Phòng giáo dục - đào tạo hải hậu Trờng thcs hải giang *** Báo cáo kinh nghiệm định lí vi-et và một số ứng dụng Tên tác giả: Nguyễn Ngọc Trang Nghề nghiệp: Giáo viên Chức vụ: Giáo viên Nơi công tác: Trờng THCS Hải Giang Hải giang, ngày 20 tháng 5 năm 2010 1 Tên sáng kiến: Định lí Vi-et và một số ứng dụng Tên tác giả: Nguyễn Ngọc Trang Trình độ chuyên môn: Cử nhân đại học Nơi công tác: Trờng THCS Hải Giang Đơn vị áp dụng sáng kiến: Trờng THCS Hải Giang *** Phần A: Đặt vấn đề 1/ Cơ sở lí luận - Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên đứng đầu trong mọi ngành khoa học kỹ thuật nên giảng dạy môn này đòi hỏi độ chính xác tuyệt đối với những phơng pháp giảng dạy phù hợp, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức một cách có hệ thống Trong tình hình hiện nay, việc giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi là một công việc đặt ra thờng xuyên trong các trờng THCS. Đây là một trong những nhiệm vụ quan trọng trong công tác giáo dục và đang đợc quan tâm đầu t thích đáng. - Để có đợc một đội ngũ học sinh giỏi tham gia các kì thi tuyển chọn của huyện việc bồi dỡng học sinh giỏi không thể chỉ thực hiện trong chốc lát mà phải đợc bồi dỡng thờng xuyên đều đặn trong mỗi tiết dạy hàng ngày. Một vấn đề đợc đặt ra là mỗi bài toán đa ra đều phải khai thác kĩ nhằm nâng cao khả năng t duy khả năng ứng dụng của học sinh. - Vì vậy ngời giáo viên phải có sự đầu t công sức để xây dựng cho mình một phơng pháp dạy tốt nhất để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, vận dụng tốt đặc biệt là biết cách lựa chọn phơng pháp giải toán phù hợp với mỗi bài toán cụ thể. 2/ Cơ sở thực tiễn nảy sinh sáng kiến - Đi sâu vào nghiên cứu và tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp tôi thấy phần Đại số lớp 9 học sinh đợc làm quen với kiến thức mới đó là định lí Vi-et và các ứng dụng của nó. Đây là dạng toán không khó tuy nhiên có rất nhiều ứng dụng, nhiều dạng bài tập mà học sinh phải nắm đợc. - Qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 và đã dạy tất cả các đối tợng học sinh Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém và đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh giỏi và ôn thi vào THPT tôi thấy ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất rộng nh: + Tìm tổng và tích của phơng trình bậc hai khi phơng trình có nghiệm + Biết một nghiệm của phơng trình bậc hai suy ra nghiệm còn lại + Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai + Tìm hai số biết tổng và tích của chúng + Lập một phơng trình bậc hai biết trớc hai nghiệm - Trong thực tế giảng dạy khai thác định lí Vi-et và các ứng dụng của nó ngời dạy cũng nh ngời học còn nghiên cứu sơ sàicha khai thác triệt để các ứng dụng từ định lí Vi-et đặc biệt là khai thác ứng dụng làm phong phú các thể loại bài tập vì thế tôi chọn đề tài Định lí Vi-et và một số ứng dụng Nh vậy hệ thức Vi-et có rất nhiều ứng dụng tuy nhiên do còn hạn chế về thời gian nghiên cứu và đối tợng học sinh nên tôi chỉ chọn hai ứng dụng: Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (d) với a 0 quan hệ với Parabol y = mx 2 với m 0 và Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bằng biểu thức cho trớc 2 Phần B: Nội dung phơng pháp và các giải pháp I. Lí thuyết 1. Định lý Vi-et thuận: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì S = x 1 + x 2 = a b P = x 1 . x 2 = a c * Hệ quả: PT bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 (*) - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x 1 = 1, nghiệm kia là x 2 = a c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x 1 = - 1; nghiệm kia là x 2 = a c 2. Định lý đảo: Nếu có 2 số x 1 , x 2 thoả mãn = =+ Px.x Sxx 21 21 thì chúng là nghiệm số của phơng trình: t 2 - st + p = 0 (Điều kiện 2 số x 1 , x 2 là s 2 - 4p 0) Chú ý: * Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm )0'(0 0a * a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 * Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình = =+ Pxy Syx thì , là nghiệm phơng trình: t 2 - st + p = 0 II. Một số ứng dụng 1/ ứng dụng 1: Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (d) với a 0 quan hệ với Parabol y = mx 2 với m 0 Dạng 1: 3 ( ) = =+ a c x.x a b xx 0và0a 21 21 Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (x A ; y A ); B (x B ; y B ) thuộc Parabol y = mx 2 (m 0) * Cơ sở lý luận: Do đờng thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: mx 2 = ax + b mx 2 - ax - b = 0. Từ đó theo Viet ta có: = =+ m b x.x m a xx BA BA (*) Từ (*) tìm a và b PT (d) Dạng 2: Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (x M ; y M ) * Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phơng trình: mx 2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x 1 = x 2 . Vận dụng hệ thức Viet, ta có: = =+ m b xx axx 21 21 a và b Phơng trình tiếp tuyến. Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x 2 . Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lợt là x A = - 1 ; x B = 2. Lập ph- ơng trình dờng thẳng đi và A và B. Đây là một bài toán không khó nhng hầu hết các em có lời giải nh sau ( ) 1 A A P x = y A = (-1) 2 = 1 vậyA(-1;1) ( ) 2 B B P x = y B = 2 2 = 4 vậyB(2;4) Phơng trình đờng thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) với a, b R có ( ) 1 3 3 1 ( ) 4 2 1 2 A AB a b a a B AB a b a b b = + = = = + = + = Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = x + 2 Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phơng pháp giải ta có thể cho đợc lời giải đẹp sau đó là do sử dụng định lí Vi-et Phơng trình đờng thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) Phơng trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x 2 = ax + b x 2 - ax - b =0 (*). Ta có: x A = - 1 ; x B = 2 là nghiệm của phơng trình (*). Theo định lí Vi-et ta có: 4 = =+ bxx axx BA BA = = 2b 1a Vậy phơng trình đờng thẳng (AB) là: y = x + 2 Ví dụ 2: Cho (P): 4 x y 2 = ; A (P) có hoành độ x A = 2 lập phơng trình đ- ờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Cũng nh bài toán trên nếu không áp dụng dịnh lí Vi-et học sinh có lời giải nh sau: ( ) 2 2 1 4 2 A A A P y x = = = VậyA(2;1) Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) với a, b R A (d) 1 = 2a + b b = 1 2a Vậy y = ax + 1 2a Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 2 4 x = ax + 1 2a 2 4 4 8 0x ax a + = ( ) 2 2 4 4 8 4 1a a a = + = ( ) 2 0 4 1 0 1a a = = = Từ a = 1 b = 1 2.1 = -1 Phơng trình đờng thẳng cần tìm là: y = x 1 Nếu sủ dụng định lí Vi-et ta có lời bài toán nh sau: Giả sử phơng trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 4 x 2 = ax + b x 2 - 4ax - 4b = 0 (*) Ta có: x A = 2 là nghiệm kép của (*) (x 1 = x 2 = 2) Theo Viet ta có: = =+ b4xx a4xx 21 21 = = 1b 1a Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1 Nh vậy ở ví dụ 1 và 2 việc sử dụng định lí Vi-et để giải toán ta có lời giải đẹp hơn điều này giúp học sinh tìm tòi sáng tạo khi gặp những dạng toán khó hơn 2. ứng dụng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bằng biểu thức cho trớc a. Phơng pháp: Có thể thực hiện các bớc: * B ớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x 1 , x 2 . * B ớc 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có: 5 = =+ )m(21 )m(21 gx.x fxx (*) * B ớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy ra phơng trình có ẩn là tham số từ đó tìm đợc tham số. (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm đợc với điều kiện để phơng trình đầu có nghiệm số). b. Một số ví dụ Ví dụ1: Cho phơng trình x 2 2x + m = 0 ( x: là ẩn ) (1) a/ Xác định m để pt (1) có nghiệm b/ Tìm m để pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện: x 2 = 2 x 1 ( Đề thi cuối năm học 2009 2010 phòng GDĐT Hải Hậu ) a/ Ta có = 1 m Pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 1 m 0 m 1 Vậy với m 1 thì phơng trình (1) có nghiệm b/ Với phần b có nhiều em đa ra nh sau Từ kết quả phần a ta có với m 1 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m x m m x m + = = + = = Theo bài ra ta có x 2 = 2 x 1 nên ( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 3 m m m m m m = + = + = = Phơng trình ẩn m vô nghiệm Nếu nh học sinh chỉ xét 1 trờng hợp thì không tìm đợc giá trị m thỏa mãn điều kiện đầu bài tuy nhiên x 1 và x 2 đồng nhất nên xét tiếp trờng hợp thứ 2 ( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 3 1 1 9 1 8 1 9 9 m m m m m m m m + = + = = = = = = Thoả mãn điều kiện Vậy với 8 9 m = thì pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện: x 2 = 2 x 1 6 Tuy nhiên cách giải này dài và phức tạp nên ta có thể áp dụng định lí Vi-et để giải bài tập này một cách đơn giản hơn nh sau: Từ kết quả phần a ta có với m 1 thì phơng trình có nghiệm Theo định lí Vi-et ta có 1 2 1 2 2 . x x x x m + = = Thay x 2 = 2 x 1 vào biểu thức ta có x 1 + x 2 =2 1 1 1 2 2 2 2 4 3 3 x x x x + = = = 2 4 8 . 