34 và các biến vào của hệ thống. Hơn nữa, việc sử dụng sơ đồ khối cho phép chúng ta hình dung được các khả năng sửa đổi sơ đồ khối bằng cách thêm các khối vào sơ đồ đang có nhằm làm thay đổi và tăng hiệu suất của hệ thống. G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 H 2 /G 4 H 3 + − + + + − R ( s ) C ( s ) (a) G 1 G 2 143 43 1 HGG GG − H 2 /G 4 H 3 + − + − R ( s ) C ( s ) (b) G 1 232143 432 1 HGGHGG GGG +− H 3 + − R ( s ) C ( s ) (c) 34321232143 4321 1 HGGGGHGGHGG GGGG ++− R ( s ) C ( s ) (d) Hình 2.16(a) − (d). Các bước rút gọn sơ đồ khối của hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng trong Hình 2.15 2.7. Mô hình lưu đồ tín hiệu Các mô hình sơ đồ khối đủ để biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến cần điều khiển và các biến vào của hệ thống. Tuy nhiên, với các hệ thống tương đối phức tạp, việc thực hiện thủ tục rút gọn sơ đồ khối khá là rắc rối và thường rất khó hoàn thành trọn vẹn. Một lựa chọn khác cho việc xác định mối quan hệ giữ a các 35 biến của hệ thống là phương pháp biểu diễn hệ thống bằng đồ thị, được phát triển bởi Mason và được gọi là phương pháp lưu đồ tín hiệu. Điểm mạnh của phương pháp này là ở công thức tính gia lượng (gain) của lưu đồ, cho phép xác định quan hệ giữa các biến hệ thống mà không cần tới việc rút gọn hay biến đổi lưu đồ. Vi ệc chuyển đổi từ dạng biểu diễn sơ đồ khối sang dạng đồ thị khá đơn giản. Lưu đồ tín hiệu (signal-flow graph) là một đồ thị có nhiều nút được nối với nhau bởi các nhánh có hướng nhằm biểu diễn một tập hợp các quan hệ tuyến tính. Lưu đồ tín hiệu đặc biệt hữu ích cho các hệ thống điều khiển phản hồi b ởi vì mối quan tâm chủ yếu của lý thuyết phản hồi là sự lưu chuyển và xử lý tín hiệu trong các hệ thống. Phần tử cơ sở của một lưu đồ tín hiệu là một đoạn đơn hướng được gọi là nhánh (branch), biểu thị sự phụ thuộc giữa một biến vào và một biến ra, tương tự như một khối trong sơ đồ khối. Các điểm vào và ra hay các điểm chuyển tiếp được gọi là các nút (node). Một lưu đồ tương đương với sơ đồ khối trong Hình 2.12 được thể hiện trong Hình 2.17. Tất cả các nhánh xuất phát từ một nút sẽ chuyển tín hiệu của nút đó tới nút ra của mỗi nhánh. Tín hiệu tại mỗi nút, trừ các nút tín hiệu vào, là tổng của tín hiệu do tất cả các nhánh đi vào nút đ ó mang tới. Một đường dẫn (path) là một nhánh hay một chuỗi liên tiếp các nhánh theo đó có thể đi từ một nút (tín hiệu) tới một nút (tín hiệu) khác. Một vòng (loop) là một đường dẫn đóng kín xuất phát và kết thúc tại cùng một nút và trên đường dẫn đó không có nút nào được đi qua hơn một lần. R 1 (s) R 2 (s) C 1 (s) C 2 (s) G 11 (s) G 22 (s) G 21 (s) G 12 (s) Hình 2.17. Đồ thị dòng tín hiệu của một hệ thống liên kết Lưu đồ chính là một phương pháp trực quan để biểu diễn các hệ phương trình đại số, nhằm thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến. Để làm ví dụ, xem xét hệ phương trình đại số sau đây: a 11 x 1 + a 12 x 2 + r 1 = x 1 (2.73) a 21 x 1 + a 22 x 2 + r 2 = x 2 (2.74) ở đó r 1 , r 2 là các biến vào và x 1 , x 2 là các biến ra. Lưu đồ biểu diễn hệ phương trình trên được thể hiện trong Hình 2.18. