A. Một số công thức phần xác suất I. X ác suất của biến cố: * n(A) m(A) P(A) = P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc * A=B+C P(A)=P(B+C) = P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc P(B).P(C) nếu B và C là độc lập A=B.C P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập * n21n21 A AA AAA +++= * n21n21 A A.A AAA =++ * P(A)+ ( ) AP =1 Công thức Bernoulli: ( ) ( ) xn xx nn p1pCxP = , x = 0,1,2,,n Công thức Xác suất đầy đủ: = = n 1i ii ))P(A/HP(HP(A) Công thức Bayes: n1,2, ,i /A))P(HP(H /A))P(HP(H P(A) /A))P(HP(H /A)P(H n 1i ii iiii i === = II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất: 1. Các tham số đặc trng: = n 1i i p i x nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc E(X) = + xf(x) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục = n i ii px 1 2 nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc E(X 2 ) = + )( 2 xfx nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục V(X)= ( )( ) 2 XEXE = ( ) ( )( ) 2 2 XEXE ( ) )(XVX = 2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: XA(P) Phm Hng Huyn-TKT X 0 1 P 1-p p 1 * ( ) ( ) 1;01 1 =−== − xppxXP x x * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; ( ) )1( ppX −= σ ♦ X∼B(n,p) ⇒ ( q=1-p ) * ( ) ( ) nxppCxXP xn xx n , ,1,01 =−== − * E(X)=np ; V(X)=npq ; ( ) npqX = σ Nx ∈ 0 * Mèt cña X∼B(n,p): x 0 = pnpxpnp +≤≤−+ 0 1 ♦ X∼P(λ) ⇒ * ( ) ! 1)( x e ppCxXP x xn xx n λ λ − − ≈−== ; x=0,1,2,… ( n kh¸ lín, p kh¸ nhá; λ=np ) * E(X)=V(X)=λ; ( ) λσ = X * Mèt cña X∼P(λ): λλ ≤≤− 0 1 x ; x 0 ∈N ♦ X∼N(µ,σ 2 ) ( ) 2 2 2σ μx e 2 1 f(x) − − ∏ =⇒ ( σ > 0 ) * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ(X)=σ *       − Φ−       − Φ=<< σ µ σ µ ab bXaP 00 )( * P(X<b) 5,0 0 +       − Φ≈ σ µ b * P(X>a)       − Φ−≈ σ µ a 0 5,0 * ( )       Φ=<− σ ε εµ 0 2XP • Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn: * §Þnh nghÜa: ( ) α α => UUP , U∼N(),1) Phạm Hương Huyền-TKT X 0 1 … x … n P 000 − n n qpC 111 − n n qpC … xnxx n qpC − … 0 qpC nn n 2 * Chú ý: 645,1;96,1; 05,0025,01 === UUUU Giá trị tới hạn Student: * Định nghĩa: ( ) ( ) => n TTP , TT(n) * Chú ý: UTTT nnn = )()()( 1 ; với 30 n Giá trị tới hạn Khi bình ph ơng: * Định nghĩa: ( ) ( ) => n P 22 , 2 2 (n) Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: * Định nghĩa: ( ) ( ) => 21 ,nn FFP , F F(n 1 ,n 2 ) * Chú ý: ( ) ( ) 12 21 , 1 , 1 nn nn F F = III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc X Y 1 x 2 x . i x . n x Tổng 1 y P(x 1 ,y 1 ) P(x 2 ,y 1 ) . P(x i ,y 1 ) . P(x n ,y 1 ) P(Y=y 1 ) 2 y P(x 1 ,y 2 ) P(x 2 ,y 2 ) P(x i ,y 2 ) P(x n ,y 2 ) P(Y=y 2 ) . . . . j y P(x 1 ,y j ) P(x 2 ,y j ) . P(x i ,y j ) P(x n ,y j ) P(Y=y j ) . . . . . . . m y P(x 1 ,y m ) P(x 2 ,y m ) . P(x i ,y m ) P(x n ,y m ) P(Y=y m ) Tổng P(X=x 1 ) P(X=x 2 ) P(X=x i ) . P(X=x n ) 1 ( ) ( ) jiji yYxXPyxP === ,, ( ) ( ) ( ) ( ) == ==== n i jij m j jii yxPyYPyxPxXP 11 ,;, ( ) ( )( ) ( ) ( ) j ji ji yYP yYxXP yYxXP = == === , / ( ) ( )( )( )( ) ( ) )()(,)(((, 1 1 YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov n i m j jijiXY === = = à ( ) ( ) YX XY XY à = ( ) ),(2)()( 22 YXabCovYVbXVabYaXV ++=+ III. Một số quy luật số lớn: Bất đẳng thức Trêb sép: Phm Hng Huyn-TKT 3 X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; >0 ( ) ( ) 2 )( 1 XV XEXP < ( ) ( ) 2 )( XV XEXP Định lý Trêb sép: X 1 , X 2 ,, X n độc lập từng đôi; E(X i ), V(X i ) hữu hạn i=1,2,,n; >0 ( ) 1 11 11 = < == n i i n i i n XE n X n PLim Định lý Bernoulli: f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lợc đồ Bernoulli với 2 tham số n, p > 0 , ta có ( ) 1 =< pfPLim n