3 3 9 m = = Vậy với 8 9 m = thì pt (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện: x 2 = 2 x 1 Ví dụ 2: Cho phơng trình x 2 2mx + m 3 = 0 a/ Chứng minh phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m b/ Tính 2 2 1 2 x x+ theo m. Tìm m để 2 2 1 2 x x+ = 12 a/ Ta có ( ) ( ) 2 ' 2 ' 2 2 ' 3 3 1 1 11 2. . 2 4 4 1 11 2 4 m m m m m m m = = + = + + = + ữ > 0 với mọi m Vậy phơng trình có nghiệm với mọi m b/ ở câu b nếu học sinh sử dụng công thức nghiệm tìm x 1 và x 2 rồi tính giá trị biểu thức nh sau > 0 với mọi m phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m Ta có 2 1 2 2 1 11 2 4 1 11 2 4 x m m x m m = + + ữ = + ữ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 1 11 2 4 2 4 1 11 1 11 2 2 4 2 4 2 3 3 4 2 6 x x m m m m m m m m m m m m m m + = + + + + ữ ữ = + + + + ữ ữ = + + + + = + Vậy x 1 2 + x 2 2 = 4m 2 - 2m + 6 Từ đó giải phơng trình bậc 2 ẩn m: 4m 2 - 2m + 6 = 12 để tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 x x+ = 12 Tuy nhiên cách tính 2 2 1 2 x x+ rất phức tạp dễ nhầm lẫn sai sót trong quá trình làm bài. Do đó ta có thể sử dụng định lí Vi-et giải bài tập nh sau 7 Theo câu a ta có > 0 với mọi m phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m áp dụng định lí Vi-et ta có 1 2 1 2 2 . 3 x x m x x m + = = Mà ta lại có ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 .x x x x x x+ = + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 4 2 6 x x m m x x m m + = + = + Vậy 2 2 2 1 2 4 2 6x x m m+ = + Theo bài ra 2 2 1 2 x x+ = 12 2 2 4 2 6 12 4 2 6 0 m m m m + = = Giải phơng trình bậc hai ẩn m ta có a b + c = 4 (-2) - 6 = 0 Phơng trình có nghiệm: m 1 = - 1, m 2 = 6 3 4 2 = Vậy với m = - 1, m = 6 3 4 2 = thì pt có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện: 2 2 1 2 x x+ = 12 Nh vậy ở hai ví dụ trên học sinh thấy có x 1 , x 2 thông thờng các em sẽ sử dụng công thức nghiệm nh thế sẽ rất phức tạp và dễ nhầm lẫn. Vì thế giáo viên cần h- ớng dẫn học sinh t duy sáng tạo cần sử dụng định lí Vi-et Qua một số ví dụ trên và hớng giải quyết đã nêu dẫn đến lời giải ngắn gọn khi sử dụng định lí Vi-et. Điều này minh chứng thêm cho khảng định: Khi giải toán cần nắm vững thành thạo các phơng pháp đặc trng của từng loại toán. Điều này rất cần thiết song để giải các bài toán phức tạp cần khai thác yếu tố riêng, đặc biệt của mỗi loại toán để có ý nghĩa sáng tạo đơn giản mà hiệu quả cao. Phần c. Các biện pháp thực hiện 1. Xây dựng hệ thức Vi-ét - Sau khi học xong công thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hớng dẫn HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thông qua biểu thức: x 1 + x 2 = ?; x 1 . x 2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên. 2. Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài Hệ thức Vi-ét và ứng dụng . Gồm các bài toán: - Không phải phơng trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Không đối xứng giữa 2 nghiệm - Cho trớc 1 nghiệm số của phơng trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham số. - Tìm một số biết tổng và tích của chúng 8 - Lập một phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trớc; hoặc hai nghiệm có liên quan tới 2 nghiệm của 1 phơng trình đã cho. - Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 không phụ thuộc tham số. - Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một ph- ơng trình bậc 2 đã cho thoả mãn 1 hệ thức (1 điều kiện cho trớc). - Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phơng trình bậc 2 cho trớc cùng dấu, trái dấu, dơng, âm Bài học kinh nghiệm 1. Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phơng trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số). Với các hệ số a, b, c từ đó hình thành các hệ thức Vi-ét đến phát biểu đợc nội dung của định lý Vi-ét là một công việc có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy toán theo hớng đổi mới phơng pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú. 2. Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra đợc các ứng dụng quan trọng nh tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phơng trình) Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng nh ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan. 3. Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập. - Tìm 2 số biết tổng và tích. - Lập một phơng trình biết hai nghiệm. - Nhẩm nghiệm phơng trình. 