77 ở đó: ∏ ∏ = = → − − == Q j j M i i s p p z KsGK 1 1 0 )(lim (5.37) được gọi là hằng số sai số vị trí (position error constant). o Hệ thống có N ≥ 1: 0 )()( lim 11 0 = −−+ = ∏∏ == → Q j j M i i N N s ss pszsKs As e (5.38) − Tín hiệu dốc r(t) = At: )( lim )( lim )(1 )( lim 00 2 0 ssG A ssGs A sG sAs e sss ss →→→ = + = + = (5.39) o Hệ thống kiểu-0: ∞= −− = ∏∏ == → Q j j M i i s ss pszssK A e 11 0 )()( lim (5.40) o Hệ thống kiểu-1 (type-one): v Q j j M i i s ss K A pszsK A e = −− = ∏∏ == → 11 0 )()( lim (5.41) ở đó: ∏ ∏ = = → − − == Q j j M i i s v p z KssGK 1 1 0 )(lim (5.42) được gọi là hằng số sai số vận tốc (velocity error constant). o Hệ thống có N ≥ 2: 0 )()( lim 11 1 0 = −− = ∏∏ == − → Q j j M i i N s ss pszsK As e (5.43) 78 − Tín hiệu parabol, còn gọi là tín hiệu gia tốc (acceleration) r(t) = At 2 /2: )( lim )( lim )(1 )( lim 2 0 22 0 3 0 sGs A sGss A sG sAs e sss ss →→→ = + = + = (5.44) o Hệ thống có N < 2: ∞= −− = ∏∏ == − → Q j j M i i N s ss pszsKs A e 11 2 0 )()( lim (5.40) o Hệ thống kiểu-2 (type-two): a Q j j M i i s ss K A pszsK A e = −− = ∏∏ == → 11 0 )()( lim (5.41) ở đó: ∏ ∏ = = → − − == Q j j M i i s a p z KsGsK 1 1 2 0 )(lim (5.42) được gọi là hằng số sai số gia tốc (acceleration error constant). o Hệ thống có N ≥ 3: 0 )()( lim 11 2 0 = −− = ∏∏ == − → Q j j M i i N s ss pszsK As e (5.43) Các hệ thống điều khiển thường được mô tả bằng số định kiểu và các hằng số sai số của chúng. Chú ý rằng, các hằng số sai số K p , K v và K a tuy được định nghĩa khác nhau nhưng có giá trị như nhau, nên có thể gọi chung là hằng số sai số. Bài tập Bài 5.1. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là )4( 6 )( + + = ss s sG . (a) Xác định hàm chuyển của hệ thống vòng kín. (b) Tính đáp ứng theo thời gian của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc có độ lớn bằng A. (c) Xác định giá trị phần trăm quá mức của đáp ứng. (d) Tính giá trị ở trạng thái thường trực của đáp ứng. 79 Bài 5.2. Hệ thống điều khiển đầu đọc/ghi của một ổ đĩa máy tính có hàm chuyển vòng kín như sau: )13,0)(25,0( )8,0(313,0 )( 2 +++ + = sss s sT (a) Vẽ các điểm cực và điểm không của hệ thống. (b) Ước lượng giá trị phần trăm quá mức của đáp ứng khi tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc. Bài 5.3 . Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là )2( )( + = ss K sG . Đáp ứng được mong muốn cho hệ thống khi tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc được mô tả bằng hai giá trị: thời gian tới đỉnh T p = 1s và phần trăm quá mức P o = 5%. (a) Có tồn tại giá trị của K để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn được hai yêu cầu trên hay không? (b) Nếu không tồn tại giá trị của K để cả hai yêu cầu trên được thỏa mãn đồng thời, xác định giá trị của K để để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn được hai yêu cầu đã được nới lỏng với cùng một tỷ lệ như nhau. Bài 5.4 . Một hệ thống phản hồi đơn vị âm đơn giản có hàm chuyển của quá trình là G(s) = K/s. Tín hiệu vào của hệ thống là một hàm nhảy bậc có độ lớn bằng A. Điều kiện khởi đầu của hệ thống tại thời điểm t 0 là c(t 0 ) = Q, ở đó c(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Định nghĩa một chỉ số hiệu suất I như sau: ∫ ∞ = 0 2 )( dtteI (a) Chứng tỏ rằng I = (A − Q) 2 /(2K). (b) Xác định K để chỉ số hiệu suất I đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5.5 . Một bộ khuyếch đại từ với trở kháng đầu ra thấp mắc nối tiếp với một bộ tiền khuyếch đại và một mạch lọc thông thấp như trong hình dưới. Bộ tiền khuyếch đại có trở kháng đầu vào cao và hệ số khuyếch đại bằng một, được dùng để cộng tín hiệu. 1 20 +s v vào v ra + − R = 50 Ω C Khuyếch đại từ (a) Chọn giá trị cho tụ điện C để hệ thống có tỷ số cản bằng 0,7. (b) Tính thời gian quá độ T s của hệ thống. 