CHƯƠNG 7 282 - Thay z a jb = + (điều kiện: a b ) + = 2 2 1 vào phương trình đặc tính (8.6), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với đường tròn đơn vò và giá trò K gh . Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p j được xác đònh bởi m n j j i j i i i i j p z p p arg( ) arg( ) = = ≠ θ = ° + − − − ∑ ∑ 1 1 180 (8.11) Dạng hình học của công thức trên là θ j = 180 o + ( ∑ góc từ các zero đến cực p j ) – ( ∑ góc từ các cực còn lại đến cực p j ) (8.12) Qui tắc 10. Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → +∞ Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác đònh từ điều kiện biên độ ( ) ( ) N z K D z = 1 (8.13) Ví dụ 8.3. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó - Hàm truyền khâu liên tục 5 5 ( ) ( ) = + K G s s s - Chu kỳ lấy mẫu T , sec = 0 1 Hãy vẽ QĐNS của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 đến +∞. Tính K gh . Giải. Phương trình đặc tính của hệ có sơ đồ khối như trên là G z ( ) + = 1 0 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 283 trong đó { } ( ) ( ) ( ) ZOH G z G s G s = Z 1 5 5 ( ) −   −   =   +     Ts e K s s s Z 1 2 5 1 5 ( ) ( ) −     = −   +     K z s s Z z z e z e e K z z z e . , , , [( , ) ( , )] ( ) ( ) − − − −   − − + + − −   =       − −     0 5 0 5 0 5 2 0 5 1 0 5 1 1 0 5 5 1 ⇒ z G z K z z , , ( ) ( )( , ) + = − − 0 021 0 018 1 0 607 ⇒ Phương trình đặc tính là z K z z , , ( )( , ) + + = − − 0 021 0 018 1 0 1 0 607 (8.14) - Các cực: p = 1 1 , p ,= 2 0 607 (n = 2) - Các zero: z ,= − 1 0 857 (m = 1) - Góc tạo bởi tiệm cận và trục thực l l n m ( ) ( )+ π + π α = = = π − − 2 1 2 1 2 1 (l = 0) - Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực ( , ) ( , ) , 1 0 607 0 857 2 464 2 1 cực zero OA n m − + − − = = = − − ∑ ∑ - Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK dz = 0 . Ta có (8.14) ⇒ z z z z K z z ( )( , ) , , , , , , − − − + = − = − + + 2 1 0 607 1 607 0 607 0 021 0 018 0 021 0 018 ⇒ dK z z dz z , , , , − + = − + 2 1 607 0 607 0 021 0 018 z z z z z ( , )( , , ) ( , , )( , ) ( , , ) − + − − + = − + 2 2 2 1 607 0 021 0 018 1 607 0 607 0 021 0 021 0 018 z z z , , , ( , , ) + − = − + 2 2 0 021 0 036 0 042 0 021 0 018 CHƯƠNG 7 284 ⇒ dK dz = 0 ⇔ z z , , = −   =  1 2 2 506 0 792 Cả hai nghiệm trên đều thuộc QĐNS ⇒ có hai điểm tách nhập. - Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vò (8.14) ⇔ z z K z ( )( , ) ( , , ) − − + + = 1 0 607 0 021 0 018 0 ⇔ z K z K( , , ) ( , , ) + − + + = 2 0 021 1 607 0 018 0 607 0 Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng Đổi biến w z w + = − 1 1 , ta được w w K K w w ( , , ) ( , , ) + +     + − + + =     − −     2 1 1 0 021 1 607 0 018 0 607 0 1 1 ⇔ Kw K w K, ( , , ) ( , , ) + − + − = 2 0 039 0 786 0 036 3 214 0 003 0 Điều kiện để hệ thống ổn đònh là K K K , , , , >   − >   − >  0 0 786 0 036 0 3 214 0 003 0 ⇔ K K K , >   <   <  0 21 83 1071 21 83 , ⇒ = gh K Thay gh K , = 21 83 vào phương trình đặc tính, ta được z z, − + = 2 1 1485 1 0 ⇔ z j , , = ± 0 5742 0 8187 Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vò là 0 5742 0 8187 , , = ± z j Cách 2: Thay z a jb = + vào phương trình trên, ta được a jb K a jb K( ) ( , , )( ) ( , , ) + + − + + + = 2 0 021 1 607 0 018 0 607 0 ⇔ a j ab b K a j K b ( , , ) ( , , ) + − + − + − + 2 2 2 0 021 1 607 0 021 1 607 + K ( , , ) + = 0 018 0 607 0 ⇔ a b K a K j ab j K b ( , , ) ( , , ) ( , , )  − + − + + =   + − =   2 2 0 021 1 607 0 018 0 607 0 2 0 021 1 607 0 Kết hợp với điều kiện a b + = 2 2 1 ta được hệ phương trình 2 2 2 2 0 021 1 607 0 018 0 607 0 2 0 021 1 607 0 1 ( , , ) ( , , ) ( , , )  − + − + + =  + − =   + =  a b K a K j ab j K b a b PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 285 Giải hệ phương trình trên, ta được bốn giao điểm là z = 1 , tương ứng với K = 0 z = − 1 , tương ứng với K = 1071 z j , , = ± 0 5742 0 8187 , tương ứng với K , = 21 8381 Vậy 21 83 , = gh K 8.5 CHẤT LƯNG HỆ THỐNG RỜI RẠC 1- Đáp ứng quá độ: có thể xác đònh được đáp ứng của hệ thống rời rạc bằng một trong hai cách sau đây: - Cách 1: tính ( ) C z , sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm ( ) c k . - Cách 2: tính nghiệm ( ) x k của phương trình trạng thái của hệ rời rạc, từ đó suy ra ( ) c k . Cặp cực quyết đònh: hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với hai cực là cặp cực quyết đònh. Đối với hệ liên tục, cặp cực quyết đònh là cặp cực nằm gần trục ảo nhất. Do Ts z e = , nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết đònh là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vò nhất. 2- Độ vọt lố: đối với hệ rời rạc, cách thường sử dụng để tính độ vọt lố là dùng biểu thức đònh nghóa: xl xl c c POT c max % − = 100 (8.15) trong đó: max c là giá trò cực đại của c(k); xl c là giá trò cực đại của CHƯƠNG 7 286 c(k). Cách thứ hai cũng được sử dụng khi biết cặp cực quyết đònh j z re * ± ϕ = của hệ rời rạc là dựa vào quan hệ Ts z e = để suy ra nghiệm s * , từ đó tính được ξ và n ω . r r ln (ln ) − ξ = + ϕ 2 2 (8.16) n r T (ln ) ω = + ϕ 2 2 1 (8.17) Sau đó áp dụng các công thức đã trình bày trong chương 4 để tính POT, t xl , 3- Sai số xác lập Theo đònh lý giá trò cuối: xl k z e e k z E z lim ( ) lim( ) ( ) − →∞ → = = − 1 1 1 (8.18) Các công thức tính sai số xác lập Sai số xác lập của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ như trên là: xl z z R z e z E z z GH z ( ) lim( ) ( ) lim( ) ( ) − − → → = − = − + 1 1 1 1 1 1 1 (8.19)  Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò R z z ( ) − = − 1 1 1 ⇒ xl z z e GH z GH z lim ( ) lim ( ) → → = = + + 1 1 1 1 1 1 (8.20) Đặt P z K GH z lim ( ) → = 1 : Hệ số vò trí ⇒ xl P e K = + 1 1 (8.21) PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 287  Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vò: Tz R z z ( ) ( ) − − = − 1 1 2 1 ⇒ xl z z Tz T e GH z z z GH z lim ( ) lim( ) ( ) − − − → → = = + − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (8.22) Đặt V z K z GH z T lim( ) ( ) − → = − 1 1 1 1 : Hệ số vận tốc ⇒ xl V e K = 1 (8.23) Ví dụ 8.4. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó - Hàm truyền khâu liên tục K G s s a s b ( ) ( )( ) = + + ( K = 10 , a = 2 , b = 3 ) - Chu kỳ lấy mẫu: , sec T = 0 1 1- Tìm hàm truyền kín ( ) k G z 2- Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò, độ vọt lố, sai số xác lập. Giải. 1- Hàm truyền của hệ rời rạc: k G z G z G z ( ) ( ) ( ) = +1 trong đó: { } ( ) ( ) ( ) ZOH G z G s G s = Z 1 ( )( ) Ts e K s s a s b −   − =   + +   Z 1 1 1( ) ( )( ) K z s s a s b −   = −   + +   Z ( ) ( )( )( ) aT bT z z Az B K z z z e z e − −   − +   =       − − −     1 1 với aT bT b e a e A ab b a ( ) ( ) ( ) − − − − − = − 1 1 CHƯƠNG 7 288 aT bT bT aT ae e be e B ab b a ( ) ( ) ( ) − − − − − − − = − 1 1 Thay K = 10 , a = 2 , b = 3 , T , = 0 1 ta được ⇒ z G z z z , , ( ) ( , )( , ) + = − − 0 042 0 036 0 819 0 741 Do đó k z z z G z z z z , , ( , )( , ) ( ) , , ( , )( , ) + − − = + + − − 0 042 0 036 0 819 0 741 0 042 0 036 1 0 819 0 741 k z G z z z , , ( ) , , + = − + 2 0 042 0 036 1 518 0 643 2- Đáp ứng của hệ k C z G z R z ( ) ( ) ( ) = z z z R z R z z z z z , , , , ( ) ( ) , , , , − − − − + + = = − + − + 1 2 2 1 2 0 042 0 036 0 042 0 036 1 518 0 643 