147 Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là: [] )()(1 )( lim )()(1 )()( 1)(lim )()()(lim )(lim)(lim 0 0 0 0 sHsG ssR sHsG sHsG ssR sHsCsRs ssEte s s s a s a t + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −= −= = → → → →∞→ (10.57) Giả sử tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu nhảy bậc đơn vị, hay R(s) = 1/s. Đồng thời, giả sử hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã bù có thể biểu diễn được như sau: ∏ ∏ = = − − = Q j j N M i i pss zsK sHsG 1 1 )( )( )()( (10.58) Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực trở thành: ∏∏ ∏ == = →→ −+− − = M i i Q j j N Q j j N s a t zsKpss pss te 11 1 00 )()( )( lim)(lim (10.59) Như đã phân tích ở Chương V, sai số của hệ thống phụ thuộc vào giá trị của N, nghĩa là số điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s của G(s)H(s): − Nếu N < 0: s −N → 0 khi s → 0. Vì vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ là: 1 )()( )( lim)(lim 11 1 00 = −+− − = ∏∏ ∏ = − = = →→ M i i N Q j j Q j j s a t zsKsps ps te (10.60) − Nếu N = 0: p M i i Q j j Q j j s a t K zsKps ps te + = −+− − = ∏∏ ∏ == = →→ 1 1 )()( )( lim)(lim 11 1 00 (10.61) Giá trị của hằng số sai số K p càng lớn thì sai số ở trạng thái thường trực 148 của hệ thống sẽ càng nhỏ khi N = 0. − Nếu N > 0: 0 )()( )( lim)(lim 11 1 00 = −+− − = ∏∏ ∏ == = →→ M i i Q j j N Q j j N s a t zsKpss pss te (10.62) Như vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ triệt tiêu nếu hàm chuyển vòng hở của hệ thống có ít nhất một điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s. Mỗi điểm cực tại gốc tọa độ của hàm chuyển vòng hở của hệ th ống có thể coi như một phép tích phân. Vì vậy, khi độ chính xác của hệ thống ở trạng thái thường trực không đạt yêu cầu, chúng ta có thể dùng một mạch tích phân để bù. Sử dụng một bộ điều khiển PI làm mạch bù có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống xuống tới không vì hàm chuyển của mạch này có điểm cực nằm ở gốc tọ a độ. Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là: 1 )( 1 + = s K sG τ (10.63) và hàm chuyển của khối phản hồi là: 1 1 )( 2 + = s sH τ (10.64) Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực với khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị sẽ là: K ss K ss sHsG ssR te ss a t + = ++ + = + = →→→∞ 1 1 )1)(1( 1 )1( lim )()(1 )( lim)(lim 21 00 ττ (10.65) Chúng ta có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống bằng cách tăng K. Tuy nhiên, tăng K sẽ làm cho tỷ số cản ζ của hệ thống giảm, vì vậy có thể dẫn đến việc hiệu suất nhất thời của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu đặt ra. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng mạch bù tích phân có hàm chuyển như phương trình (10.29) để làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. Thật vậy, sai số ở trạng thái thường trực của h ệ thống sau khi bù là: 0 )()1)(1( )1)(1( lim )1)(1( )( 1 )1( lim )()()(1 )( lim)(lim 21 21 0 21 00 = ++++ ++ = ++ + + = + = → →→∞→ PIP s PIP s c s a t KKsKKsss sss sss KKsKK ss sHsGsG ssR te ττ ττ ττ (10.66) 149 Hiệu suất nhất thời của hệ thống khi đó có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số K, K P và K I . 10.7. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha Như chúng ta đã đề cập ở mục trước, mạch chậm pha trong Hình 10.5 là một mạch tích phân, có thể sử dụng được để bù cho hệ thống nhằm làm giảm sai số ở trạng thái thường trực. Hàm chuyển của mạch chậm pha này được biểu diễn bằng phương trình (10.27): ps zs s s sG c − − ⋅= + + = αατ τ 1 1 1 )( (10.67) Giả sử hệ thống vòng kín được quan tâm có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) được biểu diễn bằng phương trình (10.58) và giả sử chúng ta có thể xác định được bằng phương pháp quỹ tích nghiệm vị trí cặp nghiệm trội với chúng hệ thống có hiệu suất nhất thời như mong muốn, tương ứng với giá trị K = β . Mục đích của việc sử dụng mạch bù chậm pha cho hệ thống là nhằm làm tăng hằng số sai số nhưng không gây ảnh hưởng đáng kể tới hiệu suất nhất thời của hệ thống. Gọi K e là hằng số sai số của hệ thống: ∏ ∏ = = → − − == Q j j M i i N s e p z KsHsGsK 1 1 0 )()(lim (10.68) Phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù là: 0 )( )( 1 1 1 = − − ⋅ − − ⋅+ ∏ ∏ = = Q j j N M i i pss zs ps zsK α (10.69) Nếu chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1, quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù sẽ thay đổi rất ít so với khi chưa có bù, vì khi đó phương trình đặc trưng (10.69) của hệ thống sau khi bù có thể xấp xỉ được bằng phương trình sau: 0 )( )( 1 1 1 = − − ⋅+ ∏ ∏ = = Q j j N M i i pss zs K α (10.70) Phương trình (10.70) sẽ có cặp nghiệm mong muốn như của hệ thống khi chưa có bù khi K = αβ . Như vậy, với z và p được chọn như trên và K = αβ , hiệu suất nhất thời của hệ thống sau khi được bù sẽ thay đổi không đáng kể so với trước khi có 150 bù. Gọi e K ′ là hằng số sai số của hệ thống sau khi có bù, hằng số này sẽ được tính như sau: e Q j j M i i Q j j M i i e K p z p z p z p z K αβ α αβ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − ⋅⋅= ′ ∏ ∏ ∏ ∏ = = = = 1 1 1 1 (10.71) Phương trình (10.71) cho thấy, hằng số sai số của hệ thống sau khi được bù sẽ tăng với tỷ lệ là α = z/p so với trước khi có bù. Như vậy, các bước cần thiết cho việc thiết kế một mạch bù chậm pha trong mặt phẳng s được thực hiện theo trình tự sau đây: 1. Xác định quỹ tích nghiệm của hệ thống khi chưa có bù. 2. Xác định các yêu cầu đối với hiệu suất nhất thời của hệ thống và xác định vị trí cặp nghiệm trội trên quỹ tích nghiệm sao cho hiệu suất nhất thời của hệ thống chưa có bù đáp ứng được các yêu cầu đặt ra. 3. Xác định giá trị tham số K của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) và hằng số sai số K e ứng với cặp nghiệm đã xác định trong bước 2. 4. So sánh K e với giá trị hằng số sai số được mong muốn để tính tỷ số α = z/p cần thiết cho mạch bù. 5. Xác định vị trí của điểm không và điểm cực của mạch bù theo tỷ lệ được xác định ở bước 4 sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù vẫn đi qua vị trí cặp nghiệm được xác định trong bước 2.  Ví dụ 10.3 Chúng ta lại tiếp tục sử dụng hệ thống trong các ví dụ 10.1 và 10.2, với tỷ số cản của cặp nghiệm trội được chọn là 0,45 và hằng số sai số của hệ thống không nhỏ hơn 20. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù được biểu diễn trên Hình 10.9. Sử dụng đồ thị quỹ tích nghiệm này, chúng ta xác định được cặp nghiệ m ứng với giá trị của tỷ số cản ζ = 0,45 là xấp xỉ −1 ± i2. Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống có cặp nghiệm phức đó sẽ là: K = − (−1 + i2) 2 − 2(−1 + i2) = 5 (10.72) Hằng số sai số của hệ thống kiểu-1 là hằng số sai số vận tốc K v . Giá trị K v của hệ thống chưa có bù với K = 5 là: 5,2 2 5 == v K (10.73) Đặt hằng số sai số vận tốc của hệ thống sau khi bù là 20 = ′ v K , tỷ số α = z/p của mạch bù chậm pha sẽ sử dụng được tính như sau: 8 5,2 20 == ′ = v v K K α (10.74) Việc còn lại là chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1 để quỹ tích nghiệm của hệ thống 151 sau khi bù gần như không bị thay đổi so với trước khi có bù và thỏa mãn điều kiện z/p = α . Ngoài ra, để đảm bảo tính ổn định của hệ thống người ta thường chọn z và p nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Trong ví dụ này chúng ta có thể chọn z = −0,1 và p = −0,1/8 = −0,0125. 0 − 2 σ i ω − 1 Hình 10.9. Quỹ tích nghiệm của hệ thống phản hồi có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) = K/[s(s + 2)] ζ = 0,45 i2 − i2 10.8. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha Chúng ta đã thấy trong mục 10.4 sự thuận tiện của việc sử dụng đồ thị Bode để thiết kế mạch bù. Với phương pháp bù sử dụng mạch chậm pha, yếu tố được quan tâm không phải là sự chậm pha của mạch bù mà là độ suy giảm −20log 10 α . Mạch chậm pha được sử dụng để làm giảm tần số ω c tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở của hệ thống bằng 0dB. Bằng việc làm giảm tần số ω c , chúng ta có thể làm tăng dự trữ pha của hệ thống nếu như độ chậm pha của mạch bù tại tần số c ω ′ (tần số tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hệ thống sau khi bù bằng 0dB) được khống chế ở mức tương đối nhỏ. Như vậy, ngoài mục đích để làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống như đã được trình bày ở mục trên, mạch bù chậm pha còn được sử dụng để làm t ăng dự trữ pha, nghĩa là nhằm điều chỉnh hiệu suất nhất thời của hệ thống. Phương pháp bù bằng mạch chậm pha trong Hình 10.5 trên đồ thị Bode được thực hiện bằng các bước như sau: 1. Xác định hệ số của G(i ω ) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu. 2. Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù. Nếu giá trị dự trữ pha này chưa thỏa mãn được yêu cầu đặt ra, thực hiện các bước tiếp theo. 3. Xác định tần số c ω ′ tại đó giá trị dự trữ pha sẽ thỏa mãn được yêu cầu nếu 152 giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại c ω ′ bằng 0dB, có tính tới một góc chậm pha nhỏ gây ra bởi mạch bù. 4. Tính giá trị của α sao cho giá trị logarit độ lớn của G(i ω )H(i ω ) tại tần số c ω ′ bằng 20log 10 α . 5. Tính giá trị của τ sao cho góc chậm pha của mạch bù tại tần số c ω ′ có giá trị như đã định trong bước 3, từ đó tính ra được điểm không và điểm cực của G c (s).  Ví dụ 10.4 Trong ví dụ này, chúng ta sẽ thực hiện bù chậm pha trên đồ thị Bode cho hệ thống với các yêu cầu về hiệu suất như trong ví dụ 10.1. Tương tự như trong ví dụ 10.1, chúng ta sẽ chọn được giá trị K = 40 để hệ thống đáp ứng được yêu cầu về sai số ở trạng thái thường trực. Giá trị dự trữ pha của hệ thống khi chưa có bù là 18 o , trong khi yêu cầu được đưa ra là dự trữ pha không nhỏ hơn 45 o . Để hệ thống có được dự trữ pha bằng 45 o , góc pha của G(i ω )H(i ω ) tại tần số c ω ′ phải bằng −130 o , nếu tính thêm một góc chậm pha bằng 5 o . Vì vậy, chúng ta có thể xác định được c ω ′ bằng cách giải phương trình sau: o 130)2()()()( −=+∠−−∠=∠ ωωωω iiiHiG (10.75) hay: oo 130 2 arctan90 −=−− ω (10.76) Từ phương trình (10.76), chúng ta tính được giá trị của tần số c ω ′ : (rad/s) 68,140tan2 ≅= ′ o c ω (10.77) Chúng ta thiết lập được phương trình sau đây để tính tỷ số α = z/p của mạch bù chậm pha: )()(log20log20 1010 cc iHiG ω ω α ′ ′ = (10.78) hay: 4 )2( )()( 2 + ′′ = + ′′ = ′′ = cc cc cc K ii K iHiG ωω ωω ωωα (10.79) Thay các giá trị K = 40 và 68,1 = ′ c ω vào phương trình (10.79), chúng ta sẽ tính được giá trị của α : 1,9 468,168,1 40 2 ≅ + = α (10.80) Như đã đề cập ở trên, góc chậm pha của mạch bù tại tần số c ω ′ được đặt bằng 5 o , có nghĩa là: 153 o 5 1 1 −= + + ∠ ′ = c i i ωω αωτ ωτ (10.81) hay: o 5)arctan()arctan( −= ′ − ′ τωατω cc (10.82) Lấy tang của cả hai vế phương trình (10.82): )5tan( 1 22 o c cc −= ′ + ′ − ′ τωα τ ω α τ ω (10.83) Thay các giá trị 68,1= ′ c ω và và α = 9,1 vào để giải phương trình (10.83), chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm τ ≅ 6 và τ ≅ 0. Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm thứ nhất có thể chấp nhận được. Chúng ta đã tìm được hàm chuyển của mạch bù chậm pha như sau: 018,0 17,0 11,0 6,541 61 61,91 61 )( + + ≅ + + = ×+ + = s s s s s s sG c (10.84) Đồ thị Bode của hàm chuyển vòng hở G c (i ω )G(i ω )H(i ω ) của hệ thống sau khi bù được biểu diễn trong Hình 10.10. φ ( ω ) ( o ) 20log 10 |G c GH| (dB) ω (rad/s) Hình 10.10. Đồ thị Bode của hàm chuyển G c (i ω )G(i ω )H(i ω ) trong ví dụ 10.4 10.9. Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể cần một mạch bù có thể cung cấp cả góc sớm pha như của một mạch sớm pha và sự suy giảm về độ lớn như của một mạch 154 chậm pha. Một mạch có đặc tính như vậy được gọi là mạch sớm-chậm pha (lead- lag network). Một mạch sớm-chậm pha sẽ có cả hai thành phần sớm pha và chậm pha, vì vậy hàm chuyển của mạch sẽ có dạng như sau: s s s s K ps zs ps zs KsG c 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 )( βτ τ τ α τ + + ⋅ + + = − − ⋅ − − = (10.85) ở đó, |z 1 | < |p 1 | và |z 2 | > |p 2 |, hay α > 1 và β > 1. Để thiết kế hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp đã được giới thiệu trong các mục trước, dùng để thiết kế hàm chuyển cho các mạch bù sớm pha và bù chậm pha. Ví dụ, hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha có thể thiết kế được trong mặt phẳng s bằng cách xác định điểm không và điểm cực của thành phần sớm pha sao cho qu ỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù sẽ đi qua vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín, sau đó xác định điểm không và điểm cực của thành phần chậm pha nhằm làm tăng hằng số sai số ứng với cặp nghiệm trội đó lên với tỷ lệ là β . Một dạng của mạch sớm-chậm pha được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các hệ thống điều khiển công nghiệp, là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-đạo hàm (proportional-integral-derivative controller hay PID controller), hay còn gọi là bộ điều khiển ba phương thức (three-mode controller), được biểu diễn bằng phương trình vi phân có dạng như sau: ∫ ++= t IDP duK dt tdu KtuKtu 0 vào vào vàora )( )( )()( ττ (10.86) Hàm chuyển của bộ điều khiển PID nói trên sẽ là: s K sKK sU sU sG I DPPID ++== )( )( )( vào ra (10.87) Thành phần tỷ lệ (K P ) của bộ điều khiển PID có tác dụng làm tăng tốc độ của đáp ứng và làm giảm (nhưng không làm triệt tiêu được) sai số ở trạng thái thường trực. Thành phần tích phân (K I ) có thể làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực, như chúng ta đã đề cập tới ở mục 10.6, nhưng sẽ làm ảnh hưởng đến hiệu suất nhất thời theo chiều hướng không được mong muốn vì phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời sẽ tăng khi K I tăng. Ngược lại với K I , thành phần đạo hàm (K D ) có tác dụng nâng cao tính ổn định của hệ thống và làm giảm phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời, nhờ đó cải thiện hiệu suất nhất thời của hệ thống vòng kín. Đặc biệt, người ta thường sử dụng các bộ điều khiển PID để điều khiển những quá trình quá phức tạp để có thể thiết lập được các mô hình toán h ọc chính xác, thường là các quá trình phi tuyến và đa biến. Trong những trường hợp đó, với ba tham số K P , K I và K D của bộ điều khiển PID để điều chỉnh, chúng ta vẫn có thể hy vọng đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống mà không cần thực hiện nhiều bước phân tích và thiết kế phức tạp. 155 Bài tập Bài 10.1. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là )4( 400 )( + = ss sG . Chúng ta muốn sử dụng một bộ điều khiển PI để bù cho hệ thống. Hàm chuyển của bộ điều khiển PI là: s K KsG c 2 1 )( += Nếu K 2 = 1, xác định giá trị của K 1 sao cho phần trăm quá mức của hệ thống vào khoảng 20% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Bài 10.2 . Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: )4)(2( )( ++ = sss K sG Chúng ta mong muốn thiết kế một hệ thống có tần số tự nhiên và tỷ số cản của cặp nghiệm phức trội là ω n = 3 và ζ = 0,5 cùng với hằng số sai số K v = 2,7. Xác định hàm chuyển thích hợp cho một mạch bù để hệ thống thỏa mãn được những yêu cầu kể trên. Bài 10.3 . Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: )1 200 )(1 100 ( 900.15 )( ++ = ss s sG Một mạch bù có hàm chuyển G c (s) = K 1 + K 2 s được sử dụng để hàm chuyển G c (i ω )G(i ω )H(i ω ) có logarit độ lớn bằng 0dB tại tần số ω c = 500rad/s và dự trữ pha của hệ thống bằng 45 o . Tính K 1 và K 2 . Bài 10.4 . Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình (bao gồm cả trễ) là 1 )( + = − s e sG s . Một mạch bù PI có hàm chuyển như sau: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += s KsG c τ 1 1)( được sử dụng để hệ thống có phần trăm quá mức là 5% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Xác định K và τ . Bài 10.5 . Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng cho một robot lặn có quá trình được biểu diễn bằng một hàm chuyển bậc ba: )50)(10( )( ++ = sss K sG Hiệu suất nhất thời được mong muốn cho toàn bộ hệ thống là phần trăm quá mức 156 khoảng 7,5% cho tín hiệu vào nhảy bậc và thời gian quá độ khoảng 400ms. Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha thích hợp cho hệ thống nói trên và giá trị thích hợp cho K bằng phương pháp bù trong mặt phẳng s. Bài 10.6 . Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng một máy in có hàm chuyển của động cơ và bộ khuyếch đại như sau: )15)(1( 15,0 )( ++ = sss sG Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha có α = 10 để hệ thống có tần số dải thông ω B = 0,75rad/s và dự trữ pha bằng 30 o . . hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là )4( 400 )( + = ss sG . Chúng ta muốn sử dụng một bộ điều khiển PI để bù cho hệ thống. Hàm chuyển của bộ điều khiển PI. người ta thường sử dụng các bộ điều khiển PID để điều khiển những quá trình quá phức tạp để có thể thiết lập được các mô hình toán h ọc chính xác, thường là các quá trình phi tuyến và đa biến trong các hệ thống điều khiển công nghiệp, là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-đạo hàm (proportional-integral-derivative controller hay PID controller), hay còn gọi là bộ điều khiển ba phương thức