Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Danh sách nhóm lớp Đại học chức Toán K1 - Phú thọ STT Họ tên Nguyễn Mạnh hởng Đào trung tuyến đỗ văn thành nguyễn văn thành nguyễn quang hiền nguyễn ngọc chiến (Nt) đỗ ngọc ngà 10 nguyễn minh hải 11 vũ mạnh dơng Phơng pháp dùng định nghĩa Phơng pháp 2: biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3: đào thuỷ chung lê anh xuân Phơng pháp 1: Dùng tính chất Bất đẳng thức để Nghiên cứu phần Dùng tính chất tỉ số Phơng pháp 4: Phơng pháp phản chứng Phơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp Phơng pháp 6: Dùng Bất đẳng thức tam giác Phơng pháp 7: Phơng pháp làm trội Phơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopxky Phơng pháp 9: Phơng pháp dùng tam thức bậc hai Phơng pháp 10: Phơng Pháp hình học Một số ứng dụng BĐT A - phần mở đầu I- Lý chọn đề tài 1- Cơ sở khoa học: -1- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Nh đà biết, thông qua việc học toán học sinh nắm vững đợc nội dung toán học phơng pháp giải toán từ học sinh vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Hơn toán học sở ngành khoa học khác, toán học có vai trò quan trọng nhà trờng phổ thông, đòi hỏi ngời thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo phơng pháp dạy học giúp học sinh học giải toán Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình toán học từ tiểu học đến trung học Việc nắm vững phơng pháp giải Bất đẳng thức giúp học sinh học tốt môn toán mà có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học Đặc biệt việc phát triển t sáng tạo cho häc sinh tõ tiĨu häc ®Õn trung häc Nhng vÊn đề đặt cho giáo viên toán giúp học sinh học tốt môn toán nói chung v Bất đẳng thức nói riêng Trong trình dạy toán THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy tìm tòi tài liệu nhóm chúng em đà hệ thống đợc số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà chúng em thiết nghĩ giáo viên toán cần trang bÞ cho häc sinh cã nh vËy häc sinh giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t toán học, tạo điều kiện cho việc học toán THCS học môn học khác 2- Cơ sở thực tiễn: Bất đẳng thức loại toán mà học sinh THCS coi loại toán khó Nhiều học sinh giải Bất đẳng thức phải đâu phơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành phơng pháp định, gây cho học sinh nhiều khó khăn gặp, giải toán Bất đẳng thức -2- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Các toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt đề thi kể đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi cấp thi vào lớp 10 THPT Đối với giáo viên thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức bổ sung kho kiến thức cho họ Đối với học sinh khắc phục đợc hạn chế trớc giúp cho học sinh có tinh thần tự tin học tập môn toán II - Mục đích nghiên cứu: Góp phần quan trọng việc giảng dạy toán học nói chung Bất đẳng thức nói riêng Đặc biệt việc bồi dỡng học sinh giái vµ häc sinh thi vµo líp 10 THPH chuyên Giúp học sinh biết phân loại vận dụng phơng pháp giải Bất đẳng thức cách nhanh chóng hiệu Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh trình học tập III - Phơng pháp nghiên cứu: - Nhóm chia phơng pháp cho học viên nghiên cứu vµ qua thùc nghiƯm, rót bµi häc kinh nghiƯm phơng pháp - Nghiên cứu phơng pháp