Chương 4. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton. Nó là cơ sở của rất nhiều chuyên ngành khác của vật lý và hóa học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt. Khái niệm lượng tử để chỉ một số đại lượng vật lý như năng lượng không liên tục mà rời rạc. Cơ học lượng tử là một lý thuyết về cơ học, một nhánh của vật lý nghiên cứu về chuyển động của các vật thể và các đại lượng vật lý liên quan như năng lượng và mô men. Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Các hiện tượng này bao gồm các hiện tượng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ hơn (hạ nguyên tử). Cơ học Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững đến thế, hoặc không thể giải thích được một số hiện tượng vĩ mô như siêu dẫn, siêu chảy. Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn. Việc cơ học lượng tử rút về cơ học cổ điển được biết với cái tên nguyên lý tương ứng. Cơ học lượng tử có thể được kết hợp với thuyết tương đối để tạo nên cơ học lượng tử tương đối tính, để đối lập với cơ học lượng tử phi tương đối tính khi không tính đến tính tương đối của các vật thể. 4.1. TÍNH SÓNG HẠT CỦA PHOTON Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng đã được Einstein nêu lên trong thuyết photon: Ánh sáng được cấu tạo bởi các hạt photon, có năng lượng W = hγ động lượng λ h p = .Từ các hệ thức này ta thấy có sự liên hệ giữa những đại lượng đặc trưng cho tính sóng ( γ , λ ) và đại lượng đặc trưng cho tính hạt (W, p), trên cơ sở này ta biểu thị hàm sóng phẳng ánh sáng qua năng lượng và động lượng của hạt photon tương ứng với sóng đó: Bởi lẽ khi nói đến sóng chúng ta liên tưởng ngay đến những sóng nước xuất hiện trên mặt hồ ao khi có gió nhẹ hoặc là những sóng rung động trên các dây đàn. Tuy nhiên dù bản chất thế nào đi nữa thì sự truyền sóng trong môi trường cũng theo những qui luật hoàn toàn giống nhau. Thật vậy hãy xét sóng đơn giản nhất đó là sóng phẳng đơn sắc (còn gọi là sóng điều hòa). Nếu dao động tại 0 là: taX o πγ 2cos 0 = thì biểu thức tại M có dạng:       −= c d taX oM πγ 2cos       −= λ γπ d ta o 2cos (4.1) Nếu sóng lan truyền theo phương n bất kì (n vectơ đơn vị trên phương ấy) thì biểu thức của sóng ở một điểm r trong không gian là:       −= λ γπ nr tau o   2cos (4.2) Trong hai biểu thức trên, người ta cũng có thể dùng hàm sin thay cho hàm cos. Tổng quát và tiện lợi hơn người ta gộp hai biểu thức phức căn cứ vào hệ thức Euler. 44             −±       −= λ γπ λ γπ nr ti nr tau o     2sin2cos             −±= λ γπ nr tiau o   2exp (4.3) Ta cũng có thể viết hàm sóng chỉ lấy dấu –       −− = λ γπ ψ nr ti ea o  2 (4.4) (4.4) phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của sóng như tần số và bước sóng. Ta có thể biểu diễn với các đại lượng đặc trưng của hạt:  W h W == π πγ 2 2 34 10.05,1 2 − == π h  Js       −− = rpWt i ea o   ψ (4.5) Nếu dùng khái niệm vectơ sóng k  là vectơ nằm theo phương, chiều truyền sóng và có trị số λ π 2 = k ; khi đó kp    = và hàm sóng phẳng đơn sắc:         −− = rkti ea o   ω ψ (4.6) 4.2. TÍNH SÓNG HẠT CỦA VẬT THỂ VI MÔ - GIẢ THUYẾT DE BROGLIE. Lưỡng