0 += − ⎧ ⎨ +−+≥ ⎩ Ù x0 = 4.4. Bình phương hai vế , BPT Ù (ay – bx) 2 ≥ 0 Áp dụng : a) Với x = y = 1 , ta có |a + b| ≤ 22 2(a b )+ b) 5 = 3a + 4b ≤ |3.a + 4. b | ≤ 2222 2 (3 4 )(a b ) 5 a b + += + 2 Suy ra : 22 22 ab1 ab+ ≥ <=> + ≥ 1 c) 2a + 3b ≤ | 2 . a 2 + 3 .b 3 | ≤ 22 (2 3)(2a 3b )++= 5 4.5. a) a + b ≥ 2 ab 0> 11 11 2. . 0 ab ab +≥ > Nhân hai bất đẳng thức vế với vế , ta được đpcm CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : b) 4x + 5 = 4(x + 1) + 1 ≥ 24(x1).1 4x1+= + => 4x 5 x1 + + ≥ 4 c) f(x) = 8x + 2(x 1) 2 x1 ++ + = 8(x + 1) + 2 x1 + - 6 ≥ 2 6 1x 2 ).1x(8 − + + = 2 d) Ta có : 4 ab2a.b2ab+≥ = => đpcm 4.6. a) Dùng bất đẳng thức từng cặp một ba lần , rồi cộng lại. b) Khai triển : ( a 2 + 2 1 a 2 2 1ab )(b )2( ) b ba ++ + + ≥ 2 + 2 + 4 = 8 c) Chia VT = y4 x1 x1 y2 − − + + + . d) Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho ba cặp số : (p a)(p b), (p b)(P c), (p c)(p a) − −−−−− rối nhân vế với vê . 4.7. a) A = (x 2 – x) 2 + (x – 1) 2 + 4 ≥ 4 . GTNN là 4 khi x = 1 b) B = x + 3 + 2 x1 + = (x + 1) + 2 2 x1 + + ≥ 2 2 + 2 => GTNN là 2 2 + 2 khi x + 1 = 2 x1+ Ùx = -1 + 2 c) Nhân ra , rúy gọn : C = x 2 + 2 11 6(x ) 10 2 6.2 10 24 xx + ++≥+ += GTNN là 24 khi x = 1 d) D ≥ 2. 22 ab a b b1a1 a1 b1 = −− −− ≥ 2 + 2 = 4 [...]... Bất phương trình A Tóm tắt giáo khoa 1 Bât phương trình một ẩn có dạng : f(x) < g(x) ( hay > , ≤ , ≥ ) trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức , x là ẩn số Nghiệm là những giá trị x làm bất đẳng thức trên là đúng Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó 2 Hai bất phương trình tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau 3 Giải một bất phương trình thường là biến đổi tương đương bất phương trình. .. là 3 § 4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Tóm tắt giáo khoa 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng : ax + by < c ( ≤ c , > c , ≥ c ) trong đó a , b , c là các hệ số thực và a , b không đồng thời bằng 0 , x và y là hai ẩn Cặp số thực (x0 ; y0) thỏa ax0 + by0 ≤ c được gọi là một nghiệm của bất phương trình www.saosangsong.com.vn Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình 27... Giải bất phương trình hữu tỉ Phương pháp chung : Gồm các bước sau : Biến đổi bất phương trình về dạng : f(x) < 0 ( ≤ 0 , > 0 , ) trong đó f(x) là tích , thương các nhị thức , tam thức Lập bảng xét dấu của f(x) Căn cứ vào bảng xét dấu rút ra tập nghiệm của bất phương trình Trong một số trường hợp ta phải đặt ẩn số phụ t trước khi tiến hành như trên www.saosangsong.com.vn Chương 4 Bất đẳng thức Bất. .. 1 ⎪ x−2 > x−2 ⎩ 4 19 Giải các bất phương trình sau : www.saosangsong.com.vn Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình 23 a) |2x + 7| ≤ | 4 – x| b) | x2 + 3| ≤ (x – 3)(x + 2) c) d) 2x − x + 3 ≥5 x −1 2x − 5 ≤2 x+2 * 4 20 Giải các bất phương trình sau : a) |2x – 5| - x ≥ | x + 2 | - 4 b) || x – 4| + 6| ≥ x c) x − 3 x +1 ≤ x + 2 x −1 * 4 21 Giải và biện luận các bất phương trình sau : a) m(x + m) > 2m(x... còn lại là miền nghiệm của bất phương trình