CHUYêN Đề CHNG MINH BT ĐNG THC 1 . Định nghĩa : - BĐT là 1 hệ thức có một trong các dạng : A > B ; A < B ; A B ; A B (A , B là các biểu thức số hay chữ ) 2 . Tính chất BĐT số : . a > b a - b > 0 . a > b và b > c a > c . a > b a + c > b+ c . a > b và c > d a + c > b+ d . a > b ac > bc nếu c > 0 ac < bc nếu c < 0 . a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd . 1 1 0 a b ab a b > < > . a > b > 0 và n nguyên dơng n n a b> . a > b > 0 và n nguyên dơng n n a b> 3. Một số hằng BĐT : . A 2 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A =0 . |A| 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A = 0 . - |A| < A < |A| . |A + B| |A| + |B| dấu bằng xảy ra AB 0 . |A - B| |A| - |B| . A > B A n > B n với n lẻ . |A| > |B| A n > B n với n chẵn . 0 1 m n m n A A A > > > > . 0 0 1 m n m n A A A > > < < < Ph Ph ơng pháp 1: Dùng định nghĩa ơng pháp 1: Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B ta đi chứng minh A - B > 0. L u ý : dùng hằng BĐT M 2 0 với mọi M. Ví dụ 1 : với mọi x, y, z chứng minh rằng: a, x + y + z xy + yz + zx b, x + y + z 2xy - 2xz + 2yz c, x + y + z + 3 2( x + y + z ) Giải : a,Ta xét hiệu : x + y + z - xy - yz xz = 2 2 2 1 .2( ) 2 xy yz xz y x z + + = 2 2 2 1 (x y) (x z) (y z) 2 + + Vậy x + y +z xy + yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z b,Ta xét hiệu : x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz : x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz = ( x - y + z ) = ( x - y + z ) 0. Vậy x + y + z 0. Vậy x + y + z 2xy 2xz +2yz . 2xy 2xz +2yz . Dấu bằng xảy ra khi x + z =y Dấu bằng xảy ra khi x + z =y c,Ta xét hiệu : x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z 2z + 1 2z + 1 = ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0. = ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 . Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 . Ví dụ 2 : CMR : a, 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ b, 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ Giải : a , Ta xét hiệu : 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 a b a ab b + + + = ( ) 1 2 2 2 4 2 2 2 2 a b a b ab= + ( ) 1 0 4 2 a b= Vậy : 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ Dấu bằng xảy ra khi a = b b, Ta xét hiệu : 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ ( ) ( ) ( ) 1 0 9 2 2 2 a b b c c a = + + Vậy: 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ Dấu bằng xảy ra khi a =b =c . Tổng quát : ( a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ): n (( a 1 + a 2 + + a n ) : n ) 2 Tóm lại : Các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa : Bớc I: Ta xét hiệu H = A B Bớc II: Biến đổi H =(C D) 2 Hoặc H =(C D) 2 + + ( E F) 2 Bớc III: Kết luận A B Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: Dựng phộp bin i tng ng L u ý : Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tơng đơng với BĐT đúng hoặc BĐT đã đợc chứng minh là đúng . Chú ý : Các hằng đẳng thức sau : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A+B+ C ) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB +2AC + 2BC (A + B ) 3 =A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ví