tính sóng - hạt. Năm 1923, Louis de Broglie đã phát biểu rằng các hạt vật chất cũng có những tính chất sóng và rằng sóng điện từ cũng thể hiện những tính chất của các hạt dưới dạng các quang tử. Ông đã phát triển các công thức toán học cho tính lưỡng tính này, trong đó có một công thức mà sau này gọi là bước sóng de Broglie cho các hạt chuyển động. Các thí nghiệm ban đầu của Davisson đã chỉ ra rằng thực ra các điện tử thể hiện tính chất phản xạ giống như các sóng khi đập vào một tinh thể và các thí nghiệm này được lặp lại nhiều lần chứng minh giả thiết lưỡng tính của de Broglie. Một thời gian sau George Paget Thomson đã đưa ra nhiều thí nghiệm đã được cải tiến rất nhiều cho biết hiện tượng tán xạ khi các điện tử năng lượng cao đi sâu vào trong các tấm kim loại. Erwin Schrödinger phát triển thêm ý tưởng của de Broglie và viết một bài báo cơ bản về Lượng tử hóa như là một bài toán trị riêng vào đầu năm 1926. Ông đã tạo ra một cái gọi là cơ học sóng. Nhưng một năm trước đó Werner Heisenberg đã bắt đầu một phương pháp toán học hoàn toán khác gọi là cơ học ma trận và bằng cách đó ông cũng thu được các kết quả tương tự như các kết quả mà Schrödinger đưa ra sau đó. Lý thuyết này cũng ngụ ý rằng có những giới hạn tự nhiên trong việc xác định chính xác đồng thời các đại lượng vật lý: Hệ thức bất định Heisenberg. De Broglie đưa ra giả thiết cho rằng lưỡng tính sóng hạt không phải là một cái gì đặc biệt cho hiện tượng quang học mà có tính chất phổ biến, nghĩa là bất kì một hạt vật chất nào cũng vừa là hạt cũng vừa là sóng. 45 Những lí luận sau đây dẫn ông tới kết luận ấy: Từ đầu thế kỷ XIX Hamilton đã nêu lên sự tương tự giữa quang hình học và cơ học Newton. Những định luật cơ bản của hai môn đó có thể diễn tả dưới dạng toán học đồng nhất… Để tìm chuyển động của một hạt trong trường thế năng v(x,y.z) ta có thể dùng kết quả của bài toán về đường đi của ánh sáng trong môi trường không đồng chất có chiết suất n(x,y,z) chọn thích hợp và ngược lại. Nhưng ta đã biết quang hình không giải thích được các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ…. Quang lý coi ánh sáng là sóng có thể giải thích được các hiện tượng này và quang hình học là trường hợp giới hạn của quang lý. Mặt khác cơ học cổ điển không giải thích được các hiện tượng như quang phổ vạch. De Broglie cho rằng tương tự như quang lý tức là quang học sóng phải có cơ học sóng tổng quát hơn cơ học cổ điển và cắt nghĩa được chuyển động của các hạt vi mô ngoài tính chất hạt ra còn có tính chất sóng. Phát biểu: Một vi hạt tự do tùy ý có năng lượng xác định, động lượng xác định tương ứng một sóng phẳng đơn sắc: a. Năng lượng vi hạt liên hệ tần số dao động của sóng tương ứng theo hệ thức γ hW = (4.7) b. Động lượng p của vi hạt liên hệ với bước sóng λ của sóng tương ứng theo hệ thức: λ h p = hay kp    = (4.8) Với p h = λ : bước sóng de Broglie Giả thuyết về bước sóng de Broglie đã được Davison và Jecmer làm thí nghiệm vào năm 1929 khi hai tác giả này quan sát thấy hiện tượng nhiễu xạ của điện tử, thí nghiệm này đặt nền móng vững chắc cho giả thuyết. 4.3. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 4.3.1. Hệ thức Heisenberg. Quan sát vết của electron, hạt α … trong buồng Wilson, người ta cho rằng đó là các hạt theo nghĩa thông thường (có quĩ đạo xác định). Mặt khác các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ lại chứng tỏ rằng các hạt ấy có tính chất sóng. Rõ ràng lưỡng tính sóng hạt của các hạt vi mô không cho phép ta gán cho chúng toàn bộ những tính chất của hạt hay của sóng. Phải có một giới hạn nào đó cho việc áp dụng vào các vật vi mô những khái niệm đặc trưng cho các hạt trong cơ học cổ điển. Trong cơ học cổ điển trạng thái của các hạt một thời điểm được đặc trưng bằng một vị trí nhất định trong không gian và một động lượng nhất định. Vị trí và động lượng ấy có thể đồng thời xác định một cách chính xác. Vì hạt vi mô có tính chất sóng nên không thể đặc trưng trạng thái của nó như vậy được. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp có thể diễn tả hạt vi mô một cách gần đúng bằng những khái niệm vị trí và động lượng cổ điển. Mức độ thích hợp của những khái niệm này được xác định bởi những hệ thức được gọi là hệ thức bất định. 46 x E M 0 ϕ I 0 y Hình 4.1. Chùm electron chuyển động theo phương 0y với vận tốc v, trên màn chắn M có khe rộng b đặt vuông góc với chùm tia. Trên màn E quan sát thấy hiện tượng nhiễu xạ, tương tự như nhiễu xạ ánh sáng qua khe hẹp. Sự phân bố cường độ nhiễu xạ l( ϕ ) được biểu diễn hình 4.1 cực đại bậc 0 ứng với góc nhiễu xạ ϕ = 0, cực tiểu thứ nhất ứng với b λ ϕ =sin , λ - bước sóng electron. Đại bộ phận cường độ nhiễu xạ tập trung ở cực đại giữa nên ta có thể bỏ qua các cực đại ở hai bên. Nếu quan niệm electron dưới dạng các hạt cơ học thì ta phải nói các hạt có vận tốc v bay theo hướng 0y đến khe. Lúc qua khe tọa độ x được xác định trong khoảng từ 0 đến b. bx ≤≤ 0 Nói cách khác, vị trí của hạt trong khe được xác định với độ bất định: bx ≈∆ (4.9) Sau khe có nhiễu xạ nghĩa là vận tốc của hạt không song song với oy mà có thành phần theo ox. Do đó động lượng p x = 0 khi electron chưa qua khe, bây giờ có giá trị nằm trong khoảng: b ppp x λ ϕ =≤≤ sin0 Có thể lấy khoảng giá trị ấy làm bậc lớn độ bất định về p x : b h b h b pp x ==≈∆ λ λ λ . (4.10) Do đó: hxp x ≈∆∆ . Tương tự: hyp y ≈∆∆ . (4.11) hzp z ≈∆∆ . 4.3.2. Ý nghĩa của hệ thức Heisenberg. 4.3.2.1. Các hệ thức (4.11) chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không xác định đồng thời. Vị trí càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại. Thí dụ: Trong nguyên tử, electron chuyển động trong phạm vi 10 -10 m (kích thước nguyên tử) như vậy độ bất định về vị trí ∆ x = 10 -10 m, do đó độ bất định về vận tốc: 47 ∆v x khá lớn: electron không có vận tốc xác định nghĩa là electron không chuyển động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ trong thế giới vi mô khái niệm quỹ đạo các vi hạt không có ý nghĩa. 