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (1 − a 11 )x 1 + (−a 12 )x 2 = r 1 (2.75) ( −a 21 )x 1 + (1 − a 22 )x 2 = r 2 (2.76) Nghiệm của hệ phương trình: 2 12 1 22 21122211 212122 1 1 )1)(1( )1( r a r a aaaa rara x ∆ + ∆ − = −−− + − = (2.77) 36 2 11 1 21 21122211 121211 2 1 )1)(1( )1( r a r a aaaa rara x ∆ − + ∆ = −−− + − = (2.78) ở đó ∆ là định thức của hệ phương trình (2.75)(2.76) và được tính như sau: ∆ = (1 − a 11 ) (1 − a 22 ) − a 12 a 21 = 1 − (a 11 + a 22 + a 12 a 21 ) + a 11 a 22 (2.79) Trong lưu đồ ở Hình 2.18 có tất cả ba vòng: a 11 , a 22 và a 12 a 21 , ở đó a 11 và a 22 được gọi là các vòng không cắt nhau bởi chúng không có nút nào chung. r 1 r 2 1 1 x 1 x 2 a 11 a 22 a 21 a 12 Hình 2.18. Lưu đồ của một hệ phương trình đại số Trường hợp tổng quát, sự phụ thuộc tuyến tính T ij giữa một biến độc lập r i (thường được gọi là biến vào) với một biến phụ thuộc x j được xác định bằng quy tắc vòng của Mason: ∆ ∆ = ∑ k ijij ij kk P T (2.80) ở đó: − P ij k : gia lượng của đường dẫn thứ k từ nút r i đến nút x j trong lưu đồ, được tính bằng tích các gia lượng (hay hàm chuyển) của tất cả các nhánh của đường dẫn đó − ∆: định thức của lưu đồ − ∆ ij k : định thức của lưu đồ sau khi đã loại trừ các vòng cắt với đường dẫn thứ k từ nút r i đến nút x j Phần tổng trong công thức (2.80) bao gồm tất cả các đường dẫn có thể từ nút r i đến nút x j . Giả sử lưu đồ có tất cả N vòng với gia lượng của các vòng là L 1 , L 2 , , L N , định thức của lưu đồ khi đó sẽ được tính như sau: ∑ = −=∆ N i i L 1 1 + Σ {L i L j | 2 vòng i và j không cắt nhau} − Σ {L i L j L k | 3 vòng i, j và k đôi một không cắt nhau} + 37  Ví dụ 2.5 Quay lại ví dụ 2.4, lưu đồ tín hiệu của hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng trong ví dụ đó được thể hiện trong Hình 2.19. Lưu đồ có ba vòng với gia lượng của các vòng lần lượt là L 1 = −G 2 G 3 H 2 , L 2 = G 3 G 4 H 1 và L 3 = −G 1 G 2 G 3 G 4 H 3 . Từng đôi một trong cả ba vòng này đều cắt nhau. Vì vậy, chúng ta tính được định thức của lưu đồ như sau: ∆ = 1 − (−G 2 G 3 H 2 + G 3 G 4 H 1 −G 1 G 2 G 3 G 4 H 3 ) = 1 + G 2 G 3 H 2 − G 3 G 4 H 1 + G 1 G 2 G 3 G 4 H 3 (2.81) R(s) C(s) 1 G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 − H 2 − H 3 1 1 Hình 2.19. Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng Đường dẫn duy nhất từ R(s) đến C(s) trong lưu đồ có gia lượng là: P 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 (2.82) Do đường dẫn này cắt cả ba vòng của lưu đồ, khi loại bỏ ba vòng này lưu đồ sẽ không còn vòng nào, vì vậy ∆ 1 = 1. Từ đó, chúng ta tính được hàm chuyển của hệ thống: 34321143232 4321 11 1)( )( )( HGGGGHGGHGG GGGG P sR sC sT +−+ = ∆ ∆ == (2.83) Lưu đồ tín hiệu và công thức tính gia lượng của lưu đồ có thể sử dụng được trong việc phân tích các hệ thống điều khiển phản hồi, máy tính tương tự, các mạch khuyếch đại, các hệ thống thống kê, các hệ thống cơ học, và nhiều ứng dụng khác nữa. Bài tập Bài 2.1. Một nhiệt điện trở có đáp ứng với nhiệt độ là R = R 0 e −0,1T , ở đó giá trị điện trở R 0 = 10.000Ω, R là điện trở (Ω) và T là nhiệt độ ( o C). Xác định mô hình tuyến tính của nhiệt điện trở tại T = 20 o C cho một khoảng thay đổi nhỏ của nhiệt độ. Bài 2.2 . Một máy in laser có vị trí của đầu laser được điều khiển bởi một tín hiệu vào r(t). Biến đổi Laplace của phương trình biểu diễn quan hệ giữa r(t) và vị trí y(t) của đầu laser là: )( 50060 )100(500 )( 2 sR ss s sY ++ + = (a) Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào r(t) là hàm nhảy bậc đơn vị (r(t) = 0 khi t < 0 và r(t) = 1 khi t ≥ 0). 38 (b) Xác định giá trị cuối cùng (trạng thái thường trực) của y(t) trong trường hợp (a). Bài 2.3 . Một mạch lọc có tác dụng lọc các thành phần có tần số cao (hình vẽ dưới). Xác định hàm chuyển V 2 (s)/V 1 (s). v 1 (t) v 2 (t) C 1 L C 2 Bài 2.4 . Một thiết bị phi tuyến được biểu diễn bằng phương trình y = f(x) = x . Điểm làm việc của thiết bị là tại x 0 = 0,5. Xác định xấp xỉ tuyến tính của thiết bị. Bài 2.5 . Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hoạt động của mạch điện trong hình vẽ dưới. ~ v(t) R 1 R 2 C 1 L 1 L 2 C 2 i 1 (t) i 2 (t) Bài 2.6 . Một hệ thống chống rung được thể hiện trong hình vẽ dưới. Khối lượng của vật M 2 và hệ số đàn hồi của lò xo K 2 được chọn sao cho vật có khối lượng M 1 sẽ không di chuyển nếu lực F(t) = α sin ω o t. (a) Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hệ thống. (b) Vẽ mạch điện đồng dạng với hệ thống này, dựa trên cặp đồng dạng lực- dòng điện. 39 F(t) K 1 K 2 M 1 M 2 f y 1 (t) y 2 (t) Bài 2.7 . Một bộ khuyếch đại phi tuyến có đặc tính được mô tả như sau: ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ = 0 khi 0 khi )( vào 2 vào vào 2 vào ra vv vv tv Bộ khuyếch đại hoạt động trong khoảng ±0,5V quanh điểm làm việc. Mô tả bộ khuyếch đại bằng một xấp xỉ tuyến tính khi điểm làm việc là v vào = 0V và khi điểm làm việc là v vào = 1V. Bài 2.8 . Sử dụng biến đổi Laplace để tính I 2 (s) trong bài 2.5, với giả thiết v(t) = 0, i 1 (0) = 0, i 2 (0) = 0, hiệu điện thế ban đầu trên tụ C 1 bằng không và hiệu điện thế ban đầu trên tụ C 2 bằng 10V. Bài 2.9 . Xác định hàm chuyển của mạch vi phân trong hình vẽ dưới v 1 (t) v 2 (t) C R 1 R 2 Bài 2.10 . Cường độ ánh sáng của một bóng đèn được giữ không đổi nhờ sử dụng một vòng phản hồi điều khiển bằng transitor quang. Lưu đồ của hệ thống được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó I(s) là cường độ ánh sáng của đèn và R(s) là mức ánh sáng mong muốn. Tính hàm chuyển I(s)/R(s). 40 R(s) I(s) 1 G 1 (s) G 2 (s) − H(s) Bài 2.11 . Một hệ thống phanh chống bó cứng cho bốn bánh của ô tô sử dụng phản hồi điện tử để tự động điều khiển lực phanh trên mỗi bánh. Lưu đồ đơn giản của hệ thống được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó F f (s) và F r (s) là lực phanh trên các bánh trước và sau, còn R(s) là đáp ứng mong muốn của xe trên đường trơn trượt. Xác định F f (s)/R(s). R(s) F f (s) F r (s) 1 G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) − H 1 (s) − H 2 (s) Bài 2.12 . Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống lái tàu thủy được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó C(s) là hướng đi thực sự của tàu, R(s) là hướng đi mong muốn và A(s) là góc quay của bánh lái. Xác định hàm chuyển C(s)/R(s). R(s) C(s) A(s) 1 K 1 G 1 (s) G 2 (s) − H 2 (s) − H 3 (s) − H 1 (s) − 1 1/s Bài 2.13 . Một hệ thống giảm xóc chủ động cho xe chạy trên những địa hình phức tạp sử dụng một cảm biến có khả năng nhận biết được điều kiện đường xá ở phía trước. Hệ thống có khả năng chủ động thích ứng để xe không bị nảy khi xe đi vào những chỗ gồ ghề. Sơ đồ khối của hệ thống đượ c biểu diễn trong hình vẽ dưới. Xác định K 1 phù hợp để xe không bị xóc (độ nảy mong muốn R(s) = 0). 41 K 1 K 2 G(s) Độ nảy mong muốn R(s) Độ nảy thực sự C(s) Động lực của xe Trở ngại trên đường D(s) Cảm nhận trở ngại trên đường + − − + + Bài 2.14 . Một mạch cầu T có hàm chuyển như sau: 22 2121 22 211 vào ra )2(1 21 )( )( sCRRCsRR sCRRCsR sV sV +++ ++ = Vẽ đồ thị các điểm cực và điểm không khi R 1 = 0,5; R 2 = 1 và C = 0,5. Bài 2.15 . Amplidyne là một thiết bị khuyếch đại công suất có hệ số khuyếch đại cực lớn (hình vẽ dưới), có hàm chuyển là: )1)(1( )( )( )( ++ = qc qc c d ss RRK sV sV ττ ở đó, K là một hằng số, τ c = L c /L c và τ q = L q /L q . v c L c R c i c i q R q L q i d L d v d R d Một hệ thống điều khiển động cơ sử dụng amplidyne được thể hiện trong hình vẽ dưới. Xác định hàm chuyển Θ (s)/V c (s) và vẽ sơ đồ khối của hệ thống. 42 v c L c R c i c i q R q L q i d L d i f = I R d R a L a J, f θ Bài 2.16 . Một động cơ một chiều điều khiển bởi phần trường (i a = I không đổi) được biểu diễn trong hình vẽ dưới. Chuyển động của trục động cơ được truyền tới trục của tải trọng bằng cơ cấu khớp bánh răng có hệ số truyền là n = N 1 /N 2 . Mômen quán tính và hệ số ma sát của trục động cơ là J m và f m . Mômen quán tính và hệ số ma sát của tải trọng là là J L và f L . Tính hàm chuyển của hệ thống θ L (s)/V f (s). i f i a v a R a L a Tải trọng v f R f L f ω L , θ L J L , f L J m , f m N 1 N 2 Bài 2.17 . Xem xét một hệ thống bao gồm một động cơ một chiều điều khiển bởi phần trường và tải trọng. Thời gian để tốc độ quay của tải trọng đạt được 1rad/s là 0,5s khi đưa một hiệu điện thế đầu vào không đổi là 100V. Tốc độ của tải trọng khi hệ thống đạt tới trạng thái thường trực là 2rad/s. Xác định hàm chuyển c ủa hệ thống θ (s)/V f (s), với giả thiết hệ số thời gian của phần trường của động cơ có thể bỏ qua được. Bài 2.18 . Một hệ phương trình đại số được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: 43 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 1 4 0 0 1 1 2 0 3 x x x x x x Vẽ lưu đồ tín hiệu của hệ phương trình và tính định thức của hệ thống bằng quy tắc vòng của Mason. Bài 2.19 . Thiết lập lưu đồ tín hiệu cho hệ phương trình sau, ở đó x 1 , x 2 là các biến phụ thuộc và hai giá trị 8 và 13 là các giá trị vào: x 1 + 2 x 2 = 8 2x 1 + 3x 2 = 13 Tính giá trị của các biến phụ thuộc bằng quy tắc vòng của Mason. Bài 2.20 . Một mạch điện được mô tả bằng hệ phương trình sau đây: i 1 = (v 1 − v a )L 1 i a = (v a − v 2 )L 2 v a = (i 1 − i a )C 1 v 2 = i a C 2 ở đó v 1 là biến vào, v 2 là biến ra, còn i 1 , i a và v a là các biến phụ thuộc khác. Thiết lập lưu đồ của hệ và xác định hàm chuyển V 2 (s)/V 1 (s). Bài 2.21 . Lưu đồ tín hiệu của một mạch khuyếch đại thuật toán không đảo được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó k = (R 1 + R f )/R 1 . Tính hệ số khuyếch đại của mạch v ra /v vào . e vào v vào v ra 1 A − k Bài 2.22 . Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển với hai biến vào và hai biến ra được thể hiện trên hình vẽ dưới. Xác định C 1 (s)/R 1 (s) và C 2 (s)/R 1 (s) khi R 2 (s) bằng không. R 1 R 2 C 1 C 2 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 − H 1 H 2 [...]... ngay trong miền thời gian Các phương trình vi phân mô tả một hệ thống điều khiển sẽ được xem xét và một dạng phương trình thích hợp được chọn Một tập các biến trạng thái được sử dụng để biến đổi các phương trình vi phân thành hệ phương trình vi phân bậc nhất Các phương pháp tính toán ma trận sẽ được sử dụng để xác định đáp ứng theo thời gian của một hệ thống điều khiển Những phương pháp tính toán ma... dụng biến đổi Laplace để biến các phương trình vi phân mô tả hệ thống thành phương trình đại số của một biến phức s Chúng ta có thể dễ dàng giải các phương trình đại số này để thu được hàm chuyển biểu diễn mối quan hệ giữa biến vào và biến ra của hệ thống Các phương pháp trong miền tần số đã và vẫn sẽ là những công cụ vô cùng quan trọng trong kỹ thuật điều khiển Tuy nhiên, những hạn chế của các phương... phương pháp giải phương trình vi phân biểu diễn hệ thống trong miền thời gian Như chúng ta đã biết, các kỹ thuật trong miền tần số thường chỉ áp dụng cho các hệ thống tuyến tính có tham số bất biến theo thời gian Thêm nữa, khả năng áp dụng các kỹ thuật này cho các hệ thống đa biến cũng rất hạn chế bởi vì hàm chuyển chỉ biểu thị mối quan hệ của một cặp biến vào-ra Ngược lại, các kỹ thuật trong miền thời... thay đổi do nhiêu liệu bị đốt cháy trong khi bay Ví dụ về các hệ thống phi tuyến hay đa biến cũng rất nhiều, vì phần lớn các hệ thống điều khiển trong thực tế là các hệ thống phi tuyến và đa biến Miền thời gian bao gồm cả đáp ứng và mô tả của một hệ thống theo đại lượng 44 ... gian của một hệ thống điều khiển Những phương pháp tính toán ma trận trong miền thời gian cho phép chúng ta dễ dàng xây dựng giải thuật để giải các bài toán này bằng máy tính Một ưu điểm của mô hình biến trạng thái là nó cho phép mô hình hóa cả các hệ thống phi tuyến, là điều mà các mô hình dựa trên biến đổi Laplace không thể làm được Mặc dù việc phân tích các hệ thống phi tuyến không nằm trong phạm . G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 H 2 /G 4 H 3 + − + + + − R ( s ) C ( s ) (a) G 1 G 2 143 43 1 HGG GG − H 2 /G 4 H 3 + − + − R ( s ) C ( s ) (b) G 1 232 143 43 2 1 HGGHGG GGG +− H 3 . −G 1 G 2 G 3 G 4 H 3 ) = 1 + G 2 G 3 H 2 − G 3 G 4 H 1 + G 1 G 2 G 3 G 4 H 3 (2.81) R(s) C(s) 1 G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 − H 2 − H 3 1 1 Hình 2.19. Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển. − R ( s ) C ( s ) (c) 343 21232 143 43 21 1 HGGGGHGGHGG GGGG ++− R ( s ) C ( s ) (d) Hình 2.16(a) − (d). Các bước rút gọn sơ đồ khối của hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng trong