80 Chương VI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THỐNG PHẢN HỒI TUYẾN TÍNH Tóm tắt nội dung Một hệ thống thiếu ổn định sẽ dẫn đến những sai số và sai lầm trong đáp ứng. Vì vậy chúng ta luôn phải tìm cách đảm bảo sao cho hệ thống ổn định và có đáp ứng nằm trong một khoảng xác định. Tính ổn định của một hệ thống phản hồi liên quan đến vị trí của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hàm chuyển của hệ th ống. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định xem một hệ thống có ổn định hay không và ổn định ở mức độ nào. Ngoài phương pháp sử dụng vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng, chúng ta sẽ xem xét cả một phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống không dùng đến vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng mà sử dụng các hệ số đa thức củ a phương trình đặc trưng. Các phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống được biểu diễn bằng mô hình biến trạng thái cũng sẽ được đề cập tới. 6.1. Khái niệm về tính ổn định Một đặc tính rất quan trọng của hiệu suất nhất thời của một hệ thống là tính ổn định (stability) của hệ thống. Một hệ thống ổn định được định nghĩa là một hệ thống có đáp ứng luôn nằm trong một khoảng xác định. Điều đó có nghĩa là, nếu các tín hiệu vào và nhiễu tác động tới hệ thống đều nằm trong những khoảng xác định và đáp ứng của hệ thống có độ lớn nằm trong một khoảng xác định, thì hệ thống được coi là ổn định. Khái niệm tính ổn định có thể minh họa được bằng việc đặt một vật thể hình nón trên mặt phẳng ngang. Nếu hình nón nằm trên đáy của nó, hình nón sẽ luôn có xu hướng trở về trạng thái cần bằng khi chúng ta tác dụng một lự c làm nó nghiêng đi một chút. Vị trí và đáp ứng trong trường hợp này được gọi là ổn định. Nếu hình nón nằm trên cạnh, nó sẽ lăn khi chúng ta tác động vào, nhưng vẫn tiếp tục nằm trên cạnh. Vị trí này được gọi là vị trí ổn định trung tính. Nếu chúng ta đặt hình nón trên đỉnh của nó, hình nón sẽ đổ xuống cạnh nếu không được giữ. Vị trí này được gọi là không ổn định. Tính ổn định củ a một hệ thống động cũng được định nghĩa một cách tương tự. Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào hay một điều kiện ban đầu sẽ có dạng giảm dần, trung tính (không thay đổi), hay tăng dần theo thời gian. Đặc biệt, theo định nghĩa của tính ổn định, một hệ thống tuyến tính ổn định khi và chỉ khi tích phân ∫ ∞ 0 )( dtty , với y(t) là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị, phải hữu hạn. Vị trí các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống trong mặt 81 phẳng s cũng chỉ ra tính ổn định của đáp ứng nhất thời. Hệ thống có các điểm cực đều nằm ở bên trái trục ảo sẽ có đáp ứng giảm dần, trong khi hệ thống có các điểm cực nằm bên phải trục ảo có đáp ứng trung tính hoặc tăng dần. Như vậy, để có được một hệ thống ổn định, các đ iểm cực của hàm chuyển của hệ thống cần phải nằm ở bên trái của trục ảo trong mặt phẳng s. Với các hệ thống tuyến tính, chúng ta nhận thấy rằng, yêu cầu về tính ổn định có thể định nghĩa được dưới dạng vị trí của các điểm cực của hàm chuyển vòng kín. Hàm chuyển của một hệ thống vòng kín có thể biểu di ễn được dưới dạng sau: ∑∑ ∏∏ ∏ == == = +++ + + = ++++ + = = Q k R m mmm m k k Q k R m mmmk