4.3.2.2. Về nguyên tắc hệ thức bất định áp dụng cho mọi hạt nhưng đối với các hạt vĩ mô thông thường giới hạn chính xác mà hệ thức bất định nêu lên vượt rất xa giới hạn chính xác các dụng cụ đo lường tối tân nhất có thể đạt được cho nên trong thực tế không cần chú ý đến hệ thức bất định khi xét chuyển động của các hạt vĩ mô. 4.3.3. Hệ thức bất định đối với năng lượng. Ngoài các hệ thức bất định trên, trong cơ học lượng tử người ta còn tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng W và thời gian t. htW ≈∆∆ . (4.12) Nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại. Tóm lại trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền còn trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền. 4.4. HÀM SÓNG – Ý NGHĨA XÁC SUẤT CỦA HÀM SÓNG 4.4.1. Hàm sóng. Để mô tả trạng thái chuyển động của vi hạt ta dùng khái niệm hàm sóng. Theo giả thuyết de Broglie, chuyển động của hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng, tương tự như sóng phẳng ánh sáng đơn sắc. ( ) rkti e   −− = ω ψψ 0 (4.13) ψ 0 : biên độ sóng được xác định bởi: * 2 2 0 ψψψψ == ψ ∗ : liên hợp phức của ψ (4.13) gọi là sóng de Broglie còn nói chung với các hạt vi mô chuyển động trong trường thế hàm sóng của nó là một hàm phức tạp của tọa độ r và thời gian t. 4.4.2. Ý nghĩa xác suất của hàm sóng. Trên đây ta nói rằng electron có lưỡng tính sóng hạt giống như ánh sáng vừa là sóng điện từ vừa là photon. Nhưng sóng electron (sóng de Broglie nói chung) về bản chất khác hẳn sóng điện từ. Sóng điện từ là sóng thực sinh ra do dao động của các đại lượng vật lí thật – vectơ E và H - lan truyền trong không gian thật, còn sóng de Broglie không diễn tả sự lan truyền dao động vật lí thực nào. Tuy nhiên về lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng (sóng điện từ – photon) cũng như các hạt khác (sóng de Broglie - electron) phải có nội dung thống nhất, nên ta có thể tìm hiểu ý nghĩa của hàm sóng de Broglie bằng cách đối chiếu các hệ quả của nó với sóng điện từ. Với cách giải thích hiện tượng nhiễu xạ: 48 )/(10.7 10.1,9.10 10.22,6 . 6 3110 34 sm mx h m P v x x == ∆ ≈ ∆ =∆ −− − ( ) ( ) tzyxtr ,,,, ψψ =  - Trên quan điểm sóng, theo đó cường độ nhiễu xạ tại một điểm trên màn quan sát tỉ lệ với bình phương hàm sóng (biên độ dao động) tại điểm ấy: I ~ a 0 2 . - Trên quan điểm hạt, cường độ nhiễu xạ tại một điểm nào đó trên màn tỉ lệ với số photon có khả năng đập vào điểm ấy trong một đơn vị thời gian. - Mở rộng cho sóng de Broglie, |ψ| 2 tại một điểm nào đó tỉ lệ với số electron có khả năng đập vào điểm ấy trong một đơn vị thời gian. Tuy nhiên tính chất sóng de Broglie không những chỉ có ở những chùm chứa nhiều electron, chuyển động của từng electron riêng rẽ cũng mang tính chất sóng. Cho nên sự kiện quan sát hình ảnh nhiễu xạ trên màn chỉ có thể đoán nhận một cách thống kê. (Bởi vì người ta chụp được hình ảnh nhiễu xạ gây nên bởi dòng electron rất yếu đi qua bột tinh thể litium (Li) cũng giống như ảnh nhiễu xạ chùm nhiều electron đồng thời qua tinh thể). Từng hạt riêng rẻ rơi vào điểm nào đó trên màn quan sát đó là hiện tượng ngẫu nhiên, nhưng sau khi đếm số lớn hạt lần lượt đi qua tinh thể thì hình thành một qui luật cường độ nhiễu xạ tại một điểm (số hạt có khả năng đập vào điểm ấy) tỉ lệ với bình phương hàm sóng de Broglie tại điểm ấy. Nói cách khác bình phương hàm sóng de Broglie tại một điểm tỉ lệ với xác suất tìm thấy electron tại điểm ấy. Kết quả được chính xác hoá thêm về phương diện toán học. Xét quanh điểm M (x,y,z) mọi yếu tố thể tích dV = dx.dy.dz khi đó: Biểu diễn xác suất tìm thấy trong yếu tố thể tích dV quanh M(x,y,z). Từ đó, đại lượng |ψ(xyz)| 2 = ψ.