Hình học giải tích 12 NGUYỄN VŨ MINH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG : Phương pháp 1 : Giả sử có hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình như sau : M 1 1 M 2 M 3 x x a t (d ): y y a t z z a t  = +   = +   = +   và N 1 2 N 2 N 3 x x b t ' (d ): y y b t' z z b t'  = +   = +   = +    Lấy điểm M ∈ (d 1 ) ; N ∈ (d 2 ) M( M 1 x a t+ ; M 2 y a t+ ; M 3 z a t+ ) N( N 1 x b t'+ ; N 2 y b t'+ ; N 3 z b t'+ )  MN là đường vuông góc chung : 1 1 2 2 MN (d ) MN a MN (d ) MN a   ⊥ ⊥   ⇔   ⊥ ⊥     uuuur uuuur Ta có hệ phương trình sau : MN . 1 a = 0 MN . 1 a = 0  Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d 1 ) có tọa độ của M, t’ thế vào (d 2 ) có tọa độ N.  Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm. Phương pháp 2 :  Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) : 1 a (a= ; 2 a ; 3 a ) b = ( 1 b ; 2 b ; 3 b )  Viết phương trình mp(α) chứa (d 1 ) và đường vuông góc chung : mp( ): n a ,u α   α    =      Viết phương trình mp(β) chứa (d 2 ) và đường vuông góc chung : mp( ): n b ,u β   β    =      Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp(α) và mp(β) . 1 ⇒ MN = ( ) (*) (d 1 ) M N   (d 2 ) ⇒ 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a u ; ; b b b b b b          ÷  ÷  ÷  ÷ =  ÷  ÷  ÷  ÷         u là vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung qua điểm A ∈ (d 1 ) qua điểm B ∈ (d 2 ) α β d 1 d 2 A B   u Hình học giải tích 12 NGUYỄN VŨ MINH II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp 1 : Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2 :  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và song song với (d 2 ) mp(P): n a ,b β      =      Lấy điểm B ∈ (d 2 ) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì : ( ) ( ) 1 2 d ,d B,(P)δ = δ = BH Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D M ,( ) A B C + + + δ α = + + Phương pháp 3 : (d 1 ) đi qua A và có vectơ chỉ phương a 1 (d 2 ) đi qua B và có vectơ chỉ phương a 2 Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 được tính theo công thức : ( ) 1 2 1 2 1 2 a ,a .AB d ,d a ,a     δ =     BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần lượt có phương trình : x 2z 2 0 (D): y 3 0  + − =  − =  và x 2 t (D'): y 1 t z 2t  = +  = −   =  1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ . (Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006) Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường thẳng 1 x 4 y 1 z (d ): 2 2 1 − − = = − và 2 x 3 y 5 z 7 (d ): 2 3 2 + + − = = − a) Chứng tỏ (d 1 ) song song với (α) và (d 2 ) cắt (α) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) c) Viết phương trình đường thẳng (∆) // với mp(α), cắt (d 1 ) và (d 2 ) lần lượt tại M, N sao cho MN = 3 (Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A 2007) Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 7 y 5 z 9 (d ): 3 1 4 + − − = = − và 2 x y 4 z 18 (d ): 3 1 4 + + = = − a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và (d 2 ) b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ) (Trích đề thi Đại Học Kiến Trúc Hà Nội 1998) 2 qua điểm A ∈ (d 1 ) P d 1 d 2 B  H  Hình học giải tích 12 NGUYỄN VŨ MINH Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 1 y 2 z 3 (d ): 1 2 3 − − − = = và 2 x 2y z 0 (d ): 2x y 3z 5 0  + − =  − + − =  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 7 y 3 z 9 (d ): 1 2 1 − − − = = − và 2 x 3 y 1 z 1 (d ): 7 2 3 − − − = = − − a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Lập phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đại học Y Dược 1998) Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 2 y 3 z 4 (d ): 2 3 5 − − + = = − và 1 x 1 y 4 z 4 (d ): 3 2 1 + − − = = − − a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d) của (d 1 ) và (d 2 ). b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Quốc Gia TPHCM 1997) Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 1 (d ): y 4 2t z 3 t  =  = − +   = +  và 2 x 3t' (d ): y 3 2t' z 2  = −  = +   = −  a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học thương mại 1997) Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 1 t (d ): y t z t  = −  =   = −  và 2 x 2t' (d ): y 1 t' z t'  =  = −   =  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau . b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau, lần lượt chứa (d 1 ) và (d 2 ). c) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995) Bài 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 2 t (d ): y 1 t z 2t  = +  = −   =  và 2 x 2z 2 0 (d ): y 3 0  + − =  − =  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d 1 ) và (d 2 ). (Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998) Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 3 Hình học giải tích 12 NGUYỄN VŨ MINH 1 x y 2z 0 (d ): x y z 1 0  + + =  − + + =  và 2 x 2 2t (d ): y 5t z 2 t  = − +  = −   = +  a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau . b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M(1 ; 1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) (Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 1997) Bài 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 8z 23 0 (d ): y 4z 10 0  − + =  − + =  và 2 x 2z 3 0 (d ): y 2z 2 0  − − =  + + =  a) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lượt chứa (d 1 ), (d 2 ). b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). c) Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995) Bài 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 2t 1 (d ): y t 2 z 3t 3  = +  = +   = −  và 2 x t' 2 (d ): y 2t' 3 z 3t' 1  = +  = −   = +  a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). (Trích đề thi đại học Tổng Hợp Hà Nội khối A 1994) Bài 12 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình : 1 x 3t 7 (d ): y 2t 4 z 3t 4  = −  = − +   = +  và 2 x t' 1 (d ): y 2t' 9 z t' 12  = +  = −   = − −  a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. (Trích đề thi đại học Cảnh Sát Nhân Dân 2000) Bài 13 : Đường thẳng (d 1 ) qua điểm P 1 (1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ phương a 1 = (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d 2 ) đi qua điểm P 2 (0 ; 1 ; 2) có vectơ chỉ phương a 2 = (–1 ; –1 ; 0). Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của (d 1 ) và (d 2 ) (theo dạng giao tuyến của hai mặt phẳng). (Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000) Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1). a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. (Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999) 4 . (d 1 ) và đường vuông góc chung : mp( ): n a ,u α   α    =      Viết phương trình mp(β) chứa (d 2 ) và đường vuông góc chung : mp( ): n b ,u β   β    =      Đường vuông góc chung. VŨ MINH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG : Phương pháp 1 : Giả sử có hai đường thẳng (d 1 ),. t z 2t  = +  = −   =  1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ . (Trích đề thi tuyển sinh khối