Ghi chú : Nếu ∆ không qua O , ta thường chọn M là O y y x + 2y > 4 ⎧ x + 2y > 4 ⎨ ⎩ 2x − y > −1 x x O Gạch bỏ miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 4 , ta được nửa mặt phẳng trắng là miền nghiệm của bất phương trình x + 2y > 4 O Gạch bỏ các miền x + 2y < 4 và 2x – y < - 1 , ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình x + 2y > 4 và 2x – y > - 1 3 Biểu diễn... (I) và (IV) thỏa x – y > 0 • Với ∆ 2: Ta có 1 + 3.0 > 0 => miền (I) và (II) thỏa x + 3y > 0 y (∆1) (II) (I) M (III) O x (IV) (∆2) Căn cứ vào bảng xét dấu , miền nghiệm của bất phương trình là (I) ∪ (III) (x ; y) x-y x + 3y VT (I) + + + (II) + - (III) + (IV) + - Cách khác : Chọn 4 điểm trong 4 miền và thử dấu của biểu thức tại 4 điểm đó www.saosangsong.com.vn Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình. .. nhị thức bậc nhất www.saosangsong.com.vn x2 + 2x – 3) < 0 , Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình 14 A Tóm tắt giáo khoa Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng : f(x)= ax + b , a ≠ 0 b , giá trị thỏa f(x0) = 0 Nghiệm của nhị thức là xo = a 2 Nhị thức f(x) = ax + b : • cùng dấu với a khi x > - b/a • trái dấu với a khi x < - b/a 1 x ax + b -∞ - b/a +∞ trái dấu với a 0 cùng dấu với a 3 Bất phương trình. .. h(x) < 0 với mọi x thuộc A f(x) < g(x) f(x) < g(x) B Giải toán Ví dụ 1 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : x +1 x +1 a) 2x + 5 + 2 < 3− x + 2 (1) x +1 x +1 2x 2 + x + 1 3x + 1 > (2) b) x x www.saosangsong.com.vn 12 Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình 13 a) Vì bất phương trình có nghĩa với mọi x , do đó : x +1 (1) 2x + 5 < 3 – x ( Đơn giản cho 2 ) x +1 2x + x < 3 – 5 ( Chuyển... y > - 1 3 Biểu diễn tập nghiệm của hệ như sau ; • Bước 1 : Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình (1) • Bước 2 : Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình (2) trên cùng hệ trục tọa độ • Bước 3 : Miền trắng còn lại là miền nghiệm của hệ B Giải toán Dạng toán 1 : Giải bất phương trình Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : a) 3(x – y) + 5 > 2( x – 2y) + 8 c) x2 + 2xy – 3y2 > 0 b) (x – 2)(2x + 3y... x+y>3 Vẽ ∆ : x + y = 3 qua hai điểm ( 0 ; 3) và (3 ; 0) Chọn O(0 ; 0) : 0 + 0 < 3 => gạch bỏ nửa mặt phẳng chứa O , miền còn lại là miền nghiệm của bất phương trình x + y > 3 www.saosangsong.com.vn x+y>3 O x Chương 4 Bất đẳng thức Bất phương trình 28 b) Vẽ ∆1 : x = 2 , đường thẳng song song với Oy và qua điểm (2 ; 0) Vẽ ∆2 : 2x + 3y = 12 qua hai điểm (0 ; 3) và (6 ; 0) Hai đường thẳng chia mặt phẳng làm . SKILL SUIT YOUR PACE Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình www.saosangsong.com.vn 2 Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình § 1. Bất đẳng thức A. Tóm tắt giáo khoa . 1. A. pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh. trị x làm bất đẳng thức trên là đúng Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó 2. Hai bất phương trình tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau . 3. Giải một bất phương trình thường