CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A. Yêu cầu ôn luyện. 1. Các khái niệm cơ bản. • Toạ độ của véc tơ và của điểm. • Các công thức toạ độ của các phép toán véc tơ, tích vô hướng. • Tính cô sin của góc giữa 2 véc tơ, 2 đường thẳng. • Khoảng cách 2 điểm, từ 1 điểm đến 1 đường thẳng. • Mối liên hệ toạ độ của 2 véc tơ vuông góc. 2. Các bài toán về đường thẳng. • Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng. • Véc tơ chỉ phương của đường thẳng. Viết phương trình tham số của đường thẳng, phương trình chính tắc. • Mối quan hệ giữa 2 đường thẳng song song và 2 đường thẳng vuông góc. • Bài toán viết phương trình đường thẳng chứa cạnh đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác. • Tìm chu vi, diện tích, đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 3. Các bài toán về đường tròn. • Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, hoặc biết 1 số điều kiện cho trước. • Viết phương trình trục đẳng phương, phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M 0 , đi qua điểm M 0 không nằm trên đường tròn. 4. Các bài toán về đường Cô níc • Thiết lập phương trình chính tắc của Elip, Hypebol, Parabol khi biết điều kiện xác định. • Tìm các yếu tố: Tâm sai, Tiêu điểm, Đường chuẩn, … khi biết phương trình chính tắc của nó. • Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cô níc. B. Ôn luyện.  Tiết 1: Hệ thống lý thuyết.  Tiết 2: Phương trình đường thẳng.  Tiết 3: Đường tròn.  Tiết 4: Elip.  Tiết 5: Hypebol.  Tiết 6: Parabol.  Tiết 7: Ôn tập. I. Phương trình đường thẳng. 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2, -2) và cách đều 2 điểm B (1, 1) và C (3, 4). Cách 1: Δ qua A véc tơ pháp tuyến n  (A, B). Δ qua A (x - 2) + B (y + 2) = 0. Δ cách đều AB ⇔ d(A, Δ) = d(B, Δ). Cách 2: Δ qua A nhận llà véc tơ chỉ phương. Δ qua trung điểm của AB. 2. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác biết phương trình đường thẳng. BC: x - 3y - 6 = 0. CA: x + y + 6 = 0. AB: 3x + y -8 = 0. • Tìm toạ độ A, B, C. • CMR: Δ ABC vuông và tính S. • Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH của Δ ABC. AB Giải: • Toạ độ điểm A, B, C là nghiệm của hệ. • Xác định tích vô hướng véc tơ pháp tuyến. • Diện tích bằng 2 1 2 cạnh góc vuông. • Đường cao BH nhận llà véc tơ pháp tuyến ⇒ n  (1, 1) là véc tơ chỉ phương. Trong hệ XOY cho 2 đường thẳng Δ và Δ' lần lượt có phương trình là: Δ: x +2y -6 = 0. Δ': x - 3y + 9 = 0. a. Tính góc tạo bởi Δ và Δ'. b. Tính khoảng cách từ M (5, 3) đến Δ và Δ'. c. Viết phương trình đường phân giác hợp bởi Δ và Δ'. Bài tập về nhà. Trong hệ XOY cho A(3, 6); B(1, -1); C(6, 2). 1. Lập phương trình tổng quát các cạnh, đường cao, trung tuyến, trung trực của Δ 2. Tính chu vi diện tích tam giác. 3. Tìm A' đối xứng với A qua BC. 4. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. II. Đường tròn. 1. Trong mặt phẳng toạ độ XOY cho đường tròn (T). x 2 + y 2 - 4x - 2y - 4 = 0. a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của (T). b) Cho đường thẳng Δ: y = x + b tuỳ theo giá trị của b xác định vị trí của Δ và (T). AC c) Với b = 1 tìm toạ độ giao điểm của Δ và (T). Gọi 2 điểm là M 1 , M 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (T) tại M 1 , M 2 . d) Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết đường tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x. Giải: Tâm I (2, 1); R = 3. C 1 : Thay I = x + b vào phương trình giải và biện luận. C 2 : Khoảng cách từ I (2, 1) đến Δ với R = 3. d: y = -x ⇔ x + y = 0. Δ // d ⇔ x + y + c = 0. (c ≠ 0). d (I, Δ) = 3. ⇔ Δ là tiếp tuyến 2. Trong mặt phẳng toạ độ XOY cho A, B là 2 điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình: x 2 - 2 (m + 1) x + m = 0. a) Viết phương trình đường tròn đường kính AB. b) Cho E (0, 1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp Δ AEB với m= 2. Giải: A (x 1 , 0); B (x 2 , 0); x 1 , x 2 là nghiệm phương trình. x 1 + x 2 = 2 (x 1 + x 2 ); x 1 .x 2 = m. M (x, y) ∈ (C) ⇔ == 0 ⇔ (x - x 2 )(x - x 2 ) + y 2 = 0. ⇔ (x 2 + y 2 ) - (x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0. Đường tròn qua A, B, C ⇔ toạ độ thoả mãn phương trình. Bài tập về nhà: Trong hệ XOY cho Δ ABC với A (5, 4); B (2, 7); C (-2, -1). Tìm toạ độ trực tâm H và viết phương trình các đường cao AE, BF, CD của Δ. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF. Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với cạnh BC. III. Elip. 1. Trong mặt phẳng toạ độ OXY cho Elip có phương trình: AM AN 16x 2 + 25y 2 = 100. (1) a) Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của Elip. b) Tìm tung độ của điểm thuộc Elip có hoành độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm. c) Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với Elip. Giải: Từ phương trình (1) suy ra 4 25 2 x + 4 2 y = 1. Suy ra F 1 , F 2 , A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ; e. Thay x = 2 vào phương trình ⇒ y, ⇒ M 1 , M 2 . C 1 : Tính MF 1 , MF 2 (tính đối xứng). C 2 : Áp dụng công thức bán kính qua tiêu. 2. Trong mặt phẳng toạ độ OXY, viết phương trình chính tắc Elip? a) Độ dài trục lớn băng 6, tiêu cự bằng 4. b) Một tiêu điểm F 1 (- 3 , 0) và M (1, 2 3 ) trên Elip. c) Elip qua M (1, 0); N ( 2 3 , 1). Bài tập: a) Viết phương trình chính tắc của Elip nhận F 1 (5, 0) làm tiêu điểm, độ dài trục nhỏ 2b = 4 6 . Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm thứ 2 F 2 và tâm sai e. b) Tìm M trên (E) sao cho MF 1 = 2MF 2 . IV. Hypebol. 1. Trên mặt phẳng oxy cho Hypebol có phương trình 24x 2 - 25y 2 = 600 (1) - Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai. - Trên tung độ điểm thuộc Hypebol có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách tới tiêu điểm. - Tìm K để đường thẳng y = kx - 1 có điểm chung với Hypebol . Giải: (1) ⇔ 25 2 x - 24 2 y = 1 ⇒ F 1 , F 2 , A, A', e. Thay x = 10 vào phương trình ⇒ y ⇒ M, M'. Tìm MF 1 , MF 2 (áp dụng k/c) hoặc áp dụng công thức bán kính qua tiêu. Thay y = kx - 1 vào phương trình tìm k để phương trình có nghiệm. 2. Viết phương trình chính tắc của Hypebol nhận tiêu điểm F(9, 0) và độ dài trục thuộc 2a = 10. Tìm toạ độ đỉnh, tiêu cận, tâm sai của Hypebol. Tìm b để đường thẳng y = 2x + b có điểm chung với Hypebol; khi b = 10 tìm toạ độ giao điểm. Giải: b 2 = c 2 - a 2 = 81 - 25 = 56 ⇒ b = 2 14 , 2a = 10 ⇒ a = 5. Phương trình chính tắc: 25 2 x - 56 2 y = 1, tiệm cận y = ± 5 142 x, tâm sai e = 5 9 . Thay y = 2x + b vào phương trình 44x 2 + 100bx + 25 (b 2 + 56) = 0 ⇒ b 2 ≥ 44. Với b = 10 ⇒ 44x 2 + 1000x + 25.156 = 0 ⇒ x, y Bài tập về nhà: Viết phương trình chính tắc của Hypebol có đỉnh A (a, 0); A' (-a, 0) có 2 tiệm cận vuông góc. Chứng minh rằng tâm sai của Hypebol không phụ thuộc vào a. Biết Hypebol có tiêu cự trên đi qua B (5, -3). Xác định a. Viết phương trình chính tắc của Hypebol và tìm toạ độ tiêu điểm, e. V. Parabol. 