M i i ss B s A sss zsK sq sp sT 11 222 11 222 1 2 )2()( )( )( )( )( ωαα σ ωαασ (6.1) Thực hiện biến đổi Laplace nghịch của phương trình (6.1), chúng ta có được đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị sẽ có dạng: ∑∑ = − = − += R m m t m m Q k t k te B eAtc mk 11 )sin()( ω ω ασ (6.2) Để đáp ứng của hệ thống được giới hạn trong một khoảng xác định, điều kiện cần và đủ là ∀k: σ k > 0 và ∀m: α m > 0. Điều đó có nghĩa là, tất cả các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống cần phải nằm ở nửa bên trái trục ảo của mặt phẳng s. Như vậy, điều kiện cần và đủ để một hệ thống điều khiển phản hồi ổn định là tất cả các điểm cực củ a hàm chuyển của hệ thống đều có phần thực mang giá trị âm. Chúng ta có thể xác định xem một hệ thống có ổn định hay không bằng cách giải phương trình đặc trưng của hệ thống để tìm các nghiệm của nó. Tuy nhiên, nếu chỉ để trả lời câu hỏi hệ thống có ổn định hay không thì việc đó là quá thừa. Sau đây, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp để xác định tính ổn định của hệ thống mà không cần phải giải phương trình đặc trưng. 6.2. Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz Một phương pháp xác định tính ổn định của các hệ thống tuyến tính được A. Hurwitz và E.J. Routh nghiên cứu và công bố độc lập với nhau vào cuối thế kỷ 19. Phương pháp Routh-Hurwitz đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về tính ổn định bằng cách xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống. Phương trình đặc trưng của hệ thống có thể viết được dưới dạng sau: 0 )( 1 1 10 =++++= − − nn nn asasasasq (6.3) 82 Thiết lập bảng Routh-Hurwitz từ các hệ số của đa thức q(s): − Bước 1: điền hai hàng đầu tiên của bảng Nếu n chẵn: s n a 0 a 2 a 4 a n s n−1 a 1 a 3 a 5 0 Nếu n lẻ: s n a 0 a 2 a 4 a n−1 s n−1 a 1 a 3 a 5 a n − Bước 2: điền các hàng từ 3 đến n+1 Giả sử hàng thứ k−2 và k−1 đã được điền: s n−k+3 x 1 x i x i+1 s n−k+2 y 1 y i x i+1 Điền tiếp hàng thứ k: s n−k+1 z i 0 ở đó: 11 11 11 1111 1 + + ++ −= − = i i ii i yy xx yy yxyx z (6.4) Điều kiện Routh-Hurwitz được phát biểu như sau: Số nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương đúng bằng số lần đổi dấu của các phần tử trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz. Điều đó có nghĩa là, điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đị nh là tất cả các phần tử của cột thứ nhất trong bảng Routh- Hurwitz đều có cùng dấu. Chúng ta cần xét đến hai trường hợp đặc biệt xảy ra khi trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz có ít nhất một phần tử bằng không: − Nếu một phần tử của cột thứ nhất bằng không, nhưng trong các phần tử cùng hàng với nó có ít nhất một phần tử khác không: trong trường hợp này hệ thống không ổn định. − Nếu mọi phần tử cùng hàng với một phần tử có giá trị bằng không ở cột thứ nhất đều bằng không: giả sử tất cả các phần tử ở hàng thứ k đều bằng không. Điều đó có nghĩa là tất cả các phần tử trong bảng từ hàng thứ k trở đi đều bằng không. Trường hợp này xảy ra khi phương trình đặc trưng có các nghiệm nằm trên trục ảo của mặt phẳng s và đối xứng nhau qua tâm của trục tọa độ phức. Các nghiệm này chính là nghiệm của một phương trình phụ được thiết lập từ các phần tử ở hàng ngay trên của hàng đầu tiên toàn giá trị không, tức là hàng thứ k−1: 0 )( 2 32 2 1 =+++= −−−+− knknkn sysysysU (6.5) Khi đó, chúng ta sẽ xác định tính ổn định của hệ thống qua các nghiệm còn lại của phương trình đặc trưng bằng cách áp dụng điều kiện Routh- Hurwitz cho phương trình