dụ1 : Cho a, b, c, d, e là các số thực. CMR : a , + 2 b 2 ab a 4 b , a 2 + b 2 + 1 ab + a + b c, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a ( b + c + d +e ) Giải: a , + 2 b 2 ab a 4 <=> 4a 2 + b 2 4ab <=> 4a 2 4ab + b 2 0 <=> (2a b) 2 0 (Bất đẳng thức này luôn đúng ) Vậy: + 2 b 2 ab a 4 (Dấu bằng xảy ra khi 2a = b ) b, a 2 + b 2 + 1 ab + a + b <=> 2 ( a 2 + b 2 +1 ) 2 ( ab + a + b ) <=> a 2 - 2ab + b 2 + a 2 - 2a + 1 + b 2 -2b + 1 0 <=> ( a b) 2 + (a- 1 ) 2 + ( b-1) 2 0 (*) => BĐT (*) đúng Vậy: a 2 + b 2 +1 ab +a +b. Dấu bằng xảy ra khi: a = b =1 . c, a 2 + b 2 + c 2 +d 2 +e 2 a( b + c + d +e ) 4( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2 ) 4a( b + c + d + e) (a 2 - 4ab + 4b 2 )+( a 2 -4ac + 4c 2 )+(a 2 -4ad + 4d 2 )+(a 2 - 4ac + 4c 2 ) 0 (a - 2b) 2 + ( a -2c) 2 + (a -2d) 2 + ( a -2c) 2 0 =>BĐT đúng , vậy ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 2: CMR : ( a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) > ( a 8 + b 8 )( a 4 + b 4 ) (*) Giải : Ta có (*) tơng đơng với : a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 > a 12 + a 8 b 4 + a 4 b 8 + b 12 a 10 b 2 - a 8 b 4 + a 2 b 10 -a 4 b 8 > 0 a 8 b 2 ( a 2 - b 2 )( a 6 - b 6 ) > 0 a 2 b 2 ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 4 + a 2 b 2 +a 4 ) > 0 BĐT cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức : x 3 y 3 = ( x y ) ( x 2 + xy + y 2 ) với x=a 2 ; y =b 2 Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cho n số a 1 , a 2 , , a n không âm, TBC của chúng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng: Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 = =x n Một số chú ý khi áp dụng BĐT CÔSI : Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi 1, Cần chỉ rõ BĐT Côsi đợc áp dụng cho những số không âm nào . o Đặc biệt với n = 2 ta có những BĐT quen thuộc : (1) ( a , b 0 ) 4ab ( a + b) 2 ( 2) (3) (nhân vế với vế của (1) và (2)) (*) Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi b, Đặc biệt với n =3. Ta có những BĐT quen thuộc : . x + y + z (1) ( x , y , z 0 ) . xyz . (2) Từ (1) và (2). Ta có : ( x + y + z) 9 Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi c , Với n = a i ( a 1 + a 2 + +a n ) n 2 ( a i > 0 ) Khi dùng phải chứng minh nh n =2 , n =3 . Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi d, Khi áp dụng BĐT CÔSI thờng không phải chỉ áp dụng một lần đã đợc kết quả. Có thể phải ghép hai hoặc ba lần với từng cặp các số. Hơn nữa cần chú ý tới các đại lợng để tham gia vào bất đẳng thức CÔSI áp dụng BĐT CÔSI ta chứng minh đợc: (* ) Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi Ví dụ 1: Cho các số dơng x, y, z, t thoả mãn : x + y + z + t = 1 CMR : Giải : áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có : = 4 . Suy ra : 16 Đẳng thức xảy ra khi x = y =z =t = Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi ví dụ 2: cho a , b , c là các số không âm . Chứng minh rằng : (a+b) (b+c ) (c + a) 8 abc Giải : áp dụng BĐT CÔSI ta có : a+b 2 b+c 2 c +a 2 => (a+b)(b+c )(c + a) 8 abc Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunhia Bunhia cụpski cụpski Cho 2n số tuỳ ý : a 1 , a 2 , a 3 , , a n b 1 , b 2 , b 3 , , b n Ta có : (a 1 2 + a 2 2 + +a n 2 )( b 1 2 +b 2 2 + .