Baỡi 1 Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D nũm giổợa A vaỡ B. Qua B keớ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi CD, õổồỡng thúng naỡy cừt caùc õổồỡng thúng CD vaỡ CA theo thổù tổỷ ồớ H vaỡ K. a/ Chổùng minh rũng BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp. b/ So saùnh hai goùc ACB vaỡ KHA. c/ ổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc BHD cừt BC taỷi E (E B). Chổùng minh ba õióứm K, D, E thúng haỡng. Gi i a/ BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp: Theo giaớ thióỳt ta coù: v1BHC = vaỡ v1BAC = Suy ra H vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC. Vỗ vỏỷy tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC. b/ So saùnh hai goùc ACB vaỡ KHA : Tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp õổồỹc õổồỡng troỡn nón ta coù: v2ACBBHA =+ Maỡ: v2KHABHA =+ (hai goùc kóử buỡ) Suy ra: KHAACB = c/ Ba õióứm K, D, E thúng haỡng: Trong tam giaùc BKC hai õổồỡng cao CH vaỡ BA giao nhau taỷi D nón D laỡ trổỷc tỏm cuớa tam giaùc KBC. Suy ra: KD BC (1) Mỷt khaùc tổù giaùc BHDE nọỹi tióỳp nón ta coù: v2BEDBHD =+ Maỡ: v1BHD = (gt) Nón: v1BED = . Hay laỡ: DE BC (2) Tổỡ (1) vaỡ (2) ta kóỳt luỏỷn: K, D, E thúng haỡng. K A C E B H D Bi 2 Cho tam giaùc ABC coù ba goùc õóửu nhoỹn nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn tỏm O. Caùc õổồỡng cao BE vaỡ CF cừt nhau taỷi H. Tổỡ B keớ õổồỡng thúng song song vồùi CF cừt õổồỡng troỡn (O) taỷi õióứm thổù hai D. a/ Chổùng minh AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O). b/ Chổùng minh tổù giaùc BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh. c/ Chổùng minh HB.HE = HC.HF. d/ Goỹi I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC. Chổùng minh A, H, I thúng haỡng vaỡ I nũm trón õổồỡng troỡn (O). a/ AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O). Theo giaớ thióỳt ta coù: BD // CF vaỡ AB CF Nón : v1ABD = Suy ra B ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AD. Maỡ: A, B, D (O). Do õoù AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O). b/ Tổù giaùc BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh. Ta coù: CD AC (C ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AD) BE AC (gt) Suy ra: CD// BE. Mỷt khaùc: BD // CF (gt) Do õoù BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh. c/ HB.HE = HC.HF: Xeùt hai tam giaùc vuọng HFB vaỡ HEC ta coù: EHCFHB = (õọỳi õốnh) Nón: HFB HEC Suy ra: HC HB HE HF = Do õoù: HB.HE = HC.HF d/ A, H, I thúng haỡng, I (O) Vỗ I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón HI BC Thóm vaỡo õoù: AH BC (H laỡ trổỷc tỏm tam giaùc ABC) Vỗ vỏỷy A, H, I thúng haỡng. Theo giaớ thióỳt I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón: BHCBIC = Maỡ : BHCEHF = (õọỳi õốnh) Cho nón: EHFBIC = Mỷt khaùc: v2BACEHF =+ (goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng goùc) A E F C B O H I D Suy ra: v2BACBIC =+ Vỗ vỏỷy tổù giaùc ABIC nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn. Ta laỷi coù: A, B, C (O). Do õoù I (O). Baỡi 3: Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A (AB < AC) õổồỡng cao AH. M laỡ õióứm trón caỷnh AC sao cho AB = AM. N laỡ õióứm trón caỷnh BC sao cho MN // AH. a/ Chổùng minh tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn. b/ Chổùng minh HN = AH. c/ Chổùng minh CM.HN = AB.CN. d/ Caùc tióỳp tuyóỳn veợ tổỡ A, tổỡ B, tổỡ N vồùi õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc ABN cừt nhau taỷi P, Q, R (N ồớ trón õoaỷn thúng QR). Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc APBM khi PQ = 6cm vaỡ PR = 8cm a/ Tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn. Ta coù: AH // MN (gt) AH BC (gt) Suy ra: v1BNM = Mỷt khaùc: v1BAM = (gt) Cho nón: v2BAMBNM =+ Do õoù tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn. b/ HN = AH: Theo giaớ thióỳt ta coù: AB = AM vaỡ v1BAM = Suy ra ABM vuọng cỏn taỷi A. Cho nón: 0 45AMB = Maỡ: AMBANB = (cuỡng chừn cung AB) Vỗ vỏỷy: 0 45ANB = Mỷt khaùc: v1AHN = (gt) Suy ra AHN vuọng cỏn taỷi H Do õoù: AH = HN. c/ CM.HN = AB.CN: Do MN // AH nón ta coù: NH CN AM CM = Thóm vaỡo õoù: MA = AB (gt) Vỗ vỏỷy: NH.CMCN.AB NH CN AB CM == d/ Dióỷn tờch tổù giaùc APBM: Goỹi I laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc ABM thỗ I laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn thúng BM vỗ v1BAM = . Tổù giaùc AIBP coù: v1PBIPAI == (tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn) v1AIB = (AI laỡ trung tuyóỳn cuớa tam giaùc cỏn ABM) Suy ra AIBP laỡ hỗnh chổợ nhỏỷt Mỷt khaùc: BI = AI (baùn kờnh) A P Q I B C H N M R Cho nón AIBP laỡ hỗnh vuọng. Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng PQR ta coù: )cm(10QR1006436PRPQQR 222 ==+=+= Theo tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn ta coù:AP = BP; AQ = QN vaỡ BR = NR. Cho nón: PQ + PR - QR = AP + AQ + PB + BR - RN - NQ = AP + PB = 2AP Suy ra: AP = (PQ + PR - QR):2 = (6 + 8 -10):2 = 2(cm) Tổỡ õoù ta coù: AP = PB = BI = IM = 2(cm) Dióỷn tờch hỗnh thang APBM õổồỹc tờnh nhổ sau: ( ) ( ) )cm(6 2 2.42 2 PB.BMAP S 2 )APBM( = + = + = Baỡi 4: Cho hỗnh vuọng ABCD caỷnh a. Goỹi N laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ trón caỷnh DC (khọng truỡng vồùi D, C). Tia AN cừt tia BC taỷi M. ổồỡng thúng vuọng goùc vồùi AN taỷi A cừt tia BC vaỡ tia CD theo thổù tổỷ taỷi P vaỡ Q. a/ Chổùng minh tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn. b/ Chổùng minh tam giaùc AQM vuọng cỏn. c/ Tia PN cừt QM taỷi R. Goỹi K laỡ trung õióứm cuớa QM. Chổùng minh AK // PR. d/ Chổùng minh rũng khi N di õọỹng trón caỷnh DC (khọng truỡng vồùi D, C) thỗ tờch QD.PB khọng õọứi. : a/ Tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn: Ta coù: v1QAM = (gt) v1QCM = (ABCD laỡ hỗnh vuọng) Suy ra A, C ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh QM. Vỗ vỏỷy tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh CM. b/ Tam giaùc AQM vuọng cỏn: Ta coù: ACQAMQ = (cuỡng chừn cung AQ) 0 45ACQ = (AC laỡ õổồỡng cheùo hỗnh vuọng ABCD) Suy ra: 0 45AMQ = Mỷt khaùc: v1QAM = (gt) Do õoù tam giaùc AQM vuọng cỏn taỷi A. A B C D Q K R N M P c/ AK // PR: MA vaỡ QC laỡ hai õổồỡng cao trong tam giaùc QPM giao nhau taỷi N nón N laỡ trổỷc tỏm cuớa tam giaùc PQM. Suy ra: PR QM Mỷt khaùc AK QM (AK laỡ trung tuyóỳn cuớa tam giaùc cỏn AQM) Vỗ vỏỷy: AK // PR. d/ Tờch QD.PB khọng õọứi: Xeùt hai tam giaùc vuọng ADQ vaỡ PAB ta coù: PABAQD = (õọửng vở) Suy ra: ADQ PBA Tổỡ õoù ta coù: 2 aBA.ADDQ.PB BA DQ PB AD === Do õoù tờch QD.PB khọng õọứi khi N di õọỹng trón caỷnh DC. Baỡi 5 Tổỡ mọỹt õióứm A ồớ ngoaỡi õổồỡng troỡn (O), keớ caùc tióỳp tuyóỳn AM, AN vaỡ caùt tuyóỳn ABC vồùi õổồỡng troỡn (O) [M, N, B, C ồớ trón õổồỡng troỡn (O)]. I laỡ trung õióứm cuớa dỏy cung BC. a/ Chổùng minh tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp õổồỹc trong