1 1 518 0 643 ⇒ z z C z z z R z ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) − − − − − + = + 1 2 1 2 1 1 518 0 643 0 042 0 036 ⇒ c k c k c k r k r k ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) − − + − = − + − 1 518 1 0 643 2 0 042 1 0 036 2 ⇒ c k c k c k r k r k ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) = − − − + − + − 1 518 1 0 643 2 0 042 1 0 036 2 Với điều kiện đầu c c ( ) ( ) − = − = 1 2 0 r r ( ) ( ) − = − = 1 2 0 Thay vào công thức đệ qui trên, ta tính được { 0 0 042 0 106 0 212 0 332 0 446 0 542 0 614 ( ) ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; c k = 0 662 0 706 0 743 0 772 0 94 0 809 0 819 0 825 , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; } 0 828 0 828 0 827 0 825 , ; , ; , ; , ; Giá trò xác lập của đáp ứng quá độ là xl z z c z R z z z , , lim( ) ( ) , , − → + = − − + 1 2 1 0 042 0 036 1 1 518 0 643 z z z z z z , , lim( ) , , − − →   +   = −     − + −     1 2 1 1 0 042 0 036 1 1 1 518 0 643 1 z z z z , , lim , , →   + =   − +   2 1 0 042 0 036 1 518 0 643 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 289 ⇒ xl c ,= 0 624 CHƯƠNG 7 290 - Độ vọt lố xl xl c c POT c max , , % % , − − = = 0 828 0 624 100 100 0 624 ⇒ POT , % = 32 69 - Sai số xác lập xl xl xl e r c ,= − = − 1 0 624 ⇒ xl e ,= 0 376 g Ví dụ 8.5. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó - Hàm truyền khâu liên tục K G s s a s b ( ) ( )( ) = + + ( K = 10 , a = 2 , b = 3 ) - Chu kỳ lấy mẫu T , sec = 0 1 1- Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên. 2- Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò (điều kiện đầu bằng 0). Giải. 1- Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống Bước 1: Hệ phương trình trạng thái của khâu liên tục Ta có R R C s G s E s E s s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = + + 10 2 3 ⇒ R s s C s E s ( )( ) ( ) ( ) + + = 2 3 10 ⇒ R s s C s E s ( ) ( ) ( ) + + = 2 5 6 10 ⇒ R c t c t e t ( ) ( ) ( ) + + = 5 6 10 && Đặt x t c t ( ) ( ) = 1 ; x t x t ( ) ( ) = 2 1 & Hệ phương trình trạng thái mô tả khối liên tục là PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 291 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   =  R t t e t c t t & x Ax B Cx trong đó   =   − −   0 1 6 5 A   =     0 10 B [ ] 1 0 =C Bước 2: Tính ma trận quá độ  ( ) s s s s s ( ) − − −     −       Φ = − = − =           − − +           1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 6 5 6 5 I A s s s s s s s ss s s s s s ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) +     +   + + + +   = =   − −+ −       + + + +   5 1 5 1 1 2 3 2 3 6 65 6 2 3 2 3  s s s s s t s s s s s s ( )( ) ( )( ) ( ) [ ( )] ( )( ) ( )( ) − −   +         + + + +   Φ = Φ =           + + + +     1 1 5 1 2 3 2 3 6 2 3 2 3 L L s s s s s s s s − − − −       − −       + + + +       =       − + − +       + + + +         1 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 3 6 6 2 3 2 3 2 3 L L L L ⇒ t t t t t t t t e e e e t e e e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − −   − − Φ =     − + − +   2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 6 6 2 3 Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được 1 [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) d d R d k T kT e kT c kT kT  + = +  =  x A x B C x trong đó  t t t t d t t t t t T e e e e T e e e e , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − − = =   − − = Φ =     − + − +   2 3 2 3 2 3 2 3 0 1 3 2 6 6 2 3 A ⇒ d , , , ,   =   −   0 975 0 078 0 468 0 585 A [...]... HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 293 B THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.6 KHÁI NIỆM Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc, trong đó sơ đồ điều khiển thông dụng nhất là hiệu chỉnh nối tiếp với bộ điều khiển GC ( z) là bộ điều khiển sớm trễ pha số, PID số, Một sơ đồ điều khiển khác cũng được sử dụng rất phổ biến là điều khiển hồi tiếp trạng thái - Thiết kế bộ điều khiển số... đa số trường hợp bộ điều khiển số là các thuật toán phần mềm chạy trên máy tính PC hoặc vi xử lý Từ hàm truyền GC ( z) hoặc giá trò độ lợi K ta suy ra được phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều khiển Quan hệ này được sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý - Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số, trong nội dung... + 1 = = E( z ) 2 1 − z−1 2 z −1 Trong ba cách tính tích phân trình bày ở trên, tích phân hình thang cho kết quả chính xác nhất, do đo thực tế người ta thường sử dụng công thức GI ( z) = K IT z + 1 2 z −1 (8.26) 4- Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc Từ các hàm truyền rời rạc cơ bản vừa phân tích ở trên, ta rút ra được hàm truyền của bộ điều khiển PI, PD, PID số như sau GPI ( z) = K P + KIT z + 1 2 z −1... Bộ điều khiển bù pha (sớm pha, trễ pha) Hàm truyền của bộ điều khiển bù pha liên tục có dạng GC ( s) = K s+ a s+b (a>b: trễ pha; a pC 8.8 THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC DÙNG PHƯƠNG PHÁP QĐNS 8.8.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha Phương trình đặc tính của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là 1 + GH ( z) = 0 Phương trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là 1 + GC ( z)GH ( z) = 0 Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng z + zC GC ( z) = K C z + pC (8.31) 298 CHƯƠNG... lý - Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số, trong nội dung quyển sách này chỉ đề cập phương pháp thiết kế dùng quỹ đạo nghiệm số, phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID, phương pháp thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái (phương pháp phân bố cực) và phương pháp giải tích 294 CHƯƠNG 7 8.7 HÀM TRUYỀN CỦA CÁC KHÂU HIỆU CHỈNH RỜI RẠC 1- Khâu tỉ lệ GP ( z) = K P 2- Khâu vi phân... giá trò KC, zC và pC để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về chất lượng quá độ (chất lượng quá độ thể hiện qua vò trí của cặp cực quyết đònh) Trình tự thiết kế Bước 1: Xác đònh cặp cực quyết đònh từ yêu cầu thiết kế về chất lượng của hệ thống trong quá trình quá độ * ξ  Độ vọt lố POT * * ⇒  ⇒ s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2 ⇒ z1,2 = eTs  Thời gian quá độ, ωn r = z* = e− Tξωn ϕ = ∠z* = Tωn 1 − ξ2... 0, 779  Cd = C = [1 0] Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r( kT) là  x[( k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x( kT ) + Bd r( kT )    c( kT ) = Cd x( kT )  trong đó  0, 975 [ Ad − BdCd ] = −0, 468  0, 078 0, 042 − [1 0] 0, 585   0, 779      0, 933 0, 078 ⇒ [ Ad − Bd Cd ] =    −1, 247 0, 585 Vậy phương trình trạng thái cần tìm là  x1 ( k + 1) . bộ điều khiển ( ) C G z là bộ điều khiển sớm trễ pha số, PID số, Một sơ đồ điều khiển khác cũng được sử dụng rất phổ biến là điều khiển hồi tiếp trạng thái - Thiết kế bộ điều khiển. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 293 B. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.6 KHÁI NIỆM Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc, trong đó sơ đồ điều khiển thông. ngõ ra của bộ điều khiển. Quan hệ này được sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý. - Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số, trong