B. Một số công thức trong phần Thống kê toán I. Một số công thức trên mẫu: ( ) = == = = === k i ii k i ii k i ii xn n sMs n n s xxMsxn n xxn n x 1 22* 2 2 1 22 1 )( 1 ; 1 ; 1 ; 1 à * Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu. * Tổng thể : X ( ) 2 , à N X n N 2 , à ( ) ( ) n XVXE 2 , à == * Tổng thể XA(p) f n pq pN , ( ) ( ) n pq fVpfE == , ( khi n đủ lớn). II. Một số công thức về ớc l ợng: 1. ớc lợng giá trị tham số à trong quy luật ( ) 2 , à N Công thức Trờng hợp đã biết 2 (ít gặp) Trờng hợp cha biết 2 (thờng gặp) n 30 n>30 KTC đối xứng 22 à U n xU n x +<< )1( 2 )1( 2 +<< nn T n s xT n s x à 22 à U n s xU n s x +<< Phm Hng Huyn-TKT 4 KTC - ớc l- ợng max à à U n x +< < à ( ) 1 + n T n s x < à U n s x + KTC - ớc l- ợng min à à U n x > > à ( ) 1 n T n s x > à U n s x Công thức xác định kích thớc mẫu mới (n * ) sao cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1- ) và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I I 0 2 2/ 2 0 2 * 4 U I n 2)1( 2/ 2 0 2 * )( 4 n T I s n 2 2/ 2 0 2 * 4 U I s n Ch ú ý : 2 I = 2. ớc lợng giá trị tham số p trong quy luật A(p) KTC đối xứng 22 )1()1( U n ff fpU n ff f +<< KTC ớc lợng max p U n ff fp )1( +< KTC ớc lợng min p U n ff fp )1( > Công thức xác định kích thớc mẫu mới (n * ) sao cho: Giữ nguyên độ tin cậy (1-) và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I I 0 ( ) 2 2/ 2 0 * 14 U I ff n Ch ú ý : 2 I = Chú ý: Nếu P= N M thì có thể ớc lợng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể ớc lợng N qua P là M (quan hệ N và P là ngợc chiều). 3. ớc lợng giá trị tham số 2 trong quy luật ( ) 2 ,N Công thức Trờng hợp đã biết à (ít gặp) Trờng hợp cha biết à (thờng gặp) KTC hai phía ( ) nn snsn 2 2 1 2* 2 )(2 2/ 2* << ( ) 12 2 1 2 2 )1(2 2/ 2 )1()1( << nn snsn Phm Hng Huyn-TKT 5 KTC ớc lợng max 2 ( ) n ns 2 1 2* 2 < ( ) 12 1 2 2 )1( < n sn KTC ớc lợng min 2 ( ) n ns 2 2* 2 > ( ) 12 2 2 )1( > n sn III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc 1. Bài toán kiểm định về tham số à trong quy luật ( ) 2 , à N : a. Bài toán so sánh à với giá trị thực cho trớc 0 à Trờng hợp 2 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà > ( ) > == à UU nx UW ; 0 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà < ( ) < == à UU nx UW ; 0 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà ( ) > == 2/ 0 ; à UU nx UW Trờng hợp 2 cha biết (thờng gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 Trờng hợp n 30 Trờng hợp n>30 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà > ( ) ( ) > == 1 0 ; n TT s nx TW à ( ) > == à UU s nx UW ; 0 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà < ( ) ( ) < == 1 0 ; n TT s nx TW à ( ) < == à UU s nx UW ; 0 H 0 : 0 àà = H 1 : 0 àà ( ) ( ) > == 1 2/ 0 ; n TT s nx TW à ( ) > == 2/ 0 ; à UU s nx UW b. Bài toán so sánh hai tham số 1 à với 2 à của 2 quy luật phân phối chuẩn Trờng hợp 2 2 2 1 , đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 Phm Hng Huyn-TKT 6 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà > > + == UU nn xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà < < + == UU nn xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà > + == 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; UU nn xx UW Trờng hợp 2 2 2 1 , cha biết; n 1 30 , n 2 30 (thờng gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà > > + == UU n s n s xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà < < + == UU n s n s xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà > + == 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; UU n s n s xx UW Trờng hợp 2 2 2 1 , cha