ψ ∗ biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích đơn vị bao quanh M. Khi tìm trong toàn bộ không gian, chúng ta chắc chắn sẽ tìm thấy hạt, nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn bộ không gian sẽ là: ∫∫∫ = V dV 1 2 ψ (4.14) (4.14): Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng. Tóm lại trạng thái của một hạt được mô tả bởi hàm sóng ψ và |ψ| 2 biểu diễn mật độ xác suất tìm hạt tại trạng thái đó. Hàm sóng ψ không mô tả một sóng thực nào trong không gian mà chủ yếu cho phép ta tính xác suất tìm thấy hạt tại một trạng thái nào đó. Nói cách khác hàm sóng mang tính thống kê. 4.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER – VI HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU - DAO TỬ ĐIỀU HÒA – HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM 4.5.1. Phương trình Schrodinger. Trong cơ học cổ điển các hạt được xác định bởi vị trí và vận tốc, phương trình chuyển động là phương trình liên hệ sự biến thiên các đại lượng đó, chẳng hạn F = m.a Trong cơ học lượng tử người ta sử dụng hàm sóng ψ, muốn tìm qui luật chuyển động của hạt vi mô ta phải tìm phương trình xác định hàm sóng đó. Hàm sóng de Broglie       −−= )(exp),( 0 rpWt i tr    ψψ (4.15) Mô tả vi hạt chuyển động tự do có năng lượng W, động lượng p. 49 ( ) ( ) ( ) dzdydxxyzxyzdVzyx ,, 2 ∗ = ψψψ       −=       −= Wt i zyxWt i rtr   exp),,(exp)(),( ψψψ (4.16) Trong đó:       ++−=       −= )(expexp),,( 00 zpypxp i rp i zyx zyx    ψψψ (4.17) Nếu hạt chuyển động trong trường lực không phụ thuộc thời gian ở trạng thái có năng lượng bảo toàn (trạng thái dừng) thì phần phụ thuộc thời gian vẫn như ở (4.16) nhưng phần không phụ thuộc tời gian sẽ không giống (4.17). Áp dụng toán tử laplace ∆ cho hàm ψ(x,y,z) ở (4.17). Ta sẽ có: ( ) ( ) rP i zPyPxP i P i x xzyxx   ψψ ψ =++= ∂ ∂ exp 0 ( ) rP x x   ψ ψ 2 22 2 1 −= ∂ ∂ Tương tự cho: Đối với hạt chuyền động tự do thì năng lượng W chính là động năng: m pmv WW d 22 22 === hay d mWp 2 2 = 0)( 2 )( 2 =+∆ rW m r d    ψψ (4.19) (4.19) là phương trình Schrodinger đối với hạt tự do. Trong trường hợp hạt chuyển động trong trường thế U(r) thì năng lượng bây giờ bằng tổng động năng W đ và thế năng U(r). W = W đ + U(r) Ta suy rộng phương trình (4.19) cho trường hợp hạt không tự do bằng cách thay W đ = W - U(r ); phương trình có dạng: [ ] 0)()( 2 )( 2 =−+∆ rrUW m r    ψψ (4.20) Biết dạng cụ thể của U(r) giải phương trình trên tìm được ψ(r) và W nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Nói cách khác phương trình Schrodinger mô tả chuyển động của vi hạt. Đây là một phương trình tuyến tính. 50 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rmvrPrPPPr zy zy x        ψψψψ ψψ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 111 & −=−=++−=∆ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.18) 4.5.2. Vi hạt trong hố thế một chiều. Xét chuyển động của hạt theo phương x, hố thế được biểu diễn hình 4.2 U = 0, khi 0 < x < a U = ∞ , khi x ≤ 0 và x ≥ 0 Hố thế có thành cao như vậy còn gọi là giếng thế năng, khi hạt bị rơi vào thì nó chỉ có thể chuyển động tự do trong giếng mà không thể vượt ra ngoài giếng. 