+ b n 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 Đẳng thức xảy ra khi : quy ớc : Nếu b i = 0 thì a i = 0 Một số chú ý : BCS không yêu cầu các số phải không âm, nên trong BCS có thể sinh ra dấu - ở vế phải * Nếu a i > 0, b i > 0 Ta có thể áp dụng BCS cho các số : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski (a 1 2 /b 1 + a 2 2 /b 2 + .+ a n 2 /b n )(b 1 + b 2 + + b n ) (a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 => a 1 2 /b 1 + a 2 2 /b 2 + + a n 2 /b n ( a 1 + a 2 + + a n ) 2 /( b 1 + b 1 + +b n ) => Đây là BĐT SVAC X *Nếu cho b i =1 Ta có : n ( a 1 2 + a 2 2 + .+ a n 2 ) ( a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski * Nếu ai và b i 0, áp dụng BCS cho ( i = 1; 2 ; 3 ; .; n ) ta có BĐT: (a 1 + a 2 + +a n )( b 1 + b 2 + + b n ) => Nếu chọn b i = 1 thì ta có : *Với n =2 ta có BĐT quen thuộc : ( x 2 + y 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( ax + by ) 2 Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski *Với n = 3 Ta có : ( x 2 + y 2 +z 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ax + by + cz ) 2 Cũng nh BĐT CÔ SI cần đặc biệt chú ý việc chọn đại lợng tham gia vào BĐT. Trong rất nhiều trờng hợp cần phải phối hợp giữa CÔSI và BCS . . Ví dụ 1 : Cho 3 số a ; b ; c 0 . CMR : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Giải Ta có : áp dụng BĐT BCS cho hai bộ số : v => Suy ra : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Ví dụ 2: Cho x; y; z thoả mãn điều kiện : x 2 + y 2 + z 2 = 1 . CMR : Giải : p dụng BĐT BCS Ta đợc : (x +2y + 3z ) 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) 14 => Suy ra : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Ví dụ 3 : CMR : a 2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca Giải : Dùng BĐT BCS . Xét cặp số ( 1;1;1 ) và ( a, b, c ) ta có : (1 2 + 1 2 + 1 2 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) > (1 .a + 1 . b + 1. c ) 2 => 3(a 2 + b 2 + c 2 ) > (a 2 + b 2 + c 2 ) + 2(ab + bc + ca) => a 2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca . Điều phải chứng minh Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u L u ý : A > B và B > C thì A > C 0 < x < 1 thì x 2 < x Ví dụ 1: Cho a , b , c , d > 0 thoả mãn: a > c + d ; b > c + d Chứng minh : ab > ad + bc Giải : Ta có : a > c + d và b > c + d => a c > d > 0 và b d >c >0 => ( a c ) ( b d ) > cd <=> ab ad - bc + cd > cd <=> ab > ad + bc ( iều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 2 : Cho a , b , c > 0 thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = Chứng minh rằng : Giải : Ta có : ( a + b c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab ac bc ) > 0 => ac + bc - ab < ( a 2 + b 2 +c 2 ) ac + bc - ab < 1 Chia cả 2 vế cho abc > 0 ta có : ( iều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 3 : Cho 0 < a , b , c , d < 1 . CMR : ( 1 a)( 1- b )( 1- c )(1 d ) > 1 a b c d Giải : Ta có ( 1 a)( 1- b) = 1 a b + ab Do a > 0 , b > 0 Nên ab > 0 => ( 1 a)( 1- b ) > 1 a b (1 ) Do c< 1 nên 1- c > 0 Ta có (1-a)( 1 b)( 1- c) > ( 1 a b )( 1 c ) =1 a- b- c+ca+bc Do a , b , c, d > 0 nên ca + bc > 0 => ( 1 a)( 1 b )( 1 c ) > 1 a- b c (2 ) => ( 1 a)( 1- b )( 1- c )( 1 d ) > ( 1 a b c )( 1 d ) =1 a b c d + ad + bd + cd =>(1 a )(1- b)(1 c)( 1-d) > 1 a b c d ( Điều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 4 : So sánh 31 11 & 17 14 Giải : Ta thấy: 31 11 < 32 11 = ( 2 5 ) 11 = 2 55 < 2 56 Mặt khác: 2 56 = 2 4 . 