Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ÔN luyện thi vào TH - PT Rút gọn biểu thức chứa căn Phần I. Các kiến thức cần nhớ. Các hằng đẳng thức: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + = + + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 2) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 3) a 2 b 2 = (a + b).(a b) = + a b ( a b).( a b) (a,b 0) 4) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5) (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6) + = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) + = + = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 7) = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) = = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 8) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) + + = + + + + + 2 ( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b 0) 10) = 2 a a Phần II. Phân dạng bài tập: Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: a) 10. 40 b) 5. 45 c) 2. 162 d) 9 169 e) 12,5 0,5 f) g) Bài 2. Rút gọn A = 4 + 2 3 1 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi 3. Rót gän B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bµi lµm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1 13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bµi 4. Rót gän − −C = 13 160 53 + 4 90 Bµi lµm: − − = − + − + = − − = − − = − 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bµi 5. Rót gän + +40 60G = 10 + 24 Bµi lµm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bµi 6. Rót gän A = 3 + 5 + 3 - 5 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 2 A = 6 + 2 = A = 4 10 10 Bµi 7. Rót gän 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bµi lµm: 2 3 2 3 6 6 2 − + + 3 3 A = = 2 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 8. Rút gọn 5 5 5 5 + + + 7 7 A = 7 7 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 3 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: + + = + ữ ữ ữ ữ + x x 9 3 x 1 1 C : 9 x 3 x x 3 x x a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Bài 1. Cho biểu thức: = + + 2 A 2x x 6x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = - 5 Bài 2. Cho biểu thức: = + 1 1 B 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4 Bài 3. Cho biểu thức: = + + ữ ữ + 2 1 1 C 1 a : 1 1 a 1 a Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a = + 3 2 3 Bài 4. Cho biểu thức: = + ữ ữ + + 1 1 1 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức tại x = 3 2 2 Dạng 3: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. 4 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 1. Cho biểu thức: = + 2 A 4x 4x 12x 9 Tính giá trị của x biết A = - 15 Bài 2. Cho biểu thức: = + ữ ữ ữ ữ + + + + a a a a a B : b a a b a b a b 2 ab Biết rằng khi = a 1 b 4 thì B = 1. Tìm a; b Hàm số bậc nhất. Dạng 1: Điểm thuộc đờng thẳng. D.1.1: Chứng minh ba điểm thuộc đờng thẳng. D.1.2: Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm thuộc đờng thẳng. D.1.3: Tìm giá trị tham số khi biết điểm thuộc đờng thẳng. Dạng 2: Giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.2: Tìm giá trị một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.3: Tìm 2 giá trị tham số khi biết giao điểm của 2 đờng thẳng. Dạng 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm. D.3.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(x 1 ; y 1 ); B(x 2 ; y 2 ) với x 1 x 2 ; y 1 y 2 . D.3.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có hoành độ bằng nhau và tung độ khác nhau. D.3.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có tung độ bằng nhau và hoành độ khác nhau. D.3.4: Tìm giá trị tham số để đờng thẳng đi qua 2 điểm. Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng. D.4.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. D.4.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng. Dạng 5: Ba đờng thẳng đồng qui. D.5.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui. D.5.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui. Dạng 6: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng. D.6.1: Hai đờng thẳng song song. D.6.2: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. D.6.3: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. D.6.4: Hai đờng thẳng trùng nhau. Dạng 7: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. 5 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 D.7.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. D.7.2: Tìm giá trị của tham số để phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. Dạng 8: Tìm giá trị tham số khi biết góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành. Rút gọn biểu thức chứa căn Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: h) 10. 40 i) 5. 45 j) 2. 162 k) 9 169 l) 12,5 0,5 m) 12,5 0,5 n) 49 81 Bài 2. Rút gọn A = 4 + 2 3 Bài 3. Rút gọn B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bài làm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1 13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bài 4. Rút gọn C = 13 160 53 + 4 90 Bài làm: = + + = = = 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bài 5. Rút gọn + +40 60G = 10 + 24 Bài làm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bài 6. Rút gọn A = 3 + 5 + 3 - 5 6 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 ⇒4 10 10 2 A = 6 + 2 = A = Bµi 7. Rót gän 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bµi lµm: 2 3 2 3 6 6 2 − + + 3 3 A = = Bµi 8. Rót gän 5 5 5 5 + − + − + 7 7 A = 7 7 Bµi 9. Rót gän − −F = 4 + 7 4 7 Bµi lµm: − − ⇒ − − + − + + − − + − + = ⇒ 2 2 2 2. 2. 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 F = 4 + 7 4 7 .F = 4 + 7 4 7 = 7 + 2. 7 7 - 2. 