http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 11 Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn , phải xác đònh hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác đònh 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n càng lớn, vì vậy phương pháp này ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. 8.4 XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN) ♦ Phần trước, đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực ( CH. 2): ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = q dz Md Q dz dM q dz dQ x x 2 2 (a) ♦ Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm , cũng có phương trình vi phân: x x EJ M dz yd −= 2 2 (b) Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau: y 'y dz dy = x x EJ M y dz yd −== '' 2 2 M x Q dz dM x = q dz Md x = 2 2 Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần hàm số x x EJ M Tương tự muốn có lực cắt Q y và mômen uốn M x thì phải tích phân liên tiếp hai lần hàm số tải trọng q. Tuy nhiên ở phần trước ( CH.2), ta đã tính lực cắt Q y và mômen uốn M x theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng. http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 12 Như vậy, cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y theo hàm y”=- x x EJ M mà không cần tích phân. Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả tạo. ♦ Phương pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng một dầm giả tạo (DGT) có chiều dài giống dầm thực (DT), trên DGT có tải trọng giả tạo gt q giống như biểu đồ x x EJ M − trên dầm thật, thì sẽ có sự tương đương: gt x x q EJ M y =−='' ; y’ =Q gt ; y = M gt trong đó: gt q - Tải trọng giả tạo Q gt - Lực cắt giả tạo- Lực cắt trong DGT gt M - Mômen giả tạo- Mômen uốn trong DGT ⇒ Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (DT) (dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Q gt và mômen uốn M gt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra. Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn M gt thì điều kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Q gt ; y = M gt tại bất kỳ điểm trên hai DT và DGT; Ngoài ra nếu xét tại điểm bất kỳ trên dầm phải khảo sát đến sự giống nhau của bước nhảy góc xoay y ′ Δ và bước nhảy lực cắt gt QΔ . ♦ Cách chọn dầm giả tạo (DGT) DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho q gt không gây ra M gt và Q gt . Chiều dài của DT và DGT là như nhau. Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp. http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 13 ♦ Cách tìm tải trọng giả tạo q gt Vì x gt EJ Mx q −= , nên q gt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn M x . Do đó: - Nếu: M x > 0 thì q gt < 0, nghóa là nếu biểu đồ M x nằm phía dưới trục hoành (theo qui ước M x > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì q gt hướng xuống - Nếu: M x < 0 thì q gt hướng lên. ⇔ q gt luôn có chiều hướng theo thớ căng của biểu đồ mô men M x Bảng 8.1 Dầm thực Dầm giả tạo A B M gt = 0 Q gt = 0 M gt ≠ 0 Q gt ≠ 0 A B y = 0 ϕ = 0 y ≠ 0 ϕ ≠ 0 A B y = 0 ϕ ≠ 0 y = 0 ϕ ≠ 0 A B M gt = 0 Q gt ≠ 0 M gt = 0 Q gt ≠ 0 A B M gt ≠ 0 Q gt ≠ 0 M gt = 0 Q gt ≠ 0 M gt = 0 Q gt ≠ 0 Q tr = Q ph A B y ≠ 0 ϕ ≠ 0 y = 0 ϕ ≠ 0 y = 0 ϕ ≠ 0 ϕ tr = ϕ ph A D y ≠ 0 ϕ ≠ 0 y ≠ 0 ϕ ≠ 0 B C y = 0 ϕ ≠ 0 y = 0 ϕ ≠ 0 A D B C M gt ≠ 0 Q gt ≠ 0 M gt = 0 Q gt ≠ 0 M gt = 0 Q gt ≠ 0 M gt ≠ 0 Q gt ≠ 0 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 14 Ngoài ra trong quá trình tính các nội lực M gt , Q gt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố q gt trên các chiều dài khác nhau. Do đó, để tiện lợi ta xác đònh vò trí trọng tâm và diện tích Ω của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới đây Bảng 8.2 Vò trí trọng tâm Hình vẽ Diện tích ( Ω ) x 1 x 2 2 Lh 3 L 3 2L 3 Lh 4 L 4 3L 1 + n Lh 2 + n L () 2 1 + + n nL 3 2Lh 8 3L 8 5L 3 2Lh 2 L 2 L Thí dụ 8.5 Tính độ võng và góc xoay ở A L B q 2 2 qL x EI qL 2 2 M x DGT a) b) c) H. 8.10 h x 1 x 2 L C h x 1 x 2 L C Bậc 2 đỉnh h x 1 x 2 L C Bậc n đỉnh h x 1 x 2 L C