biết Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà > ( ) > + == k TT n s n s xx TW ; 2 2 2 1 2 1 21 Phm Hng Huyn-TKT 7 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà < ( ) < + == k TT n s n s xx TW ; 2 2 2 1 2 1 21 H 0 : 21 àà = H 1 : 21 àà ( ) > + == k TT n s n s xx TW 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2 21 // / ; 111 11 nsns ns c cncn nn k + = + = 2. Bài toán kiểm định về tham số 2 trong quy luật ( ) 2 , à N : a. Bài toán so sánh 2 với giá trị thực cho trớc 2 0 Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 2 0 2 = H 1 : 2 0 2 > ( ) > == )1(22 2 0 2 2 ; 1 n sn W H 0 : 2 0 2 = H 1 : 2 0 2 < ( ) < == )1(2 1 2 2 0 2 2 ; 1 n sn W H 0 : 2 0 2 = H 1 : 2 0 2 ( ) <> == )1(2 2/1 2)1(2 2/ 2 2 0 2 2 ; 1 nn hay sn W b. Bài toán so sánh hai tham số 2 1 với 2 2 của 2 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 2 2 2 1 = H 1 : 2 2 2 1 > >== )1,1( 2 2 2 1 21 ; nn FF s s FW H 0 : 2 2 2 1 = H 1 : 2 2 2 1 < <== )1,1( 1 2 2 2 1 21 ; nn FF s s FW Phm Hng Huyn-TKT 8 H 0 : 2 2 2 1 = H 1 : 2 2 2 1 <>== )1,1( 2/1 )1,1( 2/ 2 2 2 1 2121 ; nnnn FFhayFF s s FW 3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p): a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p 0 cho trớc: Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 0 pp = H 1 : 0 pp > ( ) ( ) > == UU pp npf UW ; 1 00 0 H 0 : 0 pp = H 1 : 0 pp < ( ) ( ) < == UU pp npf UW ; 1 00 0 H 0 : 0 pp = H 1 : 0 pp ( ) ( ) > == 2/ 00 0 ; 1 UU pp npf UW b. Bài toán so sánh hai tham số 1 p với 2 p của 2 quy luật Không-Một Trong đó: 21 2211 nn fnfn f + + = Kiểm địnhphi tham số Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H 0 : X Quy luật A H 1 : X Quy luật A (Xét quy luật A là rời rạc) * Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 : Phm Hng Huyn-TKT Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 H 0 : 21 pp = H 1 : 21 pp > ( ) > + == UU nn ff ff UW ; 11 1 21 21 H 0 : 21 pp = H 1 : 21 pp < ( ) < + == UU nn ff ff UW ; 11 1 21 21 H 0 : 21 pp = H 1 : 21 pp ( ) > + == 2/ 21 21 ; 11 1 UU nn ff ff UW 9 ( ) ( ) > == = 122 1 2 2 ; rk k i i ii n nn W Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X (n); x i xuất hiện n i lần ; nn k i i = = 1 ; ii npn = ; ( ) ii xXPp == ; r là số tham số trong quy luật A cần ớc lợng, tham số của quy luật A đợc ớc lợng bằng phơng pháp ớc lợng hợp lý tối đa; Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H 0 : X , Y là độc lập H 1 : X , Y là phụ thuộc * Miền bác bỏ của giả thuyết H 0 : ( )( )( ) > == = = 1122 1 1 2 2 ;1 kh h i k j ji ij mn n nW Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (x i ,y j )xuất hiện n ij lần; nmnnnnmn k j j h i i h i k j iji k j ijj h i ij ===== === === 111 111 ,, . Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn: H 0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn +> H 1 : X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn MBB của H 0 : > +== 2(2) 2 4 2 3 JB; 24 3)(a 6 a nJBW ( a 3 là hệ số bất đối xứng, a 4 là hệ số nhọn) Phm Hng Huyn-TKT 10 . Bernoulli: f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lợc đồ Bernoulli với 2 tham số n, p > 0 , ta có ( ) 1 =< pfPLim n B. Một số công thức trong phần Thống kê toán I. Một số công thức trên mẫu: . AAA =++ * P(A)+ ( ) AP =1 Công thức Bernoulli: ( ) ( ) xn xx nn p1pCxP = , x = 0,1,2,,n Công thức Xác suất đầy đủ: = = n 1i ii ))P(A/HP(HP(A) Công thức Bayes: n1,2, ,i /A))P(HP(H /A))P(HP(H P(A) /A))P(HP(H /A)P(H n 1i ii iiii i === = . A. Một số công thức phần xác suất I. X ác suất của biến cố: * n(A) m(A) P(A) = P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc *