Mở đầu 1. Lý do chn ti Trong chơng trình toán học phổ thông, bất đẳng thức l mt mng toỏn khú, nú cú mt trong tt c cỏc b mụn: S hc, Hỡnh hc, i s, Lng giỏc v Gii tớch nhng phi núi rng bt ng thc l mt cụng c sc bộn ca Toỏn hc. ng thc v bt ng thc luụn l hai phng tin h tr ln nhau. ng thc cho kt qu chớnh xỏc tuyt i cũn bt ng thc mm do hn, cho phộp cõn nhc vn , c lng kt qu, t ú nhỡn nhn thc tin toỏn hc di gúc rng hn. Vỡ vy vic vn dng cỏc bt ng thc rt uyn chuyn v linh hot. Hc sinh yờu Toỏn cn hc tp cỏch vn dng cỏc bt ng thc di nhiu hỡnh thỏi a dng. Trong mi thi hc sinh gii Toỏn thng cú nhng bi toỏn liờn quan n bt ng thc. Trong thi i hc ca cỏc nm gn õy, B giỏo dc thng ra thi vi cõu cui cựng l bt ng thc vi mc ớch cú th phõn loi hc sinh trong cỏc k thi ú. Nhng thụng thng hc sinh khụng nm c phng phỏp v k thut khi chng minh bt ng thc bi l: Cỏc bi toỏn bt ng thc khú nh hng cỏch gii, nhiu bi toỏn phi s dng cỏc bt ng thc ph rt khú nh, thm chớ phi s dng mt khi lng ln kin thc v h thc lng trong tam giỏc nờn phn ln hc sinh gp rt nhiu khú khn khi gii quyt cỏc bi toỏn bt ng thc . Ngoi cỏc bt ng thc c bn c hỡnh thnh t phộp bin i tng ng, bt ng thc Cụ-si l mt bt ng thc rt quan trng, cú nhiu u th trong gii bi toỏn bt ng thc.Trong nhng bi toỏn n gin, vic ỏp dng bt ng thc Cụ-si i vi din hc sinh i tr l n gin, d tip cn. Song i vi nhng bi toỏn phc tp cú th ỏp dng bt ng thc Cụ-si vo gii cỏc bi toỏn ny, thỡ vn khụng n gin chỳt no. Vn t ra ú l ngi gii toỏn phi chn c cp s tho món cỏc iu kin ca bt ng thc Cụ- si. Cỏc iu kin c tho món ca bt ng thc Cụ-si khụng ch l iu kin khụng õm ca cp s m cũn phi tho món iu kin khi du ng thc xy ra. Gii quyt c iu ú, bi toỏn ỏp dng tr nờn n gin hn. Nh vy cú th ỏp dng bt ng thc Cụ-si i vi nhng bi toỏn phc tp, ngi gii toỏn cn cú mt phng phỏp, mt k thut s dng bt ng thc ny. Vi mt vi nm kinh nghim, vi mong mun to hng thỳ cho hc sinh khi hc ni dung bt ng thc ng thi giỳp hc sinh d hiu hn vi bt ng thc, cựng vi mong mun nõng cao kin thc ca bn thõn cng nh nõng cao cht lng dy v hc Toỏn trong nh trng ph thụng, tụi xin trõn trng gii thiu : Phng phỏp v k thut s dng bt ng thc Cụ-si trong gii toỏn 1 Phần I : Các kiến thức cơ bản 1- Bất đẳng thức Cô-si 1.1 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Với hai số không âm a1,a2 ta có ( ) 1 2 21 21 aa aa ≥ + Chứng minh: Ta có ( ) ( ) ( ) aa aaaa 20 21 2 21 2121 ≥−⇔ −+⇔ Do ( ) 2 đúng nên ( ) 1 luôn luôn đúng Dấu đẳng thức của ( ) 1 xảy ra 21 aa =⇔ 1.2 Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm Với ba số không âm a 1 , a 2 , a 3 ta có 3 321 321 3 aaa aaa ≥ ++ Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có: ( ) ( ) ( ) 5442 42 32 3 321 3 321321321321 3 3213 3 3213 2121 aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaa aaaa =≥       + ≥+ ≥+ Cộng từng vế của ( ) 3 , ( ) 4 ( ) 5 ⇔ 3 321 321 3 aaa aaa ≥ ++ (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ( ) 3 , ( ) 4 ( ) 5 , đồng thời xảy ra đẳng thức 321 aaa ==⇔ 1.3 Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm Với bốn số không âm a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 ta có 4 4321 4321 3 aaaa aaaa ≥ +++ Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 72 6 5 4 43214321 4343 2121 aaaaaaaa aaaa aaaa ≥+ ≥+ ≥+ Cộng từng vế của ( ) 5 , ( ) 6 , ( ) 7 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ( ) 5 , ( ) 6 ( ) 7 đồng thời xảy ra đẳng thức 4321 aaaa ===⇔ 2 Tổng quát: Với các số không âm a 1 , a 2 , , a n có n n n aaa aaa 3 21 21 ≥ ++ ( ) * Dấu đẳng thức của ( ) * xảy ra n aaa ==⇔ 21 2 Bất đẳng thức đường gấp khúc V ới mọi i a ta có: Dấu đẳng thức xẩy ra ⇔ →→→ ↑↑↑↑↑↑ n aaa 21 3. Các bất đẳng thức phụ thường dùng 1. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi a,b,c 2. (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) với mọi a,b,c 3. (a + b +c )       ++ cba 111 ≥ 9 với mọi a,b,c > 0 4. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( ) 2 3 1 cba ++ với mọi a,b,c Phần II. Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a ≥ 3 chứng minh a + 3 101 ≥ a 3 →→→→→→ +++≥+++ nn aaaaaa 2121 → n a → 1 a → 2 a n aaa +++ 21 Dự đoán : a + 3 3 101 =↔= a a Khi a = 3 → 3 11 = a ; nên không thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a và a 1 được vì dấu bằng không xẩy ra . Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số αa và a 1 , vấn đề đặt ra là chọn α = ? thì đủ, vì theo dự đoán ở trên đầu thì dấu = xẩy ra khi a = 3 nên ta có 9 1 3 1 =→      = = α α a a Bài giải: a + a a a a 9 81 9 11 ++= theo bất đẳng thức Cô-si 3 21 . 9 2 1 9 =≥+ a a a a Cho a ≥ 3 → 3 8 9 8 ≥ a Vậy 3 10 3 8 3 21 =+≥+ a a (ĐPCM) Dấu = xảy ra khi a = 3 Qua ví dụ 1 có thể thấy kỹ thuật “bằng đều” nêu trên cho ta cách chọn cặp số thoả mãn điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra trong áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Như vậy có thể thực hiện chứng minh bất đẳng thức theo các bước sau:  Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức  Bước 2: Với dự đoán ở trên sử dụng kỹ thuật cân bằng đều ghép các hạng tử của Ví dụ toán với các hạng tử mới thích hợp  Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Sau đây là một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 2: Chứng minh: ( ) 5 5 5 2 2 2 2 2 2 a b c + + a +b +c a,b,c>0 b c c a a b ≥ 4 Bài giải: Dự đoán do tính chất đối xứng của bất đẳng thức, nên dấu bằng xảy ra ↔ a = b = c Khi đó: 5 5 5 2 2 2 2 2 2 a b c = = =a =b =c b c c a a b Ta có thể chọn trong đó những hạng tử phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Cô-si như sau: 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 a a a .a .b .b .c + +b +b +c 5 =5a b c b c b .b .c ≥ Tương tự: 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 b b b .b .c .c .a + +c +c +a 5 =5b c a c a c .c .a ≥ 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 c c c .c .a .a .b + +a +a +b 5 =5c a b a b a .a .b ≥ Cộng từng vế của bất đẳng thức nên ta có: 5 5 5 2 2 2 2 2 2 a b c + + a +b +c b c c a a b ≥ (ĐPCM) Dấu bằng xảy ra ↔ a = b = c Ví dụ 3 : Cho: a,b,c,d 0 a b c d 4 >   + + + =  Chứng minh : a 5 + b 5 + c 5 + d 5 ≥ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 Bài giải: Dự đoán do tính chất đối xứng và theo giả thiết đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1 Khi đó: a 5 = b 5 = c 5 = d 5 = a 4 = b 4 = c 4 = d 4 Từ đó dẫn đến lời giải sau, theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 a a a a 1 5a b b b b 1 5b c c c c 1 5c d d d d 1 5d  + + + + ≥  + + + + ≥   + + + + ≥   + + + + ≥  5 5 5 5 4 4 4 4 4(a b c d ) 4 5(a b c d )→ + + + + ≥ + + + (1) 5 4 4 4 4 a 1 1 1 4a b 1 1 1 4b c 1 1 1 4c d 1 1 1 4d  + + + ≥  + + + ≥   + + + ≥   + + + ≥  4 4 4 4 a b c d 4(a b c d) 12 4→ + + + ≥ + + + − = (2) Từ (1) và (2) 5 5 5 5 4 4 4 4 a b c d a b c d→ + + + ≥ + + + (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1 Ví dụ 4: Chứng minh: ( ) 4 4 4 3 3 3 a b c 1 S= + + a +b +c a+3b b+3c c+3d 4 ≥ (a,b,c > 0) Bài giải: Vì bài toán đối xứng với a, b, c nên dấu đẳng xảy ra khi a = b = c ( ) 3 24 2 1 16 3 3 a aba ba a ≥ + + + 3 24 2 1 16 )3( 3 b bcb cb b ≥ + + + 3 24 2 1 16 )3( 3 c cac ac c ≥ + + + Cộng vế với vế bất đẳng thức cũng chiều trên ta có S ≥ )( 16 3 )( 16 7 222333 accbbacba ++−++ (1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 333222 2333 2333 2333 3 3 3 cbaaccbba acacc cbcbb babaa ++≤++→      ≥++ ≥++ ≥++ (2) Từ (1) và (2) suy ra S = )( 4 1 333 333 444 cba ac c cb b ba a ++≥ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c Ví dụ 5: 6 Chứng minh: S = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 a b c 1 + + a+b+c 16 3b+c 3c+a 3a+b ≥ (a,b,c > 0) Bài giải: Do vai trò như nhau trong bất đẳng thức của a,b,c nên dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 a b c a b c = = = = = 16 16 16 3b+c 3c+a 3a+b nên không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: ( ) 3 2 a 3b+c ; 3b+c ; 3b+c ( Do dấu đẳng không xảy ra ) Theo kỹ thuật cân bằng đều ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: ( ) 3 2 a 3b+c ; 3b+c 3b+c ; 64 64 thì dấu bằng mới xảy ra khi a = b = c Áp dụng Cô-si ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 a 3b+c a 3b+c 3b+c 3 + + 3 = a 64 64 16 3b+c 3b+c .64 ≥ Tương tự: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 b 3c+a b 3c+a 3c+a 3 + + 3 = b 64 64 16 3c+a 3c+a .64 ≥ ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 c 3a+b c 3a+b 3a+b 3 + + 3 = c 64 64 16 3a+b 3a+b .64 ≥ Cộng vế với vế bất đẳng thức cùng chiều trên ta có: ( ) ( ) ( ) 1 3 1 S+ + a+b+c a+b+c S a+b+c 8 16 16 ≥ ↔ ≥ (ĐPCM) Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c Ví dụ 6 : Chứng minh: 8 8 8 8 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 a b c d + + + a +b +c +d b c d c d a d a b a b c ≥ (a,b,c,d > 0) 7 Bài giải: Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi a = b = c Tương tự kỹ thuật cân bằng đều, ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si 8 8 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 a a + +b +b +b +c +c +d 8a b c d b c d ≥ 8 8 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 b b + +c +c +c +d +d +a 8b c d a c d a ≥ 8 8 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 c c + +d +d +d +a +a +b 8c d a b d a b ≥ 8 8 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 d d + +a +a +a +b +b +c 8d a b c a b c ≥ Cộng các vế bất đẳng thức trên: 8 8 8 8 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 a b c d + + + a +b +c +d b c d c d a d a b a b c ≥ (ĐPCM) Đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c = d Ví dụ 7: Cho    ≥++ > 3 0,, cba cba chứng minh : 3 5 6 5 6 5 6 ≥++ a c c b b a Bài giải Do tính đối xứng nên dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =c =1 Khi đó : 1 5 6 5 6 5 6 === a c c b b a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số : ab b a ;; 5 6 hoặc 1;; 5 6 b b a aabbbbb b a 7 5 6 ≥++++++ bbccccc c b 7 5 6 ≥++++++ Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: cba a c c b b a ++≥++ 5 6 5 6 5 6 8 Như vậy, ta có: ( ) ( )      ++≥++ ≥++ cmtcba a c c b b a gtcba 5 6 5 6 5 6 3 3 5 6 5 6 5 6 ≥++⇒ a c c b b a Dấu đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c =1 Ví dụ 8 : Chứng minh: 6 6 6 8 8 8 2 2 2 a b c 1 1 1 b c c a b c + + ≥ + + với a,b,c ≠ 0 Bài giải: Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi |a| = |b| = |c|. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1 1 1 K ab bc ac ≥ + + (I) Theo bất đẳng thức Cô-si: ( ) 1 1 1 1 1 1 9 ab bc ac 9 ab bc ac ab bc ac ab bc ac   + + + + ≥ → + + ≥  ÷ + +   (II) Từ (I) và (II) ⇒ 9 K ab bc ac ≥ + + (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy ra khi: a b c = = Ví dụ 9 : Chứng minh T = 64 )()()( 222 2 2 2 2 2 2 cba ab c ca b cb a ++ ≥ ++ + + Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si            ≥ + + + + + + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 )( 2 )( 2 )( )( 22 )( 2 )( 2 )( )( 22 )( 2 )( 2 )( )( cababab ab c bcacaca ca b acbcbcb cb a [ ] 222 )()()( 2 3 cacbabT ++++++→ Mà      +≤+ +≤+ +≤+ )(2)( )(2)( )(2)( 22 222 222 caca cbcb abab T ( ) 64 2 3 2 1 222 222 22 cba cba ++ =++       −≥ ( ĐPCM) 9 Ví dụ 10 : Chứng minh: a,b,c 0∀ > a b c d b c d c d a d a b a b c 40 H b c d c d a d b a a b c a b c d 3 + + + + + + + +   = + + + + + + + ≥  ÷ + + + + + + + +   Bài giải: Ta có: a b c d b c d c d a d a b a b c H b c d c d a d b a a b c 9a 9b 9c 9d 8 b c d c d a d a b a b c 8 8 40 .12 9 a b c d 3 9 3 + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +   + + + + ≥ + =  ÷   Dấu đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c Ví dụ 11: Với giả thiết:    ≥++ > 1 0,, zyx zyx chứng minh : 1 2008 2009 2008 2009 2008 2009 ≥++= x z z y y x T Bài giải: Dó tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 3 1 Khi đó: 3 1 2008 2009 2008 2009 2008 2009 ====== zyx x z z y y x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có : xyy y x 2009 2008 2009 ≥+++ yzz z y 2009 2008 2009 ≥+++ zxx x z 2009 2008 2009 ≥+++ 10 2008 Số 2008 Số 2008 Số [...]... đẳng thức giúp cho người giải toán có thể thấy được cái hay, cái mạnh của bất đẳng thức này Như vậy, với phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể xem như đã cho ta một cách nhìn sáng sủa, lôgic và chặt chẽ Mặc dù rằng, đối với nhiều bài toán áp dụng kỹ thuật này chưa hẳn là tối ưu, có thể dài một chút trong phần trình bày lời giải.Tôi thiết nghĩ những bài toán khó về bất đẳng thức đã... ngay bản thân tôi khi tiếp cận kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si này, tôi thấy như có một vầng hào quang trước mắt, hy vọng các em học sinh cũng như tôi, sẽ hứng thú khi gặp các bài toán loại này, không còn ngại khi giải toán về bất đẳng thức 30 ... 68 = 17 15 (abcd) 16 4 4 68 1 Vậy Smin = 17 ↔ a = b = c = 4 Cách 2: 16 1 1 1 1 S = ( a+b+c+d ) +  + + + ÷ ≥ ( a+b+c+d ) + a +b+c+d a b c d 14 Đặt a + b + c + d = t → 0 < t ≤ 1 → S = t + 16 t Bài toán trở về chứng minh S ≥ 17 với 0 < t ≤ 1 Áp dụng kĩ thuật cân bằng đều: 1 1 15 1 15 S = t + + ≥ 2 t + = 17 ( ĐPCM ) Dấu đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c = d = 4 t t t t Ví dụ 15:  a, b, c, d ≥ 0 a + b... a, b, c > 0)   a b c 16   Vậy  + +  ≥ 1 a 1 b 1 c 9 bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c ab + bc + ca Vậy ta phải chứng minh: K = a 2c b2c c 2a 1 1 1 + 2 + 2 ≥ + + a b c b2 c a Đây là dạng bài toán thông thường dễ chứng minh được theo bất đẳng thức Cô-si a 2c 1 1 3 + + ≥ 2 5 ac ab b  b 1 1   1 1 1   1 K + 2 + +  ≥ 3 2 + 2 + 2  2 b a 1 1 3 1 1 1 b c   ab bc ca   a + + ≥ 2→ . Mở đầu 1. Lý do chn ti Trong chơng trình toán học phổ thông, bất đẳng thức l mt mng toỏn khú, nú cú mt trong tt c cỏc b mụn: S hc, Hỡnh hc,. đẳng thức  Bước 2: Với dự đoán ở trên sử dụng kỹ thuật cân bằng đều ghép các hạng tử của Ví dụ toán với các hạng tử mới thích hợp  Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Sau đây là một số ví dụ. minh: ( ) 4 4 4 3 3 3 a b c 1 S= + + a +b +c a+3b b+3c c+3d 4 ≥ (a,b,c > 0) Bài giải: Vì bài toán đối xứng với a, b, c nên dấu đẳng xảy ra khi a = b = c ( ) 3 24 2 1 16 3 3 a aba ba a ≥ + + + 3 24 2 1 16 )3( 3 b bcb cb b ≥ + + + 3 24 2 1 16 )3( 3 c cac ac c ≥ + + + Cộng