Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A- PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, trong đó a, b là các số thực. Đối với chương trình toán học phổ thông số phức được đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh là một điều khó, mấy năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng đã đề cập đến số phức ở những dạng toán đơn giản. Để giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh , góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh 12. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toán thường gặp về số phức. Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số, lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức. Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp. B – PHẦN NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khái niệm số phức Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 =-1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z=a+bi. i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z=a+bi Tập hợp các số phức được ký hiệu là C. Chú ý: Số phức z= a+ 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i =a thuộc R ⊂ C Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): z= 0+ bi = bi (b R∈ ); i= 0 + 1i= 1i Số 0= 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. Định nghĩa 2: Hai số phức z= a+ bi (a, b R∈ ), z’= a’+ b’i (a’,b’ R∈ ) gọi là bằng nhau nếu a=a’, b= b’ Khi đó ta viết z= z’. 2. Biểu diễn hình học số phức Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z= a+ bi (a,b R∈ ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn số phức là z= a+ bi. Ta còn viết M(a+bi) hay M(z). Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. 3. Phép cộng và phép trừ số phức a) Tổng của hai số phức Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z= a+ bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ ) là số phức z+ z’ = a+ a’ + (b+b’)i b) Tính chất của phép cộng số phức Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các số thực. • Tính chất kết hợp: (z+ z’) + z”=z+ (z’+ z”) với mọi z, z’, z” C∈ • Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với mọi z,z’ C ∈ • Cộng với 0: z+ 0 = 0+ z = z với mọi z C∈ • Với mỗi số phức z= a+ bi (a,b R∈ ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z+ (-z) = (-z) +z =0 Số -z được gọi là số đối của số phức z. c) Phép trừ hai số phức Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z-z’=z+(-z’). Nếu z= a+ bi, z’=a’+b’i (a,b,a’,b’ R∈ ) thì z-z’ = a-a’ + (b-b’)i 4. Phép nhân số phức a) Tích của hai số phức Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z= a+ bi và z’= a’+ b’i (a,b,a’,b’ R∈ ) là số phức zz’= aa’ – bb’+(ab’+a’b)i b) Tính chất của phép nhân số phức • Tính chất giao hoán: zz’=z’z với mọi z,z’ C∈ • Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z,z’,z” C ∈ • Nhân với 1: 1.z = z.1 với mọi z C∈ • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z(z’+z”) = zz’+zz” với mọi z,z’,z” C∈ 5. Số phức liên hợp và môđun của số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của z= a+ bi (a, b R∈ ) là a-bi và được ký hiệu bởi z Như vậy: z a bi a bi= + = − Rõ ràng: z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox. b) Mô đun của số phức Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z=a+bi (a, b R∈ ) là số thực không âm 2 2 a b+ và được ký hiệu là z Như vậy: Nếu z= a+bi (a, b R∈ ) thì 2 2 z zz a b= = + 6. Phép chia cho số phức khác 0 Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2 1 z z z − = Thương 'z z của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 1 ' ' z z z z − = Như vậy: Nếu 0z ≠ thì 2 ' 'z z z z z = 7. Căn bậc hai của số phức Định nghĩa: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn 2 wz = được gọi là một căn bậc hai của w. 8. Phương trình bậc hai. Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai ( ) 2 0 1Az Bz C+ + = Trong đó A,B,C là những số phức, ( 0A ≠ ) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực. Cụ thể là: Xét biệt thức: 2 4b ac∆ = − - Nếu 0 ∆ ≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 B B z z A A δ δ − + − − = = trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ - Nếu 0 ∆ = thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A = = − 9. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa 1: Cho số phức 0z ≠ . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z Định nghĩa 2: Dạng ( os isin )z r c φ φ = + trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức 0z ≠ . Còn dạng z=a+ bi ( ,a b R∈ ) được gọi là dạng đại số của số phức z. 10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Định lý: Nếu ( os isin )z r c φ φ = + , ' '( os ' isin ')( 0, ' 0)z r c r r φ φ = + ≥ ≥ thì zz’= rr’ ( ) os ' isin( ')]c φ φ φ φ   + + +   , ( ) ( ) ' ' os ' isin ' z r c z r φ φ φ φ   = − + −   (Khi r>0) 11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng a) Công thức Moavro Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương n. ( ) [ ( os isin )] os isin n n r c r c φ φ φ φ + = + và khi r=1 ta có: ( os isin ) osn isin n c c n φ φ φ φ + = + b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Từ công thức Moavro dễ thấy số phức ( os isin )z r c φ φ = + trong đó r>0 có hai căn bậc hai là: os isin 2 2 r c φ φ    ÷   và - os isin os isin 2 2 2 2 r c r c φ φ φ φ         = + Π + + Π  ÷  ÷  ÷ ÷         II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC 1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức Thí dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho 2 3z i u z i + + = − là một số thuần ảo. Giải: Đặt z= x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 2 2 1 1 x y i x y i x y i u x y i x y x y x y x y i x y     + + + − − + + +     = = + − + − + + + − + − + = + − u là số thuần ảo khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 1 1 5 1 0 ; 0;1 x y x y x y x y x y   + + + − = + + + =   ⇔   + − > ≠     Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính 5 trừ điểm (0;1). Thí dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 4 1 3 1 0 z i x y i x y i z i x y x y x y + − = ⇔ + + − = − − − − + ⇔ + + − = − + − ⇔ − − = Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0. Thí dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:\ a) 3 z z i = − b) 3 4z z i= − + c) 4z i z i− + + = Giải: a) Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 9 9 3 9 1 8 64 z z i x y x y x y     = − ⇔ + = + − ⇔ + − =  ÷     Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I 9 0; 8    ÷   bán kính 3 8 R = b) Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 3 4z z i x y x y= − + ⇔ + = − + − 6 8 25x y⇔ + = Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+ 8y= 25 c) Đặt z=x+yi (x,y R∈ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 1 4 1 16 8 1 1 1 16 1 16 4 4 8 4 8 16 2 1 4 4 z i z i x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y x y y y − + + = ⇔ + − + + + =  + − ≤  ⇔   + − = − + + + + +   + + ≤  + + ≤    ⇔ ⇔ + + + = + +   + + = +   ≥ −    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 16 1 1 2 3 4 4 3 x y x y y  + + ≤   ⇔ + =    ≥ −  Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elio luôn thỏa mãn điều kiện 4y ≥ − . Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 2 2 1 3 4 x y + = Thí dụ 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức ( ) w 1 3 2i z= + + biết rằng số phức z thỏa mãn 1 2z − ≤ Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R∈ ), w= x+ yi (x, y R∈ ) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) w 1 3 2 1 3 2 3 1 3 3 2 3 3 1 3 i z x yi i a bi x a b x a b y a b y a b = + + ⇔ + = + + +   − = − + = − +   ⇔ ⇔   − = − + = +     Từ đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 1 16x y a b   − + − ≤ − + ≤   do (1) Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( ) ( ) 2 2 3 3 16x y− + − ≤ có tâm I ( ) 3; 3 bán kính R=4. Thí dụ 5: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π Giải: Gọi z= x+ yi (x,y R∈ ) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x yi x yi x yi z z x yi x y     − + + + − + −     = = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 1 2 2 2 x y yi x x x y y i x y x y x y − + + + − + + − = = + + + − + − + Vì số phức 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 os isin 0 3 3 2 2 4 2 2 4 3 2 2 x y y i r c r x y x y x y r x y y r x y π π + −   + = + >  ÷   − + − +  + − =  − +  ⇔   =  − +  Từ đó suy ra y>0 (1) và 2 2 2 2 4 4 3 4 4 3 y y x y x y = ⇔ + − = + − ( ) 2 2 2 2 4 2 3 3 x y     ⇔ + − =  ÷  ÷     Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm nằm trên trục thực. Thí dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 3 4 2z i− − = Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) ( ) ( ) 3 4 3 4z i x y i⇒ − + = − + + Từ ( ) 3 4 2z i− − = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 4 4x y x y− + + = ⇔ − + + = Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2. Thí dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ( ) 1z i i z− = + Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 z i i z x y i x y x y i x y x y x y − = + ⇔ + − = − + + ⇔ + − = − + + ( ) 2 2 2 2 2 1 0 1 2x y xy x y⇔ + + − = ⇔ + + = Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình ( ) 2 2 1 2x y+ + = 2. Tính mô đun của số phức Thí dụ 8: Giả sử z 1 ; z 2 là hai số phức thỏa mãn 6 2 3z i iz− = + và 1 2 1 3 z z− = Tính mô đun 1 2 z z+ Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 2 3 6 6 1 2 3 3 1 1 6 6 1 2 3 3 9 3 z i iz x y i y xi x y y x x y z ⇒ − = + ⇔ + − = − + ⇔ + − = − + ⇔ + = ⇔ = Suy ra 1 2 1 3 z z= = Ta lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 9 9 z z z z z z z z z z z z z z z z= − = − − = − − + = − + Suy ra 1 2 2 1 1 9 z z z z+ = Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 z z z z z z z z z z z z+ = + + = − + + = 1 2 1 3 z z⇒ + = Chú ý: Học sinh có thể đặt z 1 ; z 2 dạng đại số để tính. Thí dụ 9: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z+ + = Tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 A z z= + Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 0 1 9 1 3 1 3 1 3 z z z z i z i z i + + = ⇔ + = − ⇔ + = = − +  ⇔  = − −  ( ) 2 2 1 1 2 2 1 3 1 3 10 1 3 10 z i z z i z = − + ⇒ = − + = = − − ⇒ = Vậy 2 2 1 2 20A z z= + = Thí dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn 2 6 13 0z z− + = Tính 6 z z i + + Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 13 0 3 4 3 2 3 2 3 2 z z z z i z i z i − + = ⇔ − = − ⇔ − = = +  ⇔  = −  Với 3 2z i = + ta có 6 6 3 2 4 17 3 3 z i i z i i + = + + = + = + + Với 3 2z i = − ta có 6 6 1 3 2 24 7 5 3 5 z i i z i i + = − + = − = + − Thí dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn ( ) 3 1 3 1 i z i − = − Tìm Mô dun của số phức z iz+ Giải: Ta có ( ) 3 1 3 8− = − Do đó 8 4 4 1 z i i = − = − − − Suy ra 4 4z i = − + ( ) 4 4 4 4 8 8z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − Vậy 8 2z iz+ = Thí dụ 12: Tính mô đun của số phức z biết rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2z i z i i− + + + − = − Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R∈ ) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 3 z i z i i a bi i a bi i i a b a b i a b a b i i a a b a b a b i i a b b − + + + − = −     ⇔ − + + + + − − = −     ⇔ − − + + − + − + − + + = −  =  − =   ⇔ − + + − = − ⇔ ⇔   + − = −   = −   Suy ra mô đun: 2 2 2 3 z a b= + = Thí dụ 13: Cho hai số phức z 1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện: 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 z i iz z i iz  − = +   − = +   Tính 1 2 P z z= + biết 1 2 1z z− = Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 z i iz x y y x x y z z − = + ⇔ + − = − + ⇔ + = ⇒ = = Đặt ( ) 2 2 2 2 1 2 ; , , , 2; 2z a bi z c di a b c d R a b c d= + = + ∈ ⇔ + = + = Từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 7 z z a c b d ac bd P z z P a c b d a b c d ac bd − = ⇔ − + − = ⇔ + = = + ⇒ = + + + = + + + + + = Vậy 7P = Thí dụ 14: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 1 2 1 1 i z i + + = − Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 3 4 3 i z y xi i x y x y y z x y y + + = ⇔ − + = − ⇔ + − = ⇔ + = − ⇔ = + = − Từ (1) ta có: ( ) 2 2 1 1 3 1 4 3 9y y y− ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i Thí dụ 15: Biết rằng số phức z thỏa mãn ( ) ( ) 3 1 3u z i z i= + − + + là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R∈ ) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 3 4 4 6 2 4 u x y i x y i x y x y x y i     = + + − + − −     = + + − + + − − − Ta có: 4 0u R x y∈ ⇔ − − = [...]... phân loại các dạng toán về số phức và ứng dụng nh trên học sinh nắm đợc bài, hiểu đợc sâu kiến thức Từ đó học sinh rèn luyện đợc kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán về số phức và ứng dụng, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực t duy và kỹ năng giải toán của học sinh đợc nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và có kỹ năng... khi giáo viên hớng dẫn học sinh giải toán bằng cách phân loại các dạng toán về số phức và ứng dụng thì học sinh nâng cao đợc khả năng t duy và tính sáng tạo trong giải toán, đồng thời cũng làm cho học sinh hiểu rõ đợc vai trò và ý nghĩa của phơng pháp này để giải toán một cách sâu sắc và cụ thể III IU KIN P DNG TI Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình... vận dụng giải các bài toán đơn giản Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững phơng pháp này áp dụng vào các bài tập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng t duy và tính sáng tạo của học sinh IV HN CH CA TI Hạn chế của đề tài là cha nghiên cứu sâu các bài tập tổng hợp và ứng dụng số phức vào hình học V HNG TIP TC NGHIấN CU V M RNG TI Để nâng cao chất lợng học tập của học sinh tôi sẽ tiếp tục vận dụng. .. tập tổng hợp và ứng dụng số phức vào hình học V HNG TIP TC NGHIấN CU V M RNG TI Để nâng cao chất lợng học tập của học sinh tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho các bài toán tổng hợp và ứng dụng số phức vào hình học đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh khá, giỏi Tiên Lữ, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Ngời thực hiện Phạm Thị Bích Ngọc Mục lục A- PHN M U 1 I Lí DO CHN TI .1 II... bài toán tơng tự, trên cơ sở đó học sinh có thể giải đợc các bài toán tổng hợp Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ logic, kết quả cao, với kết quả nh sau : Năm học 2010 -2011 2012012 Lớp 12A1 12A2 12A1 12A2 Sĩ số 45 46 48 49 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 Số học sinh đạt điểm xi 4 5 6 7 0 2 11 14 0 3 8 15 2 11 10 12 1 9 15 8 8 9 9 5 9 9 6 9 6 6 10 3 2 2 1 II BI HC TNG KT Qua quá trình vận dụng . giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng . II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN. sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toán thường gặp về số phức. Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học. IV - THPT Tiên Lữ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A- PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những