7 = 7 7 = 7 7 F = 2 Bµi 10. Rót gän − 3 3 A = 5 + 2 13 5 - 2 13 Bµi lµm: 7 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + 3 2 2 5 2 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 5 2 3 )(5 2 .A 3 27.A 9.A 9.A 10 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 A = 5 + 2 13 13 = 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 (5 + 2 13 13) = 10 A = 10 A = 0 A - 1)(A + A + 10) = 0 A - 1 = 0 A = 1 Bài tập về nhà: Rút gọn các biểu thức sau: a) 6 - 11 - 6 + 11 b) + 3 3 2 7 7 7 c) + 6 10 6 10 3 3 3 3 d) + + 1 1 5 1 12 3 2 6 1 3 3 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: 8 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: + + = + ữ ữ ữ ữ + x x 9 3 x 1 1 C : 9 x 3 x x 3 x x a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. 9 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi 1. Cho biÓu thøc: = + − + 2 A 2x x 6x 9 TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = - 5 Bµi 2. Cho biÓu thøc: = − − + 1 1 B 1 x 1 x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B t¹i x = 4 Bµi 3. Cho biÓu thøc:     = + − +  ÷  ÷ +   −   2 1 1 C 1 a : 1 1 a 1 a TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C t¹i a = 1 vµ a = + 3 2 3 Bµi 4. Cho biÓu thøc:     = + − −  ÷  ÷ − + − +     1 1 1 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x = −3 2 2 Bµi 5. Cho biÓu thøc: x 1 1 8 x 3 x 2 E : 1 9x 1 3 x 1 1 3 x 3 x 1     − − = − + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − + +     TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x = −3 2 2 D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Bµi 1. Cho biÓu thøc: = − − + 2 A 4x 4x 12x 9 TÝnh gi¸ trÞ cña x biÕt A = - 15 Bµi 2. Cho biÓu thøc:     = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + + +     a a a a a B : b a a b a b a b 2 ab BiÕt r»ng khi = a 1 b 4 th× B = 1. T×m a; b Bµi 3. Cho biÓu thøc: 10 Ph¹m V¨n HiÖu [...]... thì xong công việc là: x(giờ) (x > 0) Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình thì xong công việc là: y(giờ) (y> 0) 1 Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc: (công việc) x 1 Trong 1 giờ ngời thứ hai làm đợc: (công việc) y 1 1 1 1 (công việc) nên ta có: + = (1) x y 8 8 6 Trong 6 giờ ngời thứ nhất làm đợc: (công việc) x Vậy trong 1 giờ cả hai ngời làm đợc - - Trong 9 giờ ngời thứ hai làm đợc: 9 (công việc)... + Qui ớc: Cả công việc là 1 đơn vị + Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc bao nhiêu phần công việc Phần công việc = 1 thoigian Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong công việc? Giải:... và 2 và tổng bình phơng của chúng là 221 Bài 2: Trong chiến dịch Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m giao thông hào Nhng đến khi nhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hi sinh Vì vậy bình quân mỗi chiến sĩ phải đào thêm 1m giao thông hào nữa mới hoàn thành công việc Hỏi tiểu đội công binh có bao nhiêu ngời 35 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Giải bài... kép khi m = 53 Dạng 2: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 1: Cho phơng trình: 7x2 - (3m + 1)x m2 - 1 = 0 (1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài làm: Ta có: a.c = 5.( m2 - 1) = -5(m2 + 1) < 0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x +2m 4 = 0 (1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Bài làm: Ta... sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Cách 2: Gọi số phần công việc ngời thứ nhất làm trong 1giờ là: x (x > 0) Và số phần công việc ngời thứ hai làm trong 1giờ là: y (y > 0) - Do hai ngời làm chung trong 8 giờ thì xong công việc nên ta có: x + y = 1 8 8x + 8y = 1 (1) Do ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công việc nên ta có pt: 6x + 9y = 1 (2) 1 x = 24 8x + 8y... Dạng 7: Toán có quan hệ hình học Bài 1: Cho tam giác vuông ABC, đờng cao AH chia cạnh huyện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ 4:3 Tính độ dài các cạnh của tam giác biết một cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là 14cm Bài 2: Cho một tam giác vuông biết đờng cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền là 50cm Tìm độ dài hai cạnh góc vuông Dạng 8: Toán phần trăm Bài tập: Trong một kho giấy... max A = 16 khi m = 2 Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số 2mx + 3y = 5 Ví dụ 1: Cho hệ pt: x + 3my = 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m Vậy 6m2 + 3 0 với mọi m Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất 5 3y 5 3y b) Rút m từ (1) ta đợc m =... trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công việc 6 9 nên ta có: + = 1 (2) x y 1 1 1 x + y = 8 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 6 + 9 = 1 x y Đặt 1 1 = a ; = b ta đợc: y x 1 a = 24 x = 24 1 y = 12 b = 12 Vậy thời gian ngời thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là: 24giờ Và thời gian ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ 1 a + b = 8 6a + 9b = 1 32 Phạm Văn... thời gian tăng 2 giờ nên thời gian đi hết quãng đờng là: y + 2 (h) Do quãng đờng AB luôn không đổi nên ta có hệ pt: (x + 10)(y 1) = xy x + 10y = 10 x = 30(tm) (x 10)(y + 2) = xy 2x 10y = 20 y = 4(tm) Vậy vận tốc mà ngời đó dự định đi là: 30 (km/h) Và thời gian mà ngời đó dự định đi là: 4giờ - Bài 3: Hai bến sông A và B cách nhau 240km Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa điểm C nằm chính giữa... mình hoàn thành công việc là: 24giờ Và thời gian ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ Bài 2: Trong một bể nớc có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào Nếu mở cùng hai vòi thì sau 6 giờ sẽ đầy bể Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao nhiêu lâu thì đầy bể Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn thời gian chảy ra hết bể nớc đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi Dạng 4: . Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ÔN luyện thi vào TH - PT Rút gọn biểu thức chứa căn Phần I. Các kiến thức cần nhớ. Các hằng đẳng thức: 1) (a. 2 ac 2 bc (a,b 0) 10) = 2 a a Phần II. Phân dạng bài tập: Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: a) 10. 40 b) 5. 45 c) 2. 162 d) 9 169 e) 12,5 0,5 f) g) Bài 2. Rút. tạo bởi đờng thẳng với trục hoành. Rút gọn biểu thức chứa căn Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: h) 10. 40 i) 5. 45 j) 2. 162 k) 9 169 l) 12,5 0,5 m) 12,5 0,5 n) 49 81 Bài