14 = ( 2 4 ) 14 = 16 14 < 17 14 => 2 56 < 17 14 => 2 55 < 17 14 => Vậy 31 11 < 17 14 Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Để chứng minh A < B ta tìm một biểu thức C rồi chứng minh : A < C < B Khi đánh giá đại diện thờng đợc kết hợp với phơng pháp làm trội và phơng pháp triệt tiêu dần Ví dụ 1 : a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác, x ,y ,z là độ dài các đờng phân giác trong tam giac ABC. CMR : Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Giải : S ABC = bc SinA = bxSin + cxSin bcSinA=bxSin + cxSin 2bcSin Cos = x(b + c)Sin 2bcCos = x( b + c) (1) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Tơng tự : (2) (3) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Cộng vế với vế (1);(2);(3) : Cách khác : (1) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Biểu thức tơng tự : (2) (3) Cộng vế vế (1),(2),(3): Ta đợc : Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác L u ý : Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác thì: a , b , c > 0 và < a < b +c ; < c < a + b ; <b < a+ c Ví dụ : cho a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng : a, a 2 + b 2 +c 2 < 2( ab +bc +ca ) b, abc > ( a + b c)( b+c-a )(c +a b ) Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác Giải : a , Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có: 0 < a < b + c a 2 < a(b + c) 0 < b < a + c => b 2 < b( a+c) 0 < c < a + b c 2 < c(a+ b) Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có: a 2 +b 2 +c 2 < 2( ab +bc +ca) ( iều phải chứng minh ) Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác b, Ta có : a> => a 2 > a 2 (b-c) 2 > 0 b> => b 2 > b 2 -(c-a) 2 > 0 c> => c 2 > c 2 (a-b) 2 > 0 Nhân vế các BĐT ta đợc : a 2 b 2 c 2 > a 2 b 2 c 2 > ( a+b-c) 2 (b+c-a) 2 (c+a-b) 2 abc > ( a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ( iều phải chứng minh ) PHƯƠNG PHáP 8 PHƯƠNG PHáP 8 : : Sử dụng bất ph Sử dụng bất ph ơng ơng trình bậc 2 trình bậc 2 Nếu a x b <=>(x-a)(x-b) 0 để bất phơng trình : ax 2 + bx + c 0 với a>0 có nghiệm thì 0 Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện : (x+y+1) 2 + 5(x+y) + 9 +y 2 = 0 CMR : -5 x+ y -2 Giải Giải : : Đặt x + y= t ta có : (t+1) 2 +5t +9 = -y 2 0 t 2 +7t +10 0 -5 t -2 => Vậy -5 x+ y -2 (đpcm) PHƯƠNG PHáP 8 PHƯƠNG PHáP 8 : : Sử dụng bất ph Sử dụng bất ph ơng ơng trình bậc 2 trình bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Cho 9x 2 + 5y 2 +12xy +15x +10y +6 = 0 CMR : -3 3x+2y -2 Giải Giải : : 9x 2 +4y 2 +12xy + 15x +10y +6 +y 2 =0 (3x +2y ) 2 +5(3x+2y) +6 +y 2 =0 Đặt :3x +2y = t ta đợc : t 2 + 5t +6 = - y2 0 => -3 t -2 => Vậy : -3 3x+2y -2 PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 L L u ý u ý : : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c Nếu < 0 thì a.f(x) > 