1. Trong mặt phẳng toạ độ OXY cho (P) với phương trình chính tắc: y 2 = 12x. a) Tìm toạ độ tiêu điểm, phương rình đường chuẩn của (P). b) Một điểm trên (P) có hoành độ x = 2. Tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm. c) Qua I (2, 0) vẽ các đường thẳng thay đổi cắt (P) tại A, B. CMR tích các khoảng cách từ A, B tới trục Ox là một hằng số. Giải: y 2 =2px ⇒ p = 6. Tiêu điểm F (3, 0), đường chuẩn x = -3. x = 2 ⇒ y 2 = 24 ⇒ y = ± 62 . MF 1 = MF 2 = 5. Đường thẳng qua I (2, 0) có phương trình a (x - 2) + by = 0. ⇒ ax + by -2a = 0. Toạ độ giao diểm là nghiệm cuả hệ phương trình    = =+ 12x y2 0 2a-by ax ⇒ ay 2 + 12by – 24a = 0. a = 0 phương trình có 1 nghiệm (loại). a ≠ 0 phương trình có 2 nghiệm y 1 , y 2 Thao Viét y1.y2 = -24. Khoảng cách từ A, B đến Ox là 1 y 2 y = = 21 .yy =24. 2. Viết phương trình chính tắc của (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong các trường hợp sau: - Đường chuẩn x = -2. - Đi qua điểm A (2, -1) nhận Ox là trục đối xứng. Tìm giao điểm của đường thẳng x – y – 1 = 0 với (P) đó. - (P) đi qua A (2, 1). Bài tập: Cho (P) y 2 = 4x. Một đường tahửng bất kì đi qua tiêu điểm cắt (P) tại 2 điểm A, B. CMR: Tích khoảng cách từ A, B đến trục Ox là 1 đại lượng không đổi. VI. Tiếp tuyến. 1. Cho đươờng tròn (C) x 2 + y 2 -6x + 2y + 6 = 0 và điểm A (1, 3). a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn, chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn. b) Viết phương trình đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C). Giải: (x - 3) 2 + (y + 1) 2 = 4 ⇒ tâm I (3, -1), R = 2. IA = 52 > 2 vậy A ngoài (C). Đường thẳng Δ qua A có phương trình là a(x – 1) + b(y - 3) = 0. (a 2 + b 2 ≠ 0). ax + by – a – 3b = 0. Δ là tiếp tuyến ⇔ d(I, Δ) = 2. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của Elip 25 2 x + 9 2 y =1 song song với đường thẳng d: x + 2y -1 = 0. Δ song với d ⇔ x + 2y + c = 0 (c ≠ -1). Δ là tiếp tuyến ⇔ 25 + 36 = c 2 ⇒ c = 61± 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (P) 5 2 x - 4 2 y = 1 đi qua điểm M (3, -2). Giải: Δ qua M có phương trình là: a (x -3) + b (y + 2)= 0 (a 2 + b 2 ≠ 0 ) ⇔ ax + by – (3a – 2b) = 0. Δ là tiếp tuyến ⇔ 5a 2 – 4b 2 = (3a – 2b) 2 . ⇔ 4a 2 – 12ab + 8b 2 = 0. Chọn b = 1 ⇒ a 2 - 3a + 2 = 0 ⇒ a = 1, a = 2. 4. Tìm quỹ tích điểm M của mặt phẳng mà từ đó kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới Elip 6 2 x + 3 2 y = 1. Giải: Giả sử có 2 đường thẳng vuông góc với nhau: Δ ax + by + c = 0 và Δ’ - bx + ay + c’ = 0. Δ và Δ’ là tiếp tuyến của Elip ⇔      =+ =+ 222 222 '36 36 cab cba với c.c’ ≠ 0. Toạ độ của M là nghiệm của    =++− =++ 0' 0 caybx cbyax ⇒ c 2 + c’ 2 = (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ta có c 2 + c’ 2 = 9(a 2 + b 2 ). ⇒ x 2 + y 2 = 9. Vậy điểm M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R = 3. Bài tập: Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 – 3x – 4y = 0. a) Tìm toạ độ tâm và bán kính. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox. c) Viết phương trình đường thẳng qua M (2, 1) cắt (C) tại 2 điểm A, B nhận M làm trung điểm. d) Tính góc hợp bởi 2 tiếp tuyến của (C) đi qua I (1, 5). . Δ) = 2. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của Elip 25 2 x + 9 2 y =1 song song với đường thẳng d: x + 2y -1 = 0. Δ song với d ⇔ x + 2y + c = 0 (c ≠ -1). Δ là tiếp tuyến ⇔ 25 + 36 = c 2 ⇒ . tuyến với (T) tại M 1 , M 2 . d) Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết đường tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x. Giải: Tâm I (2, 1); R = 3. C 1 : Thay I = x + b vào phương trình. phương trình tham số của đường thẳng, phương trình chính tắc. • Mối quan hệ giữa 2 đường thẳng song song và 2 đường thẳng vuông góc. • Bài toán viết phương trình đường thẳng chứa cạnh đường cao,