PGD&ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2008 – 2009 THỜI GIAN 150 PHÚT Bài 1: (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2009x 2 + 2008x + 2009 Bài 2: (3 điểm) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 (y z) (x z) A y z x z + + = − + + , trong đó x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x > y; z > 0 và z 2 ≥ xy. Bài 3: (3 điểm) Cho a b≥ , ta có: a b 2009 a 2009 b ≥ + + . Chứng minh rằng x y x y 2009 x 2009 y 2009 x y − + ≥ + + + − với các số x, y bất kì. Bài 4: (3 điểm) Chứng minh 21 30 + 39 21 chia hết cho 45 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường phân giác AT. Gọi M là trung điểm của AB, đường vuông góc với AB ở M cắt AT tại N. Trên đường kéo dài AN lấy một điểm D sao cho N là trung điểm của AD. Gọi P là trung điểm của ND. Chứng minh: a) Tứ giác MNDB là hình thang vuông. b) Tam giác MPB cân. c) Tứ giác AMPC có tổng các góc đối bằng 0 180 Bài 6: (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB và một điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax lấy một điểm C, tia vuông góc với MC ở M cắt By tại D. a) Chứng minh AC. DB = MA.MB. b) Cho ba điểm A, B, C cố đònh, xác đònh vò trí của M để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trò lớn nhất. Giải: Bài 1: x 4 + 2009x 2 + 2008x + 2009 = x 4 - x + 2009x 2 + 2009x + 2009 = x(x -1)(x 2 + x + 1) + 2009(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 2009). Bài 2: 2 2 2 2 2 2 (y z) (x z) A y z x z + + = − + + = 1 + 2 2 2yz y z+ - 1 - 2 2 2xz x z+ = 2z 2 2 2 2 y x y z x z   −  ÷ + +   Nhận xét: 2z > 0 2 2 2 2 y x y z x z   −  ÷ + +   ≤ 0. Thật vậy: 2 2 2 2 y x y z x z   −  ÷ + +   ≤ 0 ⇔ y(x 2 + z 2 ) - x(y 2 + z 2 ) ≤ 0 ⇔ ( x - y)(xy - z 2 ) ≤ 0 (Luôn đúng vì x > y; z 2 ≥ xy) Vậy A ≤ 0. Hay giá trò lớn nhất của A là 0 khi z 2 = xy. Bài 3: x y x y x y 2009 x 2009 y 2009 x y 2009 x y 2009 x y + + ≥ + = + + + + + + + + = x y x y 2009 x y 2009 x y + + − = + + + + − Ta có x y x y+ − ≥ − nên theo gợi ý trên ta có x y x y 2009 x y 2009 x y + − − ≥ + + − + − suy ra x y x y 2009 x 2009 y 2009 x y − + ≥ + + + − . Bài 4: Ta có 21 M 3 ⇒ 21 30 M 9 và 39 M 3 ⇒ 39 21 M 9 Suy ra 21 30 + 39 21 c 9 (1) Ta có 21 30 ≡ 1 30 ≡ 1 (mod 5) và 39 21 ≡ (-1) 21 ≡ -1 (mod 5)Suy ra 21 30 + 39 21 ≡ 1 + (-1) ≡ 0 (mod 5) hay 21 30 + 39 21 M 5 (2) Lại có (9; 5) = 1 nên tứ (1) & (2) ⇒ 21 30 + 39 21 M 45. Bài 5: a) MN là đường trung bình của tam giác nên MN//BD Ta có · 0 BMN 90= Suy ra tứ giác MNDB là hình thang vuông. b) Gọi Q là trung điểm của MB Ta có QP là đường trung bình của hình thang MNDB nên PQ//MN mà MN ⊥ BM nên QP ⊥ BM. Do đó QP là đường trung trực của tam giác MPB ⇒ Tam giác MPB cân tại P. c) Tam giác MPB cân tại P ⇒ · · QMP QBP= mà · · ACP QBP= Suy ra · · 0 AMP ACP 180+ = từ đó suy ra · · 0 MAC MPC 180+ = Bài 6: a)AMC BDM ⇒ AC.DB = MA.MB b) AC.DB = MA.MB ⇒ BD = MA.MB AC Do MA + MB không đổi nên tích MA.MB đạt giá trò lớn nhất khi MA = MB. Ta có S ABCD = AB(AC BD) 2 + Do AB, AC không đổi nên S ABCD lớn nhất khi BD lớn nhất ⇔ M là trung điểm của AB. A B C M N T D Q P s A B M C D y x . PGD&ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 20 08 – 2009 THỜI GIAN 150 PHÚT Bài 1: (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2009x 2 + 2008x + 2009 Bài 2: (3. Tam giác MPB cân tại P ⇒ · · QMP QBP= mà · · ACP QBP= Suy ra · · 0 AMP ACP 180 + = từ đó suy ra · · 0 MAC MPC 180 + = Bài 6: a)AMC BDM ⇒ AC.DB = MA.MB b) AC.DB = MA.MB ⇒ BD = MA.MB AC . vò trí của M để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trò lớn nhất. Giải: Bài 1: x 4 + 2009x 2 + 2008x + 2009 = x 4 - x + 2009x 2 + 2009x + 2009 = x(x -1)(x 2 + x + 1) + 2009(x 2 + x + 1) = (x 2