giải Bất đẳng thức - Thông qua nội dung phơng pháp tập mẫu nhằm củng cố Lý thuyết phát triển trí tuệ cho học sinh - Rèn kỹ học sinh qua tập đề nghị IV - Phạm vi nghiên cứu sử dụng: - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS - Bồi dỡng cho giáo viên học sinh THCS B - Những kiến thức Bất đẳng thức I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói -3- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS số a lớn số b, ký hiƯu lµ: a > b nÕu a - b > sè a nhá h¬n sè b, ký hiƯu lµ: a < b nÕu a - b < II - TÝnh chÊt: 1) a > b ⇔ b < a 2) a < b, b < c ⇒ a < c (tính chất bắc cầu) 3) a < b ⇒ a + c < b + c (tÝnh chất đơn điệu) 4) a < b, c < d ⇒ a + c < b +d (Céng hai vÕ Bất đẳng thức chiều ta đợc Bất đẳng thức chiều với chúng) 5) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc Bất đẳng thức có chiều chiều Bất đẳng thức bị trừ) 6) Nhân hai vế Bất đẳng thức a < b với sè m a ⇔ a.m > b.m, m < 7) Nh©n hai vÕ hai Bất đẳng thức không âm chiều ta đợc Bất đẳng thức chiều: b an+1>b2n+1 ann>0; a>1 ⇒ am > an; am < an víi < a B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0 2- Kiến thức cần vận dụng - Các đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2 - Tỉng qu¸t: ( n ∑ Ai) i =1 n = ∑ Ai + i =1 n ∑ Ai Aj; i < j i , j =1., Các k biến đổi đồng để biến đổi hiệu hai vế Bất đẳng thức ®óng hay ®iỊu kiƯn ®óng cđa ®Ị bµi: 3-Bµi tËp áp dụng Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a2+b2 ab Giải -5- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Xét hiệu: a2+b2- ab = (a2+ b2- ab)+ a, b v× ( a- 3 b =( a- b)2+ b2 ≥ ®óng víi mäi 4 3 b) ≥0; b2 ≥0 DÊu "=" x¶y (a- b)2= b2=0 suy a = 4 b=0 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh Chứng minh tơng tự cho Bài a2+b2 ab n n Ta cã thĨ chøng minh cho Bµi toán tổng quát: (an)2+(bn)2 a b Bài - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0 (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ DÊu "=" x¶y x2-7x +9 =0  x= c (a − c) + c(b − c) b) ≤ ± 13 ab ( c (a − c ) + c(b − c) )2 ≤ ( ab )2  c(a-c)+c(b-c) +2 c (a − c )  c2 +2c ( a − c) ( c- (a − c) c(b − c) ≤ ab (b − c) +(a-c)(b-c) (b c) )2 Bất đẳng thức cuối với giá trị a,b,c thoả mÃn điều kiện đề c (a − c) + c(b − c) ≤ c ab víi a ≥c ≥0 vµ b ≥ Bµi 4: Chøng minh Bất đẳng thức: 3 1 ≥4 ( + + + + ) biÕt a,b,c >0 ab cb ac a+b c+b a+c Gi¶i Ta cã => 1 (a + b + c) + + = Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc ab cb ac abc 8.(a + b + c) 1 ≥ + + Hay (a + b)(b + c)(c + a ) ab cb ac 4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a) 1 + + ≥ ( a + b)(b + c)(c + a ) ab cb ac  2( 8 1 + + ) ≥ (a + c)(b + c) + (a + b)(a + c) + (a + b)(b + c) (1) ab cb ac Trong (1) Dấu "=" xảy a=b=c Mặt khác ta cã (a+b)2 ≥4ab ⇒ -10- ≥ t¬ng tù ta cã ( a + b) ab Chuyªn đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Bài 4: Cho số a1, a2,., an thoả mÃn điều kiƯn: 0< a ≤ ≤ b víi i = 1, 2, …., n Chøng minh r»ng: 1 n (a + b ) (a1+a2+… +an ) ( a + a + + a ) ≤ 2ab n Gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ta cã 00 với i=1,2 ,n i Lần lợt cho i =1,2,3,,n cộng vế lại với ta đợc ab ab ab (a1+a2+… +an ) + ( a + a + + a ) ≤ n(a+b) (1) n áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta đợc ab ab ab ab ab ab (a1+a2+… +an ) + ( a + a + + a ) ≥2[(a1+a2+… +an ) ( a + a + + a )] 2 n n (2) ab ab ab Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2[(a1+a2+… +an ) ( a + a + + a )] ≤ n(a+b) n ⇔ 4[(a1+a2+… +an ) ( ⇔ (a1+a2+… +an ) ( ⇔ ab ab ab + + + )] ≤ n2(a+b)2 a1 a2 an 2 2 2 1 + + + ) ≤ n (a + b ) ≤ n (a + b ) a1 a2 an 4ab 2ab 1 n (a + b ) (a1+a2+… +an ) ( a + a + + a ) ≤ ( đpcm) 2ab n 3-Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a,b,c >0 vµ a+b+c =1 Chøng minh (1+a-1)(1+b-1)(1+c-1) ≥ 64 Bµi 2: Cho a,b,e,c,d >0 vµ a+b+c +d+ e=1 Chøng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) ≥1024 Bµi 3: Ch a,b,c Lµ độ dài ba cạnh tam giác -29- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS a b Chøng minh r»ng: a +b + b −c b +c + c −a c +a ≤ Bµi 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích S Gọi E giao điểm hai đờng chéo Chứng minh SABE 0,25 Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxky - Kiến thức Các kỹ biến đổi Bất đẳng thức Cho 2n số a1, a2, …, an; b1, b2,…,bn ta lu«n cã (a1b1+a2b2 +….anbn)2 ≤ (a2 + a 22+ …+a 2n ) (b 21+ b 22+…+b 2n ) a1 an a2 DÊu "=" x¶y b = =… = b2 bn Bµi tập mẫu: Bài Cho ba số x,y,z thoả mÃn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) ≤ Chøng minh r»ng x+y+z ≤ Giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky cho số 1, 1, 1, x, y, z ta đợc: (x+y+z)2 ≤ (1+1+1) (x2+y2+z2) =3(x2+y2+z2) (1) ta cã x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) ≤ Tõ (1) vµ (2) Ta cã S -S ≤ 3 ⇔ (x2+y2+z2)-(x+y+z) ≤ (2) 4 (x+y+z)2-(x+y+z) Đặt S = x+y+z ta cã ⇔ (S+1)(S-4) = ⇔ -1 ≤ S ≤ VËy x+y+z ≤ DÊu "=" x¶y x=y=z = Bµi Chøng minh phơng trình: -30- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS x4 + ax3 + bx2 + ax +1=0 có nghiệm a2+ (b-2)2 >3 Giả sử x= t nghiệm phơng trình ta có: t# không nghiệm phơng trình vµ t4 + at3 + bt2 + at +1 =0 t2 + t Đặt T = (t+ ) ⇒ T2 = t2 + 1 +a(t+ ) +b = (1) t t 1 ≥2 +2 ≥ t + t t (1) Trở thành T2+aT +b -2=0 T2=-(aT +b -2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: T4 =(aT +b -2)2 ≤ [a2 + (b-2)2] (T2 +1) ⇔ a2 + (b-2)2 ≥ VËy T4 =T2-1+ > 4-1 =3 T +1 T +1 a2 + (b-2)2 > (đfcm) Bài Tập áp dụng: A ) Cho a,b,c >0 vµ p=(a+b+c):2 Chøng minh r»ng: p< p−a + p−c + p − b ≤ 3p b-Cho n sè bÊt kú a1 ,a2, …, an, Chøng minh r»ng: (a1 + a2 + …+ an)2 ≤ n(a21 + a22 + …+ a2n) c- Cho a,b,c Kh¸c chøng minh r»ng: a b2 c2 a b c + + ≥ + + b2 c a b c a d- Cho a,b,c dộ dài ba cạnh mét tam gi¸c h·y chøng minh r»ng: a(2b+2c-a)-1 +b(2a+2c-b)-1 + c(2a+2b-c)-1 ≥1 e- Cho ax- by ≥ m Chøng minh ax2+by2 m2: (a+b) f- giả sử Phơng trình x2 + ax + b =0 cã nghiÖm x = t Chứng minh t0 vµ ∆ ≤ Bµi 1: a Chøng minh r»ng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 ≥ 4xy3 b) a2 + b2 + c2 + d2 + e ≥ a (b + c + d + e ) Gi¶i: a) Ta cã x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥0 BiĨn ®ỉi tơng đơng ta đợc: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥0 ⇔ (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 ≥0 Ta thÊy (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 tam thức bạc hai ®èi víi biÕn x v× “a”= (y2+1)2 >0 XÐt ∆ ’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16 y2 ≤ ∀ y ⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ ®óng ⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ ⇒ VËy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 ≥ 4xy3 b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e ≥ a (b + c + d + e ) -32- ∀ x,y Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS a2 + b2 + c2 + d2 + e - a (b + c + d + e ) ≥ ⇔ ⇔ Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e - a (b + c + d + e ) lµ tam thøc bËc hai ®èi víi biÕn a Ta cã “a”=1 > ∆ =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2) ¸p dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc: (1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e ) - (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 ®óng ∀ b,c,d,e ⇒ a2 + b2 + c2 + d2 + e - a (b + c + d + e ) ≥ ∀b,c,d,e a, ⇒ VËy: a2 + b2 + c2 + d2 + e ≥ a (b + c + d + e ) DÊu "=" x¶y b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2 b- Dạng thứ hai: Để chứng minh b2-4ac = ta chøng minh a.f(x) ≥ Trong ®ã f(x) =ax2 +bx +c (a khác ) Bài 2: Cho -1 ,= x ≤ 0,5; vµ −5 < y < Chøng minh r»ng x2 +3xy +1 >0 Giải: Đặt f(x) = x2 +3xy +1 ta có ∆ = 9y2 - = (3y-2)(3y+2) ⇒ ∆ 0 chøng minh r»ng: 6/ Tìm giá trị nhỏ c (a b) + c(b − c ) ≤ ab a + c + b + c ≥= (a+b).c x2 + x + + x2 − x + Trên số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức cha đợc đầy đủ Nhng đà biết chơng trình toán cấp II học sinh cha đợc học thật cụ thể bản, mà chủ yếu Bất đẳng thức đợc tập chung c¸c líp lun thi häc sinh giái, c¸c kú thi vào cấp III thi vào đại học Do ngời giáo viên phải thấy Bất đẳng thức đợc sử dụng rộng nên giáo viên hớng dẫn cho học sinh tổ chức buổi học ngoại khoá tự học nhà Tuỳ đối tợng mà giáo viên đa phơng pháp, toán phù hợp với trình độ học sinh để học sinh rễ cảm nhận ,tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy bị gò bó học Bất đẳng thức Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng phơng pháp mà phải tìm phơng pháp có lời giải nhanh Một điều mà thấy chứng minh Bất đẳng thức cần vận dụng linh hoạt, kết hơp các phơng pháp d- Một số ứng dụng Bất đẳng thức (Ngời thực hiện: Vũ Mạnh Dơng) I Giải phơng trình: Dùng bất đẳng thức 1- Phơng pháp giải: Để Giải phơng trình A(x) = B(x) Cách 1: Ta biến đổi phơng trình dạng g(x) = h(x) mà g(x) a ; h(x) ≤ a; (a lµ h»ng sè) NghiƯm phơng trình giá trị thoả mÃn đồng thời: g(x) = a; h(x)=a -36- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Cách 2: Ta biến đổi phơng trình dạng h(x) = m; (m số) Mà h(x) m m h(x) nghiệm phơng trình giá trị x làm Dấu ''='' xảy 2- Các kiến thức cần nhớ: - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Bunhiacôpxky - Bất đẳng thức Trebsep - Một số bất đẳng thức khác - Các kỹ biến đổi tơng đơng, biến đổi đồng 3-Bài tập mẫu: Bài 1: Giải phơng trình: 3x +6 x + + x +10 x + 14 = - 2x -x NhËn xÐt: Th«ng thêng giải dạng tập có thức ta thờng làm thức cách sử dụng công thức ( n a ) n = a đa a k = a k Đối với toán học sinh tìm điều kiện bình phơng hai vế Với cách làm phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình bậc cao không giải đợc Vì nên ta tìm cách giải khác: Ta thấy VP= - 2x -x =5- ( x +1) ≤ V× - ( x + 1) ≤ DÊu ''='' xảy x = -1 Từ nghĩ đến việc đánh giá vế trái: Ta có: 3x +6 x + = 3( x + 1) +4 ≥ DÊu ''='' x¶y x=-1 x +10 x + 14 = 5( x + 1) +9 ≥ DÊu ''='' x¶y x=-1 Suy VT ≥ DÊu ''='' x¶y x=-1; VT=5 ≥ VP DÊu ''='' x¶y x= -1 Vậy nghiệm phơng trình x= -1 Bài 2: Giải phơng trình: x + − x = x −6 x + 11 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔2≤ x≤4 4 − x ≥ x ≤ TXD:  -37- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Ta thÊy VP= ( x − 3) +2 ≥ ( x − 3) ≥ Dấu ''='' xảy x= 3.