sau: 0 )( )( = sU sq (6.6) 83  Ví dụ 6.1 Xem xét một hệ thống điều khiển tay máy có phương trình đặc trưng như sau: q(s) = s 5 + s 4 + 4s 3 + 24s 2 + 3s + 63 = 0 (6.7) Bảng Routh-Hurwitz cho q(s) được thiết lập dưới đây: s 5 143 s 4 12463 s 3 -20 -60 0 s 2 21 63 0 s 1 000 s 0 000 Phương trình phụ trong trường hợp này là: U(s) = 21s 2 + 63 = 0 (6.8) Nghiệm của phương trình phụ là 3is ±= , là hai nghiệm đối xứng nhau trên trục ảo. Chúng ta sẽ xem xét các nghiệm còn lại của phương trình sau: 0)21( 21 1 )( )( 23 =+++= sss sU sq (6.9) hay: 021 23 =+++ sss (6.10) Chúng ta có được bảng Routh-Hurwitz của phương trình (6.10): s 3 11 s 2 121 s 1 -20 0 s 0 21 0 Trong bảng này, chúng ta thấy có hai lần đổi dấu ở cột thứ nhất, tức là phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm với phần thực lớn hơn không. Vì vậy hệ thống chúng ta đang xem xét không ổn định.  Ví dụ 6.2 Một ổ đĩa máy tính có sơ đồ khối được biểu diễn trong Hình 6.1, ở đó G(s) là hàm chuyển thể hiện động lực của cơ cấu đầu đọc ghi và D(s) là hàm chuyển của bộ phận điều khiển: )3)(2( 1 )( ++ = sss sG (6.11) 1 )( )( + + = s asK sD (6.12) Chúng ta tính được phương trình đặc trưng của hệ thống: q(s) = s 4 + 6 s 3 + 11 s 2 + (K+6)s + Ka = 0 (6.13) Bảng Routh-Hurwitz của phương trình này được thiết lập dưới đây: 84 s 4 111 Ka s 3 6K+6 0 s 2 6 10 K − Ka 0 s 1 K Ka K − −+ 60 36 6 00 s 0 Ka 00 G(s) R(s) C(s) D(s) _ + Hình 6.1. Sơ đồ khối của hệ thống trong ví dụ 6.2 Theo điều kiện Routh-Hurwitz, điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là: 0 6 10 >− K hay K < 60 (6.14) và 0 60 36 6 > − −+ K Ka K hay K KK a 36 )6)(60( + − < (6.15) và Ka > 0 (6.16) 6.3. Tính ổn định của hệ thống trong miền thời gian Như chúng ta đã trình bày ở Chương III, một hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn được dưới dạng phương trình vi phân bậc nhất của vector trạng thái: BuAx x += dt d (6.17) Đáp ứng của hệ thống khi đó sẽ là: y = Cx + Du (6.18) Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.17), chúng ta có được: s X(s) = AX(s) + BU(s) (6.19) hay: X(s) = (sI − A) −1 BU(s) (6.20) trong đó I là ma trận đơn vị có kích thước bằng kích thước của ma trận A. Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.18), chúng ta có được: Y(s) = CX(s) + DU(s) (6.21) Thay (6.20) vào (6.21): 85 )(])([)( 1 sss UDBAICY +−= − (6.22) Ma trận nghịch đảo của một ma trận M được tính bằng công thức sau: )det( )(adj 1 M M M = − (6.23) ở đó, adj( M) là ma trận liên hợp của M và det(M) là định thức của ma trận M. Áp dụng công thức này, phương trình (6.22) trở thành: )( )det( )(adj )( s s s s UD AI BAIC Y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = (6.24) Phương trình (6.24) thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống trong miền tần số, vì vậy phương trình đặc trưng của hệ thống là: q(s) = det(s I − A) = 0 (6.25) Như vậy, để khảo sát tính ổn định của hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái, chúng ta có thể dùng điều kiện Routh- Hurwitz cho phương trình đặc trưng (6.25). Các nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận A. Một phương pháp đơn giản hơn để xác định tính ổn định của hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái là sử dụng định lý Lyapunov. Định lý Lyapunov được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để tất cả các giá trị riêng của một ma trận A đều có phần thực âm là nghiệm của phương trình sau phải là một ma trận xác định dương đối xứng: A T X + XA = −N (6.26) ở đó, A T là ma