Ý nghĩa của của hiệp phương sai Từ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì Cov(X, Y) = 0 , ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu hiệu để biết X và Y có độc lập nhau hay không. Hơn nữa, hiệp phương sai còn được dùng để xem xét chiều phụ thuộc lẫn nhau của 2 biến X, Y. Thật vậy hãy xét ví dụ sau: Example Gọi X và Y lần lượt là hai biến chỉ định của biến cố A và B. Tính Cov(X, Y) rồi suy luận kết qủa nhận được. Ý nghĩa của của hiệp phương sai  Cov(X, Y) > 0: X và Y phụ thuộc “thuận”.  Cov(X, Y) < 0: X và Y phụ thuộc “nghịch”. Hệ số tương quan Để đo mức độ phụ thuộc của 2 biến X, Y, ta dùng hệ số tương quan: Corr(X, Y) = Cov(X, Y)  Var(X)Var(Y) . Tính chất:  −1 ≤ Corr(X, Y) ≤ 1.  Hệ số tương quan càng gần -1: X và Y phụ thuộc tuyến tính nghịch.  Hệ số tương quan càng gần 1: X và Y phụ thuộc tuyến tính thuận.  Hệ số tương quan bằng 0: X và Y không phụ thuộc nhau. Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Kỳ vọng Phương sai Hiệp phương sai và hệ số tương quan Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn Bất đẳng thức Markov Nếu X là biến ngẫu nhiên có giá trị không âm, thì với mọi a > 0 P(X ≥ a) ≤ E(X) a Chứng minh: . . . Bất đẳng thức Chebyshev Nếu X là biến ngẫu nhiên kỳ vọng µ và phương sai σ 2 , thì với mọi k > 0 P(|X − µ| ≥ k) ≤ σ 2 k 2 Chứng minh: . . