87 2 )10( 20 )( + + = ss s sG G(s) R(s) C(s) K _ + Hãy xác định khoảng giá trị K để hệ thống ổn định. Bài 6.5 . Một hệ thống được biểu diễn bằng phương trình vi phân BuAx x += dt d của vector trạng thái x, trong đó ma trận A được cho như sau: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− = 21 100 010 k A Hãy xác định khoảng giá trị của k để hệ thống ổn định. Bài 6.6 . Một hệ thống điều khiển đầu đọc ghi băng cassette có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới. 2 )50( 10 +s R(s) C(s) 200+s K _ + (a) Xác định khoảng giá trị của K để cho hệ thống ổn định. (b) Xác định giá trị của K để phần trăm quá mức của đáp ứng với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị vào khoảng 5%. Bài 6.7 . Hệ thống lái tự động của một tàu thủy được biểu diễn bởi phương trình vi phân của vector trạng thái như sau: )( 0 0 03,0 2,0 )( 0010 13001 0015,010 00605,0 3 tt dt d δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = − x x ở đó vector trạng thái x(t) gồm bốn biến trạng thái x 1 , x 2 , x 3 và x 4 . (a) Xác định xem hệ thống có ổn định hay không. (b) Thêm vòng phản hồi vào hệ thống, khi đó chúng ta có δ (t) = −k 1 x 1 − k 2 x 3 . Có tồn tại các giá trị của k 1 và k 2 để hệ thống ổn định hay không? 88 Chương VII PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM Tóm tắt nội dung Trong các chương trước, chúng ta đã thấy hiệu suất của hệ thống phản hồi có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số của hệ thống, và chúng ta có thể mô tả hiệu suất đó bằng vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Vì vậy, việc xác định sự thay đổi vị trí của các nghiệm đặc trưng trong mặt phẳng s khi một tham số thay đổi là rất cần thiết. Quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s có thể xác định được bằng phương pháp sử dụng đồ thị. Nội dung chương này sẽ đề cập tới các phương pháp được sử dụng để phác ra được quỹ tích của các nghiệm này. Không những có thể xác định được các nghiệm d ịch chuyển như thế nào khi một tham số thay đổi, chúng ta còn có thể biểu diễn được sự biến đổi của các nghiệm đó khi có nhiều hơn một tham số thay đổi. Điều đó cung cấp cho chúng ta khả năng thiết kế một hệ thống với nhiều tham số điều chỉnh được nhằm đạt được hiệu suất mong muốn. 7.1. Giới thiệu Tính ổn định tương đối và hiệu suất nhất thời của một hệ thống điều khiển vòng kín có liên quan trực tiếp tới vị trí các nghiệm vòng kín của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Thêm nữa, chúng ta thường cần phải điều chỉnh một vài tham số của hệ thống để có được vị trí phù hợp cho các nghiệm. Vì vậy, sẽ rất có giá trị n ếu chúng ta xác định được các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống di chuyển như thế nào trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi, nghĩa là xác định quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi. Phương pháp quỹ tích nghiệm (root locus) được Evans giới thiệu vào năm 1948 và đã được phát triển để trở thành một phương pháp được ứng dụ ng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Phương pháp quỹ tích nghiệm là một phương pháp sử dụng đồ thị để thể hiện quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi. Trong thực tiễn, phương pháp quỹ tích nghiệm cung cấp cho chúng ta một số đo độ nhạy của các nghiệm của phương trình đặc trưng đối với sự thay đổi của các tham số được xem xét. Trong phương pháp này, điều kiện Routh-Hurwitz có thể được sử dụng để xác định khoảng biến đổi được phép cho các tham số nhằm đảm bảo hệ thống luôn ổn định khi các tham số thay đổi. Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm được thiết kế để áp dụng cho các hệ thống phản hồi một vòng, phương pháp này cũng có thể áp dụng được cho các hệ th ống nhiều vòng với nhiều tham số thay đổi. 7.2. Khái niệm quỹ tích nghiệm Với hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trong Hình 7.1, phương trình đặc trưng của hệ thống là: 89 q(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (7.1) G(s) H(s) R(s) C(s) + − Hình 7.1 . Hệ thống điều khiển phản hồi Đặt F(s) = G(s)H(s), phương trình (7.1) trở thành: 1 + F(s) = 0 hay F(s) = −1 (7.2) Vì s là biến phức, hàm F(s) co thể biểu diễn dưới dạng: F(s) = r(s)cos θ (s) + ir(s)sin θ (s) (7.3) ở đó r(s) là độ lớn và θ (s) là góc cực của F(s): )]([real )]([imag arctan)( )()( sF sF s sFsr = = θ (7.4) Thay (7.3) vào phương trình (7.2), chúng ta có được phương trình sau: r(s)cos θ (s) + ir(s)sin θ (s) = −1 (7.5) Vì vậy, điều kiện cần thiết để phương trình đặc trưng của hệ thống được thỏa mãn là: r(s) = 1 (7.6) và θ (s) = (2k + 1)π (7.7) với k là một số nguyên. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ∠F(s) = θ (s). Để minh họa cho khái niệm quỹ tích nghiệm, trước hết chúng ta xem xét một hệ thống phản hồi có G(s) = 1/[s(s + a)] và H(s) = K, ở đó K là một giá trị có thể thay đổi trong khoảng từ 0 đến +∞. Trong trường hợp này, F(s) là biểu thức sau: )( )( ass K sF + = (7.8) Để thỏa mãn điều kiện (7.6), chúng ta cần phải có: 1 )( = + ass K (7.9) hay: | s || s + a | = K (7.10) Tiếp theo, chúng ta cần xem xét tới góc cực của hàm F(s). Để làm điều này, 90 chúng ta sẽ cần tới hai quy tắc sau đây: 1. Nếu f(s) = a(s)b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) + ∠b(s) (7.11) 2. Nếu f(s) = a(s)/b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) − ∠b(s) (7.12) Vì vậy, góc cực của hàm F(s) như ở (7.8) có thể biểu diễn được dưới dạng: ∠F(s) = −∠s − ∠(s + a) (7.13) Thay (7.13) vào phương trình (7.7), chúng ta có được: −∠s − ∠(s + a) = (2k + 1)π (7.14) Phương trình (7.14) chỉ có thể thỏa mãn được với k = 0 hay k = −1, nghĩa là: −∠s − ∠(s + a) = ±π (7.15) Điều kiện (7.15) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường thẳng vuông góc với trục thực và đi qua điểm −a/2. Điều kiệ n (7.10) được dùng để xác định các điểm giới hạn của quỹ tích. Khi K = 0, phương trình đặc trưng của hệ thống chính là phương trình đặc trưng của hệ thống vòng hở với các nghiệm 0 và −a. Phương trình đặc trưng có nghiệm thực khi K ≥ 0 và K ≤ a 2 /4. Khi K = a 2 /4 thì cả hai nghiệm của phương trình đều là −a/2. Quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.2. Các mũi tên trong hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi K tăng từ 0 đến +∞. 0 −a σ i ω K = 0 K = 0 − a/2 K = a 2 /4 s 1 ∠(s 1 +a) ∠ s 1 Hình 7.2. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi từ 0 đến + ∞ Để thể hiện rõ hơn khả năng của phương pháp quỹ tích nghiệm, chúng ta sẽ sử dụng lại ví dụ ở trên, nhưng với trường hợp K cố định, còn a thay đổi. Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 91 s 2 + as + K = 0 (7.16) Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz, chúng ta sẽ thấy được rằng để hệ thống ổn định thì cần có a ≥ 0. Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ tìm quỹ tích của các nghiệm khi a tăng từ 0 đến +∞. Chia hai vế của phương trình (7.16) cho s 2 + K, chúng ta có được phương trình: 01 2 = + + Ks as (7.17) Phương trình này có dạng rất giống phương trình (7.2), nghĩa là F(s) trong trường hợp này sẽ là biểu thức sau đây: Ks as sF + = 2 )( (7.18) Tương tự như trong ví dụ trên, chúng ta sẽ có được các điều kiện sau: 1 || || 2 = + Ks sa (7.19) và ∠F(s) = ∠s − ∠(s + Ki ) − ∠(s − Ki ) = ±π (7.20) Điều kiện (7.20) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường tròn có tâm là gốc của mặt phẳng s và có bán kính là K . Khi a = 0, hai nghiệm của phương trình đặc trưng là Ki± . Phương trình có nghiệm thực khi Ka 2≥ . Khi Ka 2= , hai nghiệm thực của phương trình đều là K− . Quỹ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.3. Các mũi tên trong hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi a tăng từ 0 đến + ∞. 7.3. Phương pháp quỹ tích nghiệm Trong phương pháp quỹ tích nghiệm của Evans, tác giả sử dụng một quy trình để phác họa nhanh quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống phản hồi. Trước hết, chúng ta có thể biểu diễn phương trình đặc trưng này dưới dạng của phương trình (7.2). Giả sử chúng ta cần xác định quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi một tham số K của hệ thống thay đổi từ 0 đến + ∞. Để sử dụng được quy trình này, F(s) cần phải biểu diễn được dưới dạng tích của tham số K và một biểu thức: F(s) = KP(s). Bước tiếp theo là chuyển biểu thức P(s) về dạng các điểm không và điểm cực: ∏ ∏ = = − − = N j j M i i ps zs sP 1 1 )( )( )( (7.21) 92 Khi đó, chúng ta có thể viết lại phương trình đặc trưng của hệ thống dưới dạng như sau: 0)()( 11 =−+− ∏∏ == M i i N j j zsKps (7.22) 0 Ki+ σ i ω a = 0 Hình 7.3. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi từ 0 đến + ∞ Ki− K− a = 0 Ka 2= Khi K = 0, các nghiệm của phương trình đặc trưng chính là các điểm cực của P(s). Còn khi K tiến tới + ∞ thì các nghiệm của phương trình đặc trưng tiến tới các điểm không của P(s). Vì vậy, quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ bắt đầu tại các điểm cực của P(s) và kết thúc tại các điểm không cũng của P(s) khi tham số K tăng từ 0 đến + ∞ (nếu không có điểm không tương ứng thì đường quỹ tích sẽ tiến tới vô cùng). Số đường quỹ tích, tương ứng với số nghiệm của phương trình đặc trưng, đúng bằng số điểm cực của P(s) nếu P(s) có số điểm cực lớn hơn hoặc bằng số điểm không. Còn nếu P(s) có số điểm cực ít hơn số điểm không thì số đường quỹ tích sẽ bằng số điểm không. Chú ý rằng, đồ thị quỹ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống luôn đối xứng qua trục thực vì các nghiệm phức của phương trình đặc trưng luôn là các cặp liên hợp của nhau. Một điểm cần biết nữa là phần qu ỹ tích trên trục thực của các nghiệm luôn nằm trong các đoạn của trục thực ngay phía bên trái của các điểm cực hay điểm không của P(s) có thứ tự lẻ (không phân biệt điểm không và điểm cực) tính từ phải sang trái. Điều này được minh họa trong Hình 7.4. Nếu số điểm không của P(s) ít hơn số điểm cực, một số đườ ng quỹ tích sẽ kết thúc tại các điểm không ở vô cùng dọc theo các đường tiệm cận (asymptote). Tất cả các đường tiệm cận này đều xuất phát từ một điểm trên trục thực có tọa độ σ a được xác định như sau: 93 MN zp M i i N j j a − − = ∑∑ == 11 σ (7.23) Góc của các đường tiệm cận này được tính như sau: )1( 2, , 1, 0, , )12( −−= − + = MNk MN k k a π φ (7.24) × o × × × o − điểm không × − điểm cực Các đoạn của quỹ tích nghiệm Hình 7.4. Phần quỹ tích trên trục thực của các nghiệm Khi K có một giá trị làm phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực, đường quỹ tích nghiệm sẽ rời khỏi trục thực tại điểm trên trục thực có tọa độ bằng giá trị các nghiệm kép đó. Điểm này được gọi là điểm thoát (breakaway point) của quỹ tích. Một loại điểm quan trọng nữa là giao điểm của quỹ tích nghiệm vớ i trục ảo của mặt phẳng s. Giao điểm này có thể xác định được bằng cách sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để tìm giá trị của K ở đó hệ thống bắt đầu chuyển từ trạng thái ổn định sang bất ổn định và xác định các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trên trục ảo ứng với giá trị K đó. Ngoài ra, sẽ rất hữu ích cho việc phác họa quỹ tích nghiệm nếu chúng ta xác định được góc của đường quỹ tích tại điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Các góc này có thể tính được bằng cách sử dụng điều kiện (7.7). Tóm lại, các bước được sử dụng để ước lượng quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bao gồ m: 1. Biến đổi phương trình đặc trưng về dạng 1 + KP(s) = 0, ở đó K là tham số có giá trị thay đổi. 2. Xác định vị trí các điểm cực và điểm không của P(s) trong mặt phẳng s. 3. Xác định các đoạn của các đường quỹ tích nghiệm nằm trên trục thực. 4. Xác định số đường quỹ tích. 5. Xác định điểm gốc của các đường tiệm cận và góc của các đường tiệm cận. 6. Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực nếu có. 7. Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để xác định giao điểm của quỹ tích và trục ảo nếu có. 8. Xác định góc của các đường quỹ tích tại các điểm khởi đầu và kết thúc.  Ví dụ 7.1 Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau: 94 0 )4)(2( )1( 1 2 = ++ + + sss sK (7.25) Các đoạn của quỹ tích nằm trên trục thực là [ −1,0], [−4,−2] và [−∞,−4], vì tại điểm s = −4 có hai điểm cực. Số đường quỹ tích trong trường hợp này sẽ bằng số điểm cực của P(s), nghĩa là bằng bốn. Quỹ tích có ba đường tiệm cận với điểm gốc trên trục thực của các đường tiệm cận này là: 3 14 )1()4(2)2(0 −= − − − − + − + = a σ (7.26) Góc của ba đường tiệm cận lần lượt là: 3 π5 14 π5 π 14 π3 3 π 14 π 3 2 1 = − = = − = = − = a a a φ φ φ (7.27) Để tìm điểm thoát của quỹ tích, trước hết cần biến đổi phương trình (7.25) về dạng: 1 )4)(2( 2 + ++ −= s sss K (7.28) Điểm thoát của quỹ tích là tại điểm trên trục thực có giá trị của s thỏa mãn điều kiện sau đây: 0= ds dK (7.29) hay: 3s 4 + 24s 3 + 62s 2 + 64s + 32 = 0 (7.30) Phương trình (7.30) có bốn nghiệm, nhưng chỉ có hai nghiệm thực là s = −2,6 và s = −4. Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy được ngay là khi s = −4 thì K = 0, phương trình đặc trưng bị triệt tiêu thành một đẳng thức, nên điểm s = −4 không thể là điểm thoát của quỹ tích. Vì vậy, điểm thoát của quỹ tích trên trục thực là điểm có giá trị s = −2,6. Còn để xác định các điểm giao của quỹ tích với trục ảo, chúng ta sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz và tính ra được quỹ tích cắt trục ảo tại hai điểm có các giá trị là s = ±i4,86. Từ các giá trị tính được, chúng ta có thể phác họa được quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi (Hình 7.5). 7.4. Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm Phương pháp quỹ tích nghiệm vốn được phát triển với mục đích xác định quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi khi hệ số phản hồi K thay đổi từ 0 đến + ∞. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, ảnh hưởng 95 của các tham số khác của hệ thống cũng có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm. Câu hỏi được đặt ra là: bằng cách nào chúng ta có thể nghiên cứu hoạt động của hệ thống khi có nhiều tham số thay đổi chứ không phải chỉ có một. Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm là phương pháp một tham số, nó có thể được mở rộng để áp dụng cho trường hợp có h ơn một tham số thay đổi. Đây là phương pháp thiết kế tham số (parameter design), sử dụng quỹ tích nghiệm để lựa chọn giá trị cho các tham số. 0 σ i ω Hình 7.5. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng trong ví dụ 7.1 × o × × − 1 − 2 − 4 − 3 o − điểm không × − điểm cực Giả sử chúng ta cần xem xét tác động của sự thay đổi của hai tham số α và β của một hệ thống phản hồi. Để làm điều đó, chúng ta cần thực hiện phương pháp quỹ tích nghiệm hai lượt. Trong lượt đầu tiên, đặt β = 0 và vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng với α thay đổi. Sau khi đã đánh giá được tác động của α , chọn một giá trị thích hợp cho α và thực hiện phương pháp quỹ tích nghiệm một lần nữa với β thay đổi để chọn được giá trị phù hợp cho β . Tương tự như thế, chúng ta có thể mở rộng phương pháp quỹ tích nghiệm để áp dụng trong các trường hợp hệ thống có nhiều hơn hai tham số thay đổi. 7.5. Độ nhạy và quỹ tích nghiệm Như chúng ta đã tìm hiểu trong Chương IV, tác động của sự biến thiên của các tham số tới đáp ứng của hệ thống có thể mô tả được bằng số đo độ nhạy (sensitivity) của hệ thống đối với sự thay đổi của một tham số: KK TT K T S T K ∂ ∂ = ∂ ∂ = ln ln (7.31) 96 trong đó T(s) là hàm chuyển của cả hệ thống và K là tham số được xem xét. Bởi vì nghiệm của phương trình đặc trưng quyết định dạng của đáp ứng nhất thời của hệ thống, tác động của sự biến thiên của tham số tới vị trí của các nghiệm là một số đo độ nhạy quan trọng. Khái niệm độ nhạy của nghiệ m (root sensitivity) của một hệ thống được định nghĩa như sau: KK p K p S jj p K j ∂ ∂ = ∂ ∂ = ln (7.32) ở đó p j là nghiệm thứ j của phương trình đặc trưng của T(s): ∏ ∏ = = − − = N j j M i i ps zsA sT 1 1 )( )( )( (7.33) Độ nhạy T K S khi đó có thể khai triển được như sau: ∑∑ == − ⋅ ∂ ∂ − − ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = N j j j M i i i T K psK p zsK z K A K T S 11 1 ln 1 lnln ln ln ln (7.34) Do hai tham số A và K độc lập với nhau và giả thiết là các điểm không của T(s) độc lập với tham số K, nghĩa là: 0 1 ln 0 ln ln 1 = − ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = M i i i zsK z K A (7.35) Từ (7.34) và (7.35), chúng ta có được: ∑∑ == − −= − ⋅ ∂ ∂ −= N j j p K N j j j T K ps S psK p S j 11 1 ln (7.36) Độ nhạy của nghiệm j p K S có thể đánh giá được bằng cách xem xét đường cong tại nghiệm s = p j của quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của T(s) khi K thay đổi. Số đo độ nhạy của nghiệm đối với sự biến thiên của một tham số rất có giá trị trong việc so sánh độ nhạy của nhiều tham số thiết kế tại các giá trị nghiệm khác nhau. Để sử dụng được độ nhạy của nghiệm cho việc phân tích và thiết k ế các hệ thống điều khiển, một loạt phép tính toán phải được thực hiện cho các giá trị khác nhau của các điểm không và điểm cực của hàm chuyển. Vì vậy, việc sử dụng độ nhạy của nghiệm như một kỹ thuật thiết kế phần nào bị hạn chế do khối lượng tính toán lớn trong khi thiếu một chỉ dẫn rõ ràng cho việc điều chỉnh các tham số để làm giảm độ nhạy. Tuy nhiên, độ nhạy của nghiệm có thể sử dụng . thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trong Hình 7.1, phương trình đặc trưng của hệ thống là: 89 q(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (7.1) G(s) H(s) R(s) C(s) + − Hình 7.1 . Hệ thống điều khiển. (root locus) được Evans giới thiệu vào năm 194 8 và đã được phát triển để trở thành một phương pháp được ứng dụ ng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Phương pháp quỹ tích nghiệm là một phương. của một hệ thống điều khiển vòng kín có liên quan trực tiếp tới vị trí các nghiệm vòng kín của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Thêm nữa, chúng ta thường cần phải điều chỉnh một vài