õổồỡng troỡn. b/ Chổùng minh : S (AMI) : S (ANI) = MI:NI (S (AMI) , S (ANI) laỡ dióỷn tờch tam giaùc AMI vaỡ tam giaùc ANI) a/ Tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp õổồỹc trong õổồỡng troỡn. Ta coù: v1OMA = (Tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn) v1ONA = (Tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn) v1OIA = (Tờnh chỏỳt õọỳi xổùng) Suy ra M, N, I ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh OA. Do õoù tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh OA. b/ S (AMI) : S (ANI) = MI:NI Dổỷng MK AC vaỡ NH AC (K,H AC) ta coù: AM = AN (AM = AN) Suy ra: NIKMIK = Xeùt hai tam giaùc vuọng KMI vaỡ HNI ta coù: NIKMIK = (chổùng minh trón) Suy ra: KMI HNI NH MK NI MI = Mỷt khaùc: NH MK 2:AI.NH 2:AI.MK S S )ANI( )AMI( == Do õoù: S (AMI) : S (ANI) = MI:NI Baỡi 6: A N M O I H K B C Cho hỗnh vuọng ABCD, M laỡ mọỹt õióứm trón caỷnh BC (M khaùc B vaỡ C). ổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AM cừt õoaỷn thúng BD taỷi B vaỡ N. a/ Chổùng minh tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn. b/ Chổùng minh N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC. a/ Tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn: Ta coù: NM ANB A = (cuỡng chừn cung AN) 0 45NB A = (ABCD laỡ hỗnh vuọng) Suy ra: 0 45NM A = Mỷt khaùc: v1MN A = (N ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AM) Do õoù tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn taiỷ N. b/ N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC: Vỗ BD laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa AC (ABCD laỡ hỗnh vuọng) Cho nón NA = NC Thóm vaỡo õoù: NA = NM (Tam giaùc ANM vuọng cỏn taỷi N) Suy ra: NA = NC = NM Do õoù N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC. A D C B M N Baỡi toaùn 7 Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D lỏỳy trón õoaỷn AC. ổồỡng vuọng goùc vồùi õổồỡng thúng BD veợ tổỡ C cừt õổồỡng thúng BD taỷi E vaỡ cừt õổồỡng thúng AB taỷi F. a/ Chổùng minh hai tam giaùc ABD vaỡ ECD õọửng daỷng. b/ Chổùng minh tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn. Tỗm tỏm cuớa õổồỡng troỡn õoù. c/ Trong cỏu naỡy, cho AB = AD = a vaỡ BC = 2a. ổồỡng thúng FD cừt BC taỷi K. Tờnh caỷnh AC, õổồỡng cao AH cuớa tam giaùc ABC vaỡ õoaỷn FK. x 1 = - (- 2) + 10 = 12 (thoaớ) ; x 2 = - (- 2) -10= - 8 (loaỷi) Vỏỷy vỏỷn tọỳc cuớa ngổồỡi anh laỡ 12km/h vaỡ vỏỷn tọỳc cuớa ngổồỡi em laỡ 8km/h. a/ ABD ECD : Hai tam giaùc vuọng ABD vaỡ ECD coù: EDCADB = (õọỳi õốnh) Suy ra: ABD ECD: b/ Tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn. Xaùc õởnh tỏm: Theo giaớ thióỳt ta coù: v1BAC = v1BEC = Suy ra A vaỡ E ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC. Do õoù tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC coù tỏm laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn thúng BC. c/ Tờnh AC, AH, FK: Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng ABC ta coù: BC 2 = AB 2 + AC 2 AC 2 = BC 2 - AB 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AC = 3a Aùp duỷng hóỷ thổùc lổồỹng vaỡo tam giaùc ABC vaỡ õổồỡng cao AH ta coù: AH.BC = AB.AC 2 3a a2 3a.a BC AC.AB AH === Ta coù D laỡ giao õióứm hai õổồỡng cao CA vaỡ BE trong tam giaùc FBC nón D laỡ trổỷc tỏm tam giaùc FBC. Suy ra FD BC. Tam giaùc ABC vuọng taỷi A nón ta coù: 00 30DCKAFK60ABC 2 1 a2 a AC AB CosABC ====== Ta coù: AD = a vaỡ AC = 3a nón DC = )13(a Tam