4. Nêu ra một hệ thống ứng dụng của định lý Vi-ét vào các bài toán có ý nghĩa thiết thực trong rèn luyện kĩ năng và vận dụng hệ thức vào suy luận ở cấp độ t duy cao nh: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số 5. Thờng xuyên động viên HS có thói quen giải một phơng trình bậc hai, tr- ớc tiên là sử dụng Vi-ét. Tạo cho HS một động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp lí) bài toán có phơng trình. Đặc biệt là thói quen tính nhẩm trong các trờng hợp đã nêu. 6. Thờng xuyên cảnh giác cho HS trớc khi sử dụng hệ thức Vi-ét là tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) là một hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức trong suy luận và rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ trong giải toán cho HS. 7. Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán nh: Bất đẳng thức, cực trị, giải phơng trình, hệ phơng trình Đã làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét. 8. Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài toán về phơng trình bậc hai luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt. 9. Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng về phơng diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các em đợc vững chắc hơn. 9 Phần d. kết kuận 1. Với các ứng dụng phong phú, đa dạng. Định lý Viet đã có 1 vị trí quan trọng trong chơng trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với các lớp trên. Cũng nh việc mở rộng nó với phơng trình bậc 3. Định lý này không chỉ có giá trị về phơng diện thực hành định lợng mà nó còn có giá trị định tính 1 cách phong phú cho các nghiệm số cả phơng trình bậc 2. 2. Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phơng trình bậc 2, bậc 3. Giúp cho ngời học rèn luyện các thao tác t duy đặc biệt là khả năng suy luận 7 tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán. 3. Cung cấp cho HS 1 cách có hệ thống các nội dung và phơng pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp HS hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của 1 pt bậc 2, bậc 3. Từ đó hình thành ở HS 1 thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chơng trình toán. 10 [...]... nhiên do hạn chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nói trên cũng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Vì vậy tôi kính mong sự quan tâm của hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm của các cấp góp ý chân thành cho bản sáng kiến kinh nghiệm đợc hoàn mỹ hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Hải 11 ... đầu đã đợc thực nghiệm và cho kết quả nhất định nhất là việc bồi dỡng HS khá giỏi phần nào đã giúp ngời học hình thành đợc Angôrít giải toán ở các ứng dụng vào các bài tập của định lý Vi-ét góp phần phát huy đợc tính tích cực chủ động trong học toán, phẩm chất trí tuệ (t duy) tạo đà cho HS đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay Tuy nhiên do hạn chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nói trên... những tiền đề để tiếp thu kiến thức và phơng pháp mới ở các lớp sau 6 Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi mới phơng pháp giáo dục Đó là: việc đi tìm chân lý toán học không chỉ dừng ở chân lý mà cái quan trọng phải thấy đợc giá trị của chân lý đó, nhằm nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng phát huy tích cực của HS 7 Trên đây là các ứng dụng phong phú của một định lý toán học (định lý Vi-ét) đợc xây dựng...giúp cho các em rèn luyện đợc các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ 4 Nêu ra đợc các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có đợc phơng hớng giải quyết vấn đề có cơ sở lý luận Xây dựng cho HS 1 niềm tin trong học tập chống t tởng ngại khó, sợ toán, . chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nói trên cũng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy tôi kính mong sự quan tâm của hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm của các cấp. thực tiễn nảy sinh sáng kiến - Đi sâu vào nghiên cứu và tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp tôi thấy phần Đại số lớp 9 học sinh đợc làm quen với kiến thức mới đó là định lí Vi-et và các ứng. trớc hai nghiệm - Trong thực tế giảng dạy khai thác định lí Vi-et và các ứng dụng của nó ngời dạy cũng nh ngời học còn nghiên cứu sơ sàicha khai thác triệt để các ứng dụng từ định lí Vi-et đặc