Bậc 2 đỉnh h x 1 x 2 L C đỉnh http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 15 đầu tự do B của dầm công xon chòu tải trọng phân bố đều q (H.8.10a). Độ cứng của dầm EJ x = const Giải. + Biểu đồ mômen uốn M x của DTcóù dạng đường bậc 2 được vẽ trên H.810b. + DGT tương ứng với lực phân bố q gt như H.8.10c. + Độ võng và góc xoay tại B của DT chính bằng mômen uốn M gt và lực cắt Q gt tại B của DGT.Dùng mặt cắt ở sát B của dầm giả tạo, tính nội lực ở mặt cắt ngang này và được: ; 623 1 32 xx B gtB EJ qL L EJ qL Q =××== ϕ xx B gtB EJ qL LL EJ qL My 84 3 23 1 42 =×××== Thí dụ 8.6 Tính độ võng và góc xoay tại C của dầm cho trên H.8.11a. Đoạn dầm AB có độ cứng 2EJ, đoạn dầm BC có độ cứng EJ. Giải. + Biểu đồ mômen uốn được vẽ trên H.8.11b. Để dễ dàng trong việc tính toán ta phân tích M x thành tổng của các biểu đồ mômen uốn có dạng đơn giản như H.8.11c. + DGT với lực q gt như H.8.11d. (chú ý là độ cứng trong AB và BC khác nhau). + Tính nội lực ở C của DGT. x 3L L B gt V H. 8.11 q L 2 8 9 2 qL M b) A B C S 2 qL a) 8 2 9qL qL 2 c) x E J qL 2 x E J qL 2 2 C d) B gt V e) x E J 9qL 16 2 x E J qL 2 2 x E J qL http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 16 Chia DGTthành hai DGT như H.8.11e, phản lực ở B của DGT AB là: x B gt EJ qL V 3 16 1 = Phản lực này tác dụng lên DGT BC và dễ dàng tính được: xxx C gt xxx C gt EJ qL L EJ qL LL EJ qL M EJ qL EJ qL L EJ qL Q 423 323 48 13 3 2 2 1 16 1 16 7 2 1 16 1 =+−= +=+−= ⇒ độ võng và góc xoay tại C của DT y C = C gt M = x EJ qL 4 48 13 ; ϕ C = = C gt Q x EJ qL 3 16 7 8.5 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự các bài toán về thanh chòu kéo, nén đúng tâm, ta còn có các BTST về uốn. Đó là các bài toán mà ta không thể xác đònh toàn bộ nội lực hoặc phản lực chỉ với các phương trình cân bằng tónh học, vì số ẩn số phải tìm của bài toán lớn hơn số phương tónh cân bằng tónh học có được. Để giải được các BTST, cần tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng của dầm. Xét cụ thể thí dụ sau: Thí dụ 8.6 Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm như H.8.12a. Biết EJ = hằng số. Giải. + Dầm đã cho có bốn phản lực cần tìm (ba ở ngàm A và một ở gối tựa B). Ta chỉ có ba phương trình cân bằng tónh học, nên cần tìm thêm một phương trình phụ về điều kiện biến dạng của dầm. + Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay vào đó một phản lực V B (H.8.12b), ta được một hệ mới. Hệ này chỉ có thể làm việc giống như hệ trên khi V B phải có trò số và chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q và V B sinh ra, phải bằng không ⇔ Điều kiện biến dạng ( chuyển vò): y B (q, V B ) = 0 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Chưong 8: Chuyển vò của dầm chòu uốn 17 + Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một phương pháp khác). Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.12b do tải trọng q và phản lực V B gây ra vẽ như H.8.12c,d, DGT và q gt như H.8.12 e, g. Ta có: Độ võng y B của hệ 8.12b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT y B = M B gt = 3 1 L EJ qL 2 2 4 3 × L – 2 1 L EJ L V B 3 2 × L Điều kiện độ võng y B = 0, ⇒ V B = 8 3 qL Sau khi tìm được V B , dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã cho như H.8.12 i, k. 7.4. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN 1. Nội dung phương pháp M x B q qLV B 8 3 = qL 8 5 qL 8 3 2 8 1 qL 128 9 2 qL Q y h) i) k) L a) 2 2 qL c) d) B q A B q V B b) V B L . =−='' ; y’ =Q gt ; y = M gt trong đó: gt q - Tải trọng giả tạo Q gt - Lực cắt giả tạo- Lực cắt trong DGT gt M - Mômen giả tạo- Mômen uốn trong DGT ⇒ Muốn tính góc xoay y’ và. M x . Do đó: - Nếu: M x > 0 thì q gt < 0, nghóa là nếu biểu đồ M x nằm phía dưới trục hoành (theo qui ước M x > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì q gt hướng xuống - Nếu: M x <. Chuyển vò của dầm chòu uốn 12 Như vậy, cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y theo hàm y” =- x x EJ M mà không cần tích phân. Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả tạo. ♦ Phương