Hỡnh hc khụng gian 11. Quan h vuụng gúc. Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi O là trọng tâm của tam giác BCD. CMR: ( ) BCDAO Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a) CMR: ( ) ( ) ( ) SACmpBDSADmpCDSABmpBC ,, b) CMR: ( ) AHKmpSC và điểm I cũng thuộc mp(AHK). c) Chứng minh: ( ) SACmpHK . Từ đó suy ra: AIHK Bài 3. Cho tứ diện SABC có: ( ) ABCSA . Gọi H, K lần lợt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui. b) ( ) BHKSC c) HK ( ) SBC Bài 4. Cho tứ diện SABC, có ( ) ABCSA và tam giác ABC vuông tại B. CMR: a) ( ) ( ) ABCSAB b) ( ) ( ) ABCSAC c) ( ) ( ) SABSBC Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA=SC, SB=SD. â)Chứng minh rằng: ( ) ABCDSO b)Gọi I, K lần lợt là trung điểm các cạnh BA, BC.Chứng minh rằng: ( ) SBDIK c)Gọi ( ) là mp chứa IK và song song với SO. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) . Chứng tỏ: ( ) BD . Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA ( ) ABCDSA và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, với 2 AB DCAD == . Gọi I là trung điểm của AB. a)Chng minh SCDISB, CI . b)Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp S.ABCD l nhng tam giỏc vuụng. Bi 7. Cho t din ABCD cú ( ) BCDAB , trong tam giỏc BCD, v cỏc ng cao BE v DF ct nhau ti O. Trong mp( ADC), v ACDK ti K. a) Chng minh ( ) ( ) ABEADC , ( ) ( ) DFKADC b) Gi H l trc tõm tam giỏc ACD. Chng minh: ( ) ACDOH . Bi 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, tõm O. Cnh ( ) ABCDSA . Gi ( ) l mp qua A v vuụng gúc vi SC, ( ) ct SC ti I. a) Xỏc nh giao im K ca SO v ( ) . b) Chng minh: ( ) ( ) DSASBD . Chng minh BD // ( ) c) Tỡm thit din ca hỡnh chúp S.ABCD khi ct bi mp ( ) . 1 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. Bài 9. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Biết AB = CD = 2a; 3aMN = . Bài 10. Cho tứ diện đều ABCD, có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. a) Tính ( ) DMAB, b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính ( ) AGCD, Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạn bằng a, SC = a và ( ) ABCSC ⊥ . Tính ( SA, SC). Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB= a. ( ) ABCDSA ⊥ , SA= a. Tính ( SB, CD). Bài 13. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H, lấy S sao cho 2 3a SH = . Tính (SD, AC). Bài 14. Cho tam giác vuông cân ABC, cạnh huyền 22=AB . Trên đường vuông góc với mp(ABC) tại C, lấy điểm S sao cho: SC=1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Tính ( SE, CF). Bài 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều 111 CBABCA cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a . Tính góc giữa 1 AC và đường cao AH của tam giác ABC. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC, SB=SB. Tính góc giữa SO và mặt đáy. Bài 17. Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (BCD) là hai tam giác cân có chung đáy BC.; I là trung điểm của BC. Tính góc giữa BC và mp (ADI). Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có 2 6a SA = và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm của BC. Xác định góc giữa SI và (ABC). Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông , )(ABCDSA ⊥ . Kẻ đường cao AH của tam giác SAB, đường cao AK của tam giác SAC. Tính góc giữa SC và (AHK). Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a . SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa mặt (SCD) và ( ABCD). Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2a, BC= 3a . SA ( ) 2 , a SAABC =⊥ . Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa mp(SMC) và mp(ABC). Bài 22. Cho hình hộp đứng 1111 . DCBAABCD , có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc a bằng 0 30 , cạnh 2 3 A 1 a A = . Tính góc giữa ( ) 11 BDCA và ( ABCD). Bài tập 42, 43,45, 50. SBT. Trang 122, 123. 2 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh SA=h và vuông góc với mp (ABCD). Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a. SB và CD. b. SC và BD c. SC và AB. Bài 24. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau đây: a. OA và BC. b. AI và OC. Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh AB=a. Đường cao SO=a và ( ) ABCDSO ⊥ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB. Bài 26. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. a. Tính độ dài đường cao của hình chóp. b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: ( ) ( ) MBDSAC ⊥ Bài 27. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 0 60 và hình chiếu của A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm điểm H của B’C’. a) Tính khoảng cách hai đáy. b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’ c) Tính cotang của góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC). Bài 28. Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có cạnh đáy bằng a, cạnh 2 2a A'=A . Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. a) Chứng minh ( ) O'COAB ⊥ b) Tính d(AB, B’C). Bài 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Biết AB= a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 30. Cho hình chóp O.ABC có ( ) ABCOA ⊥ và OA=4, OB=7, BC=5, CA=8. Tính ( ) BCOd , . Các bài tập 6358 → . SBT. Trang 162. 3 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. Một số đề thi Đại học những năm qua. ĐH KD. 2002 . Cho tứ diện ABCD có ( ) ABCAD ⊥ , AC = AD = 4 cm; AB = 3m; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ A đến mp (BCD). ĐH KA. 2002. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). ĐH KB 2007. Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BDHN ⊥ và tính ( ) ACMNd , theo a. ĐH KB 2004. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ( ) 00 900 << ϕϕ . Tính tang của góc giữa (SAB) và ( ABCD). CĐ Xây Dựng 2005. Cho hình chóp S.ABCD có ABC là tam giác vuông cân AB= AC= a. ( ) 2 2 ; a SAABCSA =⊥ . Tính góc giữa (SBC) và (SAC). ĐH KB. 2003. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Háy tính AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. HVCTQG 2001. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và ( ) ABCSA ⊥ . Đặt SA= h. a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h. b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvvà H là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh SCOH ⊥ HVCNBCVT 2001. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ =a. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. b) Gọi M là điểm trên đoạn AD sao cho .3= MD AM Tính khoảng cách từ M đến mp ( ) CAB' . ĐH Đà Nẵng 2002. Cho tứ diện S. ABC có SC = CA = AB = 2a , ( ) ABCSC ⊥ , tam giác ABC vuông tại A, M thuộc cạnh SA và N thuộc cạnh BC sao cho AM = CN = t , ( ) at 2;0∈ . 4 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. a) Tính MN theo a và t. b) Tìm t để Mn ngắn nhất. c) Khi Mn ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và SA. ĐH Vinh KA,B 2001. Trong mp(P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC, B là điểm thuộc đường tròn (C). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp (P), lấy một điểm S, gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các đường thẳng SB và SC. a) chứng minh rằng các tam giác SBC, AHK là các tam giác vuông. b) Tính HK theo AC và BC. c) Xác định vị trí của B trên (C) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. CĐSP NTMGTW I. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đoạn AB. a) Đặt AM = m, ( ) am ;0∈ . Tìm giá trị của m theo a để góc giữa hai đường thẳng DM và AC’ bằng 0 60 b) Khi M là trung điểm của AB, hãy tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp (B’DM). ĐH Đà Lạt 2000. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ( ) ABCDSA ⊥ , AB=a, AD= b, SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. ĐH Huế 2000. Cho tứ diện SABC có ABC ∆ vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a và ( ) ABCSA ⊥ . a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính ( )( ) SBCOd , . HVCTQG TPHCM 2000. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông, . 2 1 aADBCAB === Cạnh bên 2aSA = và ( ) ABCDSA ⊥ . a.Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b.Lấy M thuộc cạnh BC, BM = x, ( ) ax ;0∈ . Gọi (P) là mp qua M sông song với SA và CD cắt AD, SD, SC lần lượt tại N, P, Q. Tính diện tích MNPQ theo a và x. ĐH NN I. KA.2000 Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên 5aSA = .Một mp(P) qua AB và vuông góc với mp(SCD). (P) lần lượt cắt SC và SD tại O’ và D’. Tính diện tích tứ giác ABC’D’. 5 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. HVQHQT KD. 2000. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với các cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, D’C’, C’C, AA’. a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi tứ giác MNPQ theo a. b) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a. ĐH KD. 2007. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc BAC = góc BAD = 0 90 . BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và .2aSA = Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD). 6 . không gian 11. Quan hệ vuông góc. Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh SA=h và vuông góc với mp (ABCD). Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a không gian 11. Quan hệ vuông góc. Bài 9. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Biết AB = CD = 2a; 3aMN = . Bài 10. Cho tứ diện. hình vuông cạnh 2a, cạnh bên 5aSA = .Một mp(P) qua AB và vuông góc với mp(SCD). (P) lần lượt cắt SC và SD tại O’ và D’. Tính diện tích tứ giác ABC’D’. 5 Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc. HVQHQT