Bài 1: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F. 1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. 1. Ta có : ABC = 1v ABF = 1v ⇒ B, C, F thẳng hàng. AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. 2. ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) ⇒ EBA = AFD hay EBI = EFI ⇒ Tứ giác BEIF nội tiếp. 3. Gọi H là giao điểm của AB và PQ Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng ⇒ HP HA HB HP = ⇒ HP 2 = HA.HB Tương tự, HQ 2 = HA.HB ⇒ HP = HQ ⇒ H là trung điểm PQ. Bi 2: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB > BC). Vẽ đờng tròn tâm (O ' ) đờng kính BC.Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đờng tròn tâm O ' tại D. a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp? c) Xác định vị trí tơng đối của ID và đờng tròn tâm (O) với đờng tròn tâm (O ' ). O O B A C D E F I P Q H I D N M O' O A C B a) Đờng kính AB MN (gt) I là trung điểm của MN (Đờng kính và dây cung) IA=IC (gt) Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi. b) ã 0 90ANB = (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O) ) BN AN. AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN). BN MC (1) ã 0 90BDC = (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O ' ) ) BD MC (2) Từ (1) và (2) N,B,D thẳng hàng do đó ã 0 90NDC = (3). ã 0 90NIC = (vì AC MN) (4) Từ (3) và (4) N,I,D,C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính NC Tứ giác NIDC nội tiếp c) O BA. O ' BC mà BA vafBC là hai tia đối nhau B nằm giữa O và O ' do đó ta có OO ' =OB + O ' B đờng tròn (O) và đờng tròn (O ' ) tiếp xúc ngoài tại B V MDN vuông tại D nên trung tuyến DI = 1 2 MN =MI V MDI cân ã ã IMD IDM= . Tơng tự ta có ã ã ' 'O DC O CD= mà ã ã 0 ' 90IMD O CD+ = (vì ã 0 90MIC = ) ã ã 0 ' 90IDM O DC+ = mà ã 0 180MDC = ã 0 ' 90IDO = do đó ID DO ID là tiếp tuyến của đờng tròn (O ' ). Bi 3 a) (1,0 điểm) Có góc AEC = gócABE + gócBAE = gócHAC + gócHAE = gócEAC Do đó CAE cân đỉnh C mà CK là đờng phân giác của góc C CK AE Có gócAHC = gócAKC = 90 0 AKHC là tứ giác nội tiếp b) (1,0 điểm) có CI AE O 2 I AO 1 , tơng tự có O 1 I AO 2 Vậy I là trực tâm AO 1 O 2 AI O 1 O 2 AMN có AI MN và góc MAI = góc IAN ( cùng bằng 45 0 ) AMN cân đỉnh A AM = AN c) (1,0 điểm) KAO 2 vuông đỉnh K mà góc KAO 2 = 45 0 vậy KAO 2 vuông cân đỉnh K KA = KO 2 Gọi D là giao điểm của AI với đờng tròn (O). Ta có AI O 1 O 2 góc KO 1 O 2 = góc O 2 ID góc KO 1 O 2 = góc KIA AKI = O 2 KO 1 AI = O 2 O 1 có gócDIB = gócBAD + gócABI = góc CBD + gócCBI = góc DBI vậy DBI cân đỉnh D DB = DI BD cho trớc nên O 1 O 2 lớn nhất khiAD lớn nhất A là điểm chính giữa cung BC C A I D B O 2 O 1 K M N E H O . Bài 4 Cho∆ABC có 3 góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E.BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh:ADHE nội tiếp. 2. C/m:AE.AC=AB.AD. 3. AH kéo dài cắt BC ở F.Cmr:H là tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE. 4. Gọi I là trung điểm AH.Cmr IE là tiếp tuyến của (O) A I E D x H B F O C 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt. 2/C/m:AE.AC=AB.AD. Ta chứng minh ∆AEB và ∆ADC đồng dạng. 3/C/m H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác DEF. -Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chắn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH là phân giác của DEF. -Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH là phân giác của góc FDE⇒H là… Hình 87 554 4/ C/m IE là tiếp tuyến của (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH= 2 1 AH (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)⇒∆IAE cân ở I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) và AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cân ở O⇒ OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE tại điểm E nằm trên đường tròn (O)⇒đpcm Bài 5: Tõ ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kỴ hai tiÕp tun PA; PB. Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®êng kÝnh BC. a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iĨm E cđa AH b) Gi¶ sư PO = d. TÝnh AH theo R vµ d. Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) a) nªn theo ®Þnh lý Ta let ¸p dơng cho CPB ta cã CB CH PB EH = ; (1) MỈt kh¸c, do PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠ POB = ∠ ACB (hai gãc ®ång vÞ) => ∆ AHC ∞ ∆ POB Do ®ã: OB CH PB AH = (2) Do CB = 2OB, kÕt hỵp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trung ®iĨm cđa AH. b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®êng cao AH ta cã AH 2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã .)2( 2PB AH.CB 2PB AH.CB AH 2 −= R ⇔ AH 2 .4PB 2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB 2 = 4R.PB.CB - AH.CB 2 O B C H E A P AH (4PB 2 +CB 2 ) = 4R.PB.CB 2 222 222 222 2222 d Rd.2.R 4R)R4(d Rd.8R (2R)4PB 4R.2R.PB CB4.PB 4R.CB.PB AH = + = + = + = Bi 6 Cho ABCV cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp BCDV . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K . a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp. b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành. c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành AB // CK ã ã BAC ACK= Mà ã 1 2 ACK = sđ ằ EC = 1 2 sđ ằ BD = ã DCB Nên ã ã BCD BAC= Dựng tia Cy sao cho ã ã BCy BAC= .Khi đó, D là giao điểm của ằ AB và Cy. Với giả thiết ằ AB > ằ BC thì ã BCA > ã BAC > ã BDC . D AB . Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm. Bi 7 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Một góc xOy = 45 0 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại D và E. Chứng minh rằng: a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ). O K D C B A b. RDER << 3 2 a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ABOC là hình vuông (0.5đ) Kẻ bán kính OM sao cho BOD = MOD MOE = EOC (0.5đ) Chứng minh BOD = MOD OMD = OBD = 90 0 Tơng tự: OME = 90 0 D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R DE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R DE > 3 2 R Vậy R > DE > 3 2 R Bi 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) Tính tỉ số : MQ MP Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => IA MP CI DM = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). B M A O C D E Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 180 0 - AMQ=180 0 - gãc AIM = gãc BIA. Do ®ã ∆ DMQ ®ång d¹ng víi ∆ BIA => IA MQ BI DM = => DM.IA=MQ.IB (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra MQ MP = 1 . là trung điểm của MN (Đờng kính và dây cung) IA=IC (gt) Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi. b) ã 0 90ANB = (góc. giữa cung BC C A I D B O 2 O 1 K M N E H O . Bài 4 Cho∆ABC có 3 góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E.BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh:ADHE nội tiếp. 2 FDE⇒H là… Hình 87 554 4/ C/m IE là tiếp tuyến của (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH= 2 1 AH (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)⇒∆IAE cân ở I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) và AEI=xEC(đối