0 x Nếu = 0 thì a.f(x) > 0 Nếu > 0 thì a.f(x) >0 với x< x 1 hoặc x > x 2 a.f(x) <0 với x 1 < x < x 2 PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 +5y 2 4xy +2x 6y +3 > 0 (1) Giải Giải : : Ta có (1) x 2 - 2x(2y-1) +5y 2 - 6y +3 > 0 ' = (2y 1) 2 5y 2 + 6y 3 = 4y 2 4y +1 -5y 2 6y 3 = - (y-1) 2 1 <0 Vậy f(x,y) > 0 x,y Vậy f(x,y) > 0 x,y PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 y 4 +2(x 2 +2 )y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 (2) Giải Giải : : Bất đẳng thức (2) tơng đơng với : x 2 y 4 + 2(x 2 + 2)y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 0 (y 2 +1) 2 x 2 + 4y(1-y 2 )x +4y 2 0 ta có : ' = 4y 2 (1-y 2 ) 2 - 4y 2 (y 2 +1) 2 = 4y 2 [(1-y 2 ) 2 (y 2 +1) 2 ] [...]... sử cả 3 BĐT đều đúng: (1) x2 (y- z)2 < 0 (x y +z )(x+ y z) < 0 (2) y2 (z x)2 < 0 (y z + x)(y+ z x) < 0 (3) z2 (x-y)2 < 0 ( z- x + y)( z+ x y) < 0 Nhân vế với vế (1) ; (2) ;(3) ta đợc: (-x+ y+z )2(x y +z )2(x + y z )2 < 0 (Vô lý) Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai Phơng pháp 10 : Chứng minh phản chứng Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0 và xyz=1 CMR : Nếu thì... làm giảm Ví dụ 1: Cho n > 1 CMR: Giải: Ta có: Vậy: Phơng pháp 11: Phơng pháp làm Với n=2 thì trội, làm giảm Với thì Vậy với n >1 thì Nên với n >1 thì Phơng pháp 11: Phơng pháp làm trội, làm giảm Ví dụ 2: CMR: Giải: Có Vậy: Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học Ví dụ 3: CMR: n dấu căn Giải: Thử với n=1: đúng Giả sử biểu thức đúng với n=k k dấu căn Ta phải CM biểu thức đúng với n= k+1 k+1 dấu... Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học Vớ d 4: CMR: vi ta cú: Gii: Th vi n=1: ỳng Gi s mnh ỳng vi n=k: Ta cn CM mnh ỳng vi n =k+1 Tht vy: Vỡ: V Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học =>Để so sánh (1) và (2), ta đi so sánh và (Do và Với ) Ta thấy: Vậy (1) > (2) hay Tóm lại mệnh đề đúng với Phơng pháp 13: Đổi biến Ví dụ 5: Cho a + b + c = 1 CMR: Giải: Đặt: Từ a + b + c = 1, ta có: Hay x +... Giải: Đặt: Từ Ví dụ 6: Cho Phơng pháp 13: PP Đổi biến CMR: , ta có: Do (dấu bằng xảy ra x=0) Mà Vậy Phơng pháp 14: Phơng pháp xét miền giá trị của biến Ví dụ 7: CMR Giải: (xét từng khoảng giá trị của biến) Nếu x=1 => A =1 > 0 Nếu Có Nếu thì Nếu thì Vậy trong mọi trờng hợp , ta đều có Phơng pháp 14: Phơng pháp xét miền giá trị của biến Ví dụ 8: CMR: Giải: (Xét khoảng giá trị của biến) Nếu Nếu nếu...= 4y2(1-y2+y2 +1)(1- y2 y2 1) =4y2.2.(-2y2) = -16 y4 0 vì a = (y2 +1)2 > 0 => Vậy f(x,y) > 0 (đpcm) Phơng pháp 10 : Chứng minh phản chứng Lu ý : Giả sử phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là điều trái giả thiết . y z ) 2 < 0 (Vô lý) Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai . Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai . Ph Ph ơng pháp 10 ơng pháp. : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 y 4 +2(x 2 +2 )y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 (2) Giải Giải : : Bất đẳng thức (2) tơng. Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức : x 3 y 3 = ( x y ) ( x 2 + xy + y 2 ) với x=a 2 ; y =b 2 Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cho n số a 1 , a 2