giaùc FDA vuọng taiỷ A nón: B A H K E C D F a2 2 1 :a30Sin:aSinAFD:ADFD FD AD SinAFD 0 ===== Tam giaùc DKC vuọng taiỷ K nón: )13( 2 a 30Sin.CDSinDCK.CDDK CD DK SinDCK 0 ==== Do D FD nón: FK = DF + DK = )33( 2 a ) 2 1 2 3 2(a)13( 2 a a2 +=+=+ Baỡi 8 : Cho tam giaùc cỏn ABC (AB = AC). Qua A veợ mọỹt õổồỡng thúng cừt caỷnh BC taỷi M vaỡ cừt õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc õoù taỷi K (K A). a/ Chổùng minh AKC ACM. b/ Chổùng minh hóỷ thổùc: AB 2 = AK.AM c/ Cho bióỳt 0 30BAC = , baùn kờnh õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc ABC laỡ R. Tờnh dióỷn tờch tam giaùc ABC theo R. : a/ AKC ACM : Vỗ AB = AC (gt) AB = AC ACMAKC = Hai tam giaùc AKC vaỡ ACM coù goùc KAC laỡ goùc chung vaỡ ACMAKC = nón: AKC ACM b/ AB 2 = AK.AM : Theo chổùng minh trón: AKC ACM Suy ra: AM.AKAC AM AC AC AK 2 == Maỡ: AB = AC (gt) Do õoù: AM.AKAB 2 = c/ Dióỷn tờch tam giaùc ABC: Do OB = OC vaỡ AB = AC nón AO laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn BC. Goỹi H laỡ giao õióứm cuớa AO vaỡ BC ta coù: OB = OC (baùn kờnh) vaỡ 00 6030.2BAC2OBC === (cuỡng chừn cung BC) Suy ra: BOC õóửu BC = OB = R vaỡ 2 3R 2 3BC OH == ( ) ( ) 4 R.32 2 R. 2 3R R 2 BC.OHOA 2 BC.AH S 2 )ABC( + = + = + == A O C B K M H Baỡi 9 Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A. Trón caỷnh AB lỏỳy õióứm M sao cho MCAMCB < . ổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC cừt caỷnh BC taỷi D.ổồỡng thúng MD cừt õổồỡng thúng AC taỷi E. a/ Chổùng minh EADB laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp. b/ Trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC lỏỳy õióứm H sao cho M laỡ trung õióứm cuớa cung DH. Chổùng minh: HD // EB. c/ Goỹi N laỡ giao õióứm cuớa caùc õổồỡng thúng MC, EB. Chổùng minh ba õióứm N, H, A thúng haỡng. a/ EADB laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp: Do D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC nón: v1MDC = Suy ra: v1EDB = Mỷt khaùc: v1EAB = (vỗ v1BAC = ) Cho nón A vaỡ D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB. Do õoù tổù giaùc EADB nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB. b/ HD // EB: Ta coù: MADEDH = ( MD = HM ) MADBED = (cuỡng chừn BD ) Suy ra: BEDEDH = Vỗ vỏỷy: EB // HD c/ Ba õióứm N, H, A thúng haỡng: Trong tam giaùc EBC, M laỡ giao õióứm hai õổồỡng cao ED vaỡ BA nón M laỡ trổỷc tỏm tam giaùc EBC. Suy ra: CN EB Hay: v1BNC = Mỷt khaùc: v1BAC = (gt) Cho nón N vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC. Suy ra: NCBNAB = (cuỡng chừn cung NB) Ta laỷi coù: NCBHAB = ( MD = HM ) Vỗ thóỳ: HABNAB = Trón nổớa mỷt phúng bồỡ AB ta coù HABNAB = nón tia AH truỡng vồùi tia AN. Hay noùi mọỹt caùch khaùc A, H, N thúng haỡng. A E H N B C D M . trổỷc tỏm cuớa tam giaùc KBC. Suy ra: KD BC (1) Mỷt khaùc tổù giaùc BHDE nọỹi tióỳp nón ta coù: v2BEDBHD =+ Maỡ: v1BHD = (gt) Nón: v1BED = . Hay laỡ: DE BC (2) Tổỡ (1) vaỡ (2) ta kóỳt. ổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc BHD cừt BC taỷi E (E B). Chổùng minh ba õióứm K, D, E thúng haỡng. Gi i a/ BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp: Theo giaớ thi ỳt ta coù: v1BHC = vaỡ v1BAC = Suy. kờnh) A P Q I B C H N M R Cho nón AIBP laỡ hỗnh vuọng. Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng PQR ta coù: )cm(10QR1006436PRPQQR 222 ==+=+= Theo tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn ta coù:AP = BP; AQ = QN vaỡ BR = NR. Cho