(*) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có: (1 + 1)( x VT = (1 x − + − x ) ≤ − + − x ) = DÊu ''=''x¶y x= (**) Từ (*) (**) suy Nghiệm phơng trình đà cho là: x= Bài 3: Giải phơng tr×nh: x −3 x + 3,5 = Ta cã: (x )( −2 x + x −4 x + ( ) x −x + = x − ) Gi¶i: +1 ≥1 x −4 x + =( x − ) +1 ≥1 NhËn thÊy VT: x −3x − 3,5 = (x ) ( −2 x + + x −4 x + ) ¸p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta ®ỵc: ( ) x −3 x − 3,5 ≥ ( x − x + 2) x − x + DÊu ''=''x¶y khi: x −2 x + = x − x = ⇔ x = ⇔ x = Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: x= 3/2 Bài 4: Giải phơng trình: x + − x −1 + x + x = Giải: Phơng trình đà cho tơng đơng với: ( x ) + x −1 − + ( ) x −1 − =1 x −1 − = ⇔ x −1 − + − x = áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b DÊu ''=''x¶y a.b -38- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS ta có: x + − x −1 ≥ x −1 − + − x −1 = DÊu ''='' x¶y ( x − − 2)(3 − x − 1) ≥ ⇔ ≤ x −1 ≤ ⇔ ≤ x −1 ≤ ⇔ x 10 Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: x 10 Bài 5: Giải phơng trình (8x - 4x -1)(x - 2x +1) = 4(x +x+1) Thông thờng ta nhân phân phối đợc phơng trình bậc đầy đủ Giải phơng trình nhiều công hiệu quả.Từ nghĩ đến việc hạ bậc phơng trình cách nhân hay chia hai vế phơng trình cho nhân tử cho hợp lý Thử thấy x=1 nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho 4(x-1) x x −1 x + x +1 = Ta đợc phơng trình: ( x 1) Ta có: x − x − − 4( x − 1) + 3 = ≤ 4 DÊu ''=''x¶y x-1= suy x = Mặt khác ta có: x + x +1 ( x +1) 1+x = − + 2 ( x +1) ( x +1) ( x +1) ( x +1) 1 = − +1 ( x +1) x +1 2 1 3  = −  + ≥ x +1  4  DÊu ''='' x¶y 1 − = ⇔ x =1 x +1 Nhận thấy x= nghiệm phơng trình Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm Bài 6: Giải phơng trình 17 x +3 x −3 + 17 x + x − = 3 -39- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Giải: a +b k + a k +1 + b k +1 ( ) áp dụngbất đẳng thức 2 (bất đẳng thức chứng minh qui nạp toán học) Dấu ''=''xảy a =b Tađợc: ( 17 ⇔ x + 3x − + 17 − ( x + x) 17 x + 3x − + − ( x + x) ) ≤ =1 2 17 x + x − + 17 x + x − ≤ DÊu ''=''x¶y ( 17 x + 3x − ) =( 17 x + 3x − ) ⇔ x + x − = − ( x + x) x=1 Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: x= Bài 7: Giải phơng trình ( x + 1) + ( x + ) = 18 Giải Ta có (a) k = (a) k áp dụng bất đằng thức: a 2k + b 2k  a + b  ≥    2k (bÊt ®»ng thøc chứng minh băng qui nạp toán học) DÊu ''=''x¶y a=b VT = ( x + 1) + ( x + ) = ( x + 1) + (− x − ) 6  x +1− x −  1−   = 2  ≥ 2     = 18 −     DÊu ''=''x¶y x+1= -x- ⇔ x = − +1 v©y nghiệm phơng trình đà cho là: x = Bài tập 8: Giải phơng trình 27x 10 5x + -40- 864 = +1 Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Giải: Ta thấy x=0 nghiệm phơng trình: chia hai vế (*) cho x Ta đợc 27x + x6 864 = ⇔ 27 ( 1 x4 x x4 + + + + ) x x 3 =5 ¸p dơng bÊt đẳng thức Côsi cho vế trái ta đợc: VT = 27 ( 1 x4 x4 x4 + + + ) ≥ 27 55 ( ) ( ) = x x 3 x DÊu ''=''x¶y khi: x4 = ⇔ x 10 = ⇔ x = / 10 / x VËy nghiƯm cđa phơng trình đà cho là: x = / 10 / 4./Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau: a- − x + b- x − x + + x − x + 12 = −5 x + 20 