trận chuyển vị của ma trận A, N là một ma trận xác định dương đối xứng bất kỳ, còn ma trận X là ẩn của phương trình. Ma trận xác định dương đối xứng (symmetric positive definite matrix) là ma trận đối xứng có các giá trị riêng đều lớn hơn không. Cách dễ nhất để kiểm tra xem một ma trận đối xứng có phải là ma trận xác định dương đối xứng hay không là kiểm tra các định thức con chính (principal minor) của ma trận. Nếu tất cả các định thức con chính của một ma trận đối xứng đề u lớn hơn không, ma trận đó là ma trận xác định dương đối xứng.  Ví dụ 6.3 Một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái với ma trận A được cho như sau: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ab ba A (6.27) Để xác định tính ổn định của hệ thống, chúng ta lấy ma trận ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 10 01 N và giải phương trình sau: 86 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −− 10 01 2221 1211 2221 1211 ab ba xx xx xx xx ab ba (6.28) trong đó x 12 = x 21 . Nghiệm của phương trình (6.28) là: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a a 2 1 0 0 2 1 X (6.29) Các định thức con chính của X là 1/(2a) và 1/(4a 2 ). Vì vậy, điều kiện để hệ thống ổn định là 1/(2a) > 0 hay a > 0. 6.4. Tính ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển phản hồi Các phương pháp của Routh-Hurwitz và Lyapunov cho phép chúng ta xác định tính ổn định tuyệt đối của hệ thống. Tuy nhiên, với một hệ thống ổn định, chúng ta có thể còn mong muốn xác định tính ổn định tương đối của nó. Tính ổn định tương đối (relative stability) của một hệ thống có thể được định nghĩa như một thuộc tính đo được bằng thời gian quá độ tương đối c ủa mỗi nghiệm hay mỗi cặp nghiệm đối xứng nhau qua trục thực của phương trình đặc trưng của hệ thống. Vì vậy, tính ổn định tương đối của hệ thống được biểu diễn bởi phần thực của mỗi nghiệm hay cặp nghiệm đối xứng. Nghiệm có phần thực càng gần giá trị không thì thời gian quá độ tương đối của nó càng lớ n, nghĩa là tính ổn định tương đối của nó càng thấp. Ngoài ra, tính ổn định tương đối của hệ thống còn có thể được định nghĩa bằng tỷ số cản tương đối của mỗi cặp nghiệm phức hay tốc độ đáp ứng tương đối và phần trăm quá mức tương đối thay cho thời gian quá độ tương đối. Bài tập Bài 6.1. Một hệ thống có phương trình đặc trưng như sau: s 3 + 3Ks 2 + (2+K)s + 4 = 0 Hãy xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định. Bài 6.2 . Một hệ thống có phương trình đặc trưng như sau: s 3 + 9s 2 + 26s + 24 = 0 Dùng điều kiện Routh-Hurwitz để chứng tỏ rằng hệ thống này ổn định. Bài 6.3 . Một hệ thống điều khiển có sơ đồ khối được thể hiện trong hình vẽ dưới. Hãy xác định giá trị của K mà tại đó hệ thống bắt đầu không ổn định. + R ( s ) + − C ( s ) 1 2 +s )2( +ss K − Bài 6.4 . Một hệ thống điều khiển phản hồi có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó hàm chuyển của quá trình được cho như sau: . phương trình đặc trưng bằng cách áp dụng điều kiện Routh- Hurwitz cho phương trình sau: 0 )( )( = sU sq (6.6) 83  Ví dụ 6.1 Xem xét một hệ thống điều khiển tay máy có phương trình đặc. của hệ thống cần phải nằm ở nửa bên trái trục ảo của mặt phẳng s. Như vậy, điều kiện cần và đủ để một hệ thống điều khiển phản hồi ổn định là tất cả các điểm cực củ a hàm chuyển của hệ thống. cách xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống. Phương trình đặc trưng của hệ thống có thể viết được dưới dạng sau: 0 )( 1 1 10 =++++= − − nn nn asasasasq (6.3) 82 Thiết lập bảng Routh-Hurwitz