0 a x - Theo cơ học cổ điển: hạt không thể ra ngoài giếng thế được vì khi đó phải tốn một công vô hạn. Hình 4.2. Trong giếng thế hạt chuyển động tự do nếu bỏ qua những va chạm đàn hồi ở hai thành. - Theo cơ học lượng tử: trạng thái của hạt trong giếng được xác định bởi hàm sóng là nghiệm của phương trình Schrodinger (4.19) 0 2 2 =+∆ ψψ W m  Vì hạt chuyển động theo phương x, nên đặt: 2 2 2 k mW =  ψ’’ + k 2 ψ = 0 (4.21) Nghiệm tổng quát của (4.21) là: ψ = A.sin kx + B.coskx (4.22) A, B là hằng số xác định từ điều kiện bài toán, vì hạt chỉ ở trong giếng nên xác suất tìm hạt ngoài giếng x ≤ 0, x ≥ a bằng không, nghĩa là hàm sóng ngoài giếng bằng không. Từ điều kiện hàm sóng, ta có: ψ(0) = ψ(a) = 0 ψ(0) = B = 0 ψ(a) = A.sin ka = 0 Vì B = 0 nên không thể giả thiết A = 0 (chỉ có nghiệm tầm thường) do đó: sinka = 0 hay: a n k π = , n = 1, 2, 3, … Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn (4.14) vì hạt nằm trong giếng nên tích phân trong điều kiện chuẩn lấy cận từ 0 đến a: ∫ = a dxx 0 2 1)( ψ ∫ =⇒= a a Axdx a n A 0 22 2 1sin π Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn. x a n a x n π ψ sin 2 )( = (4.23) Từ biểu thức 2 2 2 k mW =  và a n k π = ; ta suy ra năng lượng của hạt: 51 ∞ ∞ 2 2 22 2 n ma W n  π = (4.24) Kết luận: a. Mỗi trạng thái ứng với một hàm sóng ψ n (x) b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên một cách gián đoạn ta nói năng lượng bị lượng tử hoá. Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n, n+1 bằng: ∆ W n = W n+1 - W n = )12( 2 2 22 +n ma  π (4.25) ∆W tăng khi a và m giảm nghĩa là hạt ở trong phạm vi kích thước nhỏ và hạt có khối lượng nhỏ. c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng. x a n a x n π ψ 2 2 sin 2 )( = (4.26) n = 1 là xác suất tìm thấy hạt ở tại điểm x = a/2 là lớn nhất. n = 2 là xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất .v.v |ψ 0 (x)| 2 W W 3 n = 3 W 2 n = 2 W 1 n = 1 0 a x 0 a/2 a x Hình 4.3. Hình 4.4. 4.5.3. Hiệu ứng đường ngầm. Coi trường hợp hạt mang năng lượng W chuyển động theo phương x từ trái sang phải đến đập vào hàng rào thế năng hình 4.5. 52 U U U Max U 0 I II III W 0 a x 0 a x Hình 4.5. Hình 4.6. U 0 : chiều cao của hàng rào; U max > U o a: bề rộng của hàng rào - Theo cơ học cổ điển năng lượng của hạt W < U max hạt không thể vượt qua hàng rào, bị phản xạ hoàn toàn ở giới hạn trước hàng rào. Hạt có thể qua hàng rào khi W > U max . - Theo quan điểm cơ học lượng tử khi năng lượng W < U max hạt vẫn có khả năng xuyên qua hàng rào thế: Hiện tượng xuyên qua hàng rào thế năng gọi là hiệu ứng đường hầm. Xét trường hợp hàng rào thế năng có dạng đơn giản hình 4.6. Hạt chuyển động trên đường thẳng dưới tác dụng của lực có thế năng U(x) U(x) = 0 khi x ≤ 0 : miền I U(x) = U 0 khi 0 < x < a : miền II U(x) = 0 khi x ≥ a : miền III Phương trình Schrodinger mô tả trạng thái có dạng sau: Khi x ≤ 0 : 0 2 22 2 =+ I I mW dx d ψ ψ  Khi 0 < x < a : 0 )(2 2 0 2 2 = − + II II UWm dx d ψ ψ  (4.27) Khi x ≥ a : 0 2 22 2 =+ III III mW dx d ψ ψ  Xét trường hợp W < U 0 , đặt 2 2 1 2  mW k = ; 2 0 2 2 )(2  WUm k − = Nghiệm của (4.27) sẽ có dạng: xikxik I Aeex 11 )( − += ψ xkxk II CeBex 22 )( − += ψ )( 1 )( axik III Dex − = ψ III ψ không có số hạng có dạng xik e 1 − vì không có sóng phản xạ. xik e 1 và xik Ae 1 − đặc trưng cho sóng tới và phản xạ tại bờ x = 0. D )( 1 axik e − đặc trưng cho sóng truyền qua hàng rào. Ta chọn hệ số chuẩn hóa bên cạnh số hạng xik e 1 là 1. 53 (4.28) [...]... −W ) 16n 2 2 T= D = e h (4.30) (1 + n 2 ) 2 n= U0 −W k2 = k1 W 4.5.4 Dao tử điều hòa Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x, dưới tác dụng của lực F = -kx Theo cơ học cổ điển, vật sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng x = 0 Vì vậy ta gọi hạt như trên là dao tử điều hòa Phương trình dao động tử điều hòa theo cơ học cổ điển: mx ′′ = F hay x ′′ + k k x = 0 , đặt = ω 2 m m Nghiệm có... + ϕ ) 2 2 1 2 1 U = kx = ma 2ω 2 cos 2 (ωt + ϕ ) Thế năng bằng: 2 2 1 2 2 Năng lượng toàn phần của hạt bằng: W = ma ω 2 Ứng với mỗi giá trị của ω , năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận 2 với a Bây giờ ta viết phương trình dao động theo cơ học lượng tử, tức là phương trình Schrodinger đối với dao động tử Áp dụng (4.20) và chú ý hạt chuyển động trên đường thẳng: ∂ 2ψ n ( x ) 2m ... mức năng lượng (n là số 2 nguyên dương) 54 ψn là nghiệm ứng với mức năng lượng Wn Đây là phương trình vi phân hạng 2 có hệ số thay đổi Giải phương trình này ta có thể tìm thấy nghiệm ψn(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điều kiện Từ các điều kiện đó có thể suy ra rằng giá trị năng lượng W n có biểu thức: 1 Wn =  ω ( n + ) với n = 0, 1, 2, … (4.42) 2 Như vậy năng lượng của... trị năng lượng W n có biểu thức: 1 Wn =  ω ( n + ) với n = 0, 1, 2, … (4.42) 2 Như vậy năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn, giá trị nhỏ 1 nhất bằng:  ω 2 Ta có thể tìm biểu thức của ψn(x) tức là hàm sóng biểu diễn trạng thái của dao động tử điều hòa ứng với mức năng lượng thứ n: Sau đây là một vài biểu thức cụ thể: ψ 0 ( x) = mω  π mω e − mω 2 x 2 (4.43) mω mω − 2  x 2 ψ 0... mω mω − 2  x 2 ψ 0 ( x) = 2 e 2 π  (4.44) Nhiều hệ vật lý có phương trình chuyển động tương tự như phương trình chuyển động của hệ nhiều dao động tử điều hòa có tương tác yếu với nhau Nếu bỏ qua tương tác thì có thể coi hệ ấy như tập hợp nhiều dao tử điều hòa độc lập mà ta vừa xét 55 . Chương 4. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton. Nó là cơ sở của rất nhiều chuyên. của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn. Việc cơ học lượng tử rút về cơ học cổ điển được biết với cái tên nguyên lý tương ứng. Cơ học lượng tử. vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt. Khái niệm lượng tử để chỉ một số đại lượng vật lý như năng lượng không liên tục mà rời rạc. Cơ học lượng tử là một lý thuyết về cơ học, một nhánh của