x − 17 c- x + + x − + x + 15 − x − =6 x − = x − 10x + 27 d- x100 +(x + 6)100 =2.3 100 e- ( x − 1) 2002 +(x − 2002 =1 ) g- 19 x + y − x + 19 − +y + =2 19 y x x II Tìm GTNN GTLN biêủ thức x2 + 4x + Bài Tìm GTNN GTLN cđa biĨu thøc sau a = x2 + Giải: Biểu thức nhận giá trị phơng trình a= x2 + 4x + (*) cã nghiÖm x2 + Do x2+1 >0 nªn (*) ⇔ víi x2 (a-2) -4x +a-5 =0 + NÕu a=2 th× phêng tr×nh cã nghiƯm x=-3:4 + NÕu a kh¸c (*) cã nhiÖm ⇔ ∆ =4-(a-2)(a-5) ≥ ⇔ a2 -7a +6 a -41- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Nếu a=1 x=-2 Nếu a=6 x =0,5 Vậy giá trị nhỏ BT đà cho x=-2 giá trị lớn BT đà cho x=0,5 Bài 2: Tìm GTNN GTLN biểu thøc B =2x2 +4xy +5y2 BiÕt r»ng x2 +y =a (1) Với a số Giải: Vì a nên ta có B:a =(2x2 +4xy +5y2 ):(x2 +y 2) (*) NÕu y=0 th× B:a =2 ∀ x Nếu y khác Đặt x:y (*) trë thµnh B:a = 2t + 4t + t2 +1 Theo bµi ta cã: ≤ t ≤ ⇔ ≤ B:a ≤ ⇔ a B 6a Vậy giá trị nhỏ BT đà cho a x:y =-0,5 x=-2y thay vào (1) Ta đợc x=2 5a 5a 5a 5a , y=:; x=-2 , y=5 5 Giá trị lớn BT đà cho x:y =0,5 y=2x thay vào (1) Ta đợc x= 5a 5a 5a 5a , y=2 ; x=, y=-2 5 5 Bài Cho hình vuông ABCD có cạng a Một điểm M di động cạnh AB Dựng hình vuông có cạnh AM BM Về bên hình vuông Xác định vị trí M để diện tích S lại hình vuông lớn Giải: Gọi S1, S2 lần lợt diệm tích hình vuông có cạnh AM AN ⇒ S1=AM2, S2+=BM2 S nhá nhÊt S1+S2 = AM2 +BM2 lín nhÊt Ta cã AM2+MB2 ≤ 0,5 (MA+MB)2=0,5 a2 Dấu "=" xảy MA=MB hay M trung điểm củ AB -42- Chuyên đề: Bất đẳng thức chơng trình Toán THCS Vậy: S lớn M trung điểm AB Bài tập áp dụng: 1/ Chøng minh r»ng 3x+4 − x ≤ 2/ Tìm GTNN GTLN biểu thức x − 2 − x + x −1 + 2 x + 3/ Tìm GTNN GTLN cđa biĨu thøc x+ x + biÕt x>0 x2 Bài 4: Cho đờng tròn (O,R) điểm M thay đổi đờng kính AB Tìm vị trÝ cđa ®iĨm M ®Ĩ tỉng diƯn tÝch hai ®êng tròn đờng kính MA MB có diện tích nhỏ E- Phần thực nghiệm: Tổng quát Bất đẳng thức ứng dụng Sau lần chứng minh sông Bất đẳng thức giáo viên cần định hớng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh làm tốt đợc việc không làm đẹp phong phú Bất đẳng thức mà đem lại ứng dụng không nhỏ Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học toán nói chung Bất đẳng thức nói riêng Sau ví dụ để chứng minh điều đó: Chúng ta Bất đẳng thức quen thuộc sau: Chứng minh rằng: a + b2 a+b ≥( ) (1) ∀ a,b; R ∋ a,b DÊu "=" x¶y a=b 2 Chøng minh r»ng: a + b4 a+b ≥( ) (2) ∀ a,b; R ∋ a,b DÊu "=" xảy a=b 2 Bất đẳng thức (1), (2) dễ dàng chứng minh Giáo viên cho học sinh tổng quát Bất đẳng thức từ Bất đẳng thức (1) (2) Ta đợc Bất đẳng thức -43- ... (y2+1 )2 >0 XÐt ∆ ’ = [2 (1-y2) ]2- (y2+1 )2. 4y2= -16 y2 ≤ ∀ y ⇒ x2 y4 +2( x2 +2) y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ ®óng ⇒ x2 y4 +2( x2 +2) y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ ⇒ VËy x2 y4 +2( x2 +2) y2+4xy +x2 ≥ 4xy3 b ) a2 + b2 + c2 +... a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d +e) Gi¶i XÐt hiƯu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae = ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) = [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]... lµ b2k+a2k ≤ c2k + Ta chứng minh Bất đẳng thức với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1) ≤ c2(k+1) ThËt vËy: Ta cã c2(k+1) = c2k +2= c2k c2 ≥(a2k+b2k)(a2+b2) =a2k +2 + a2k b2 +b2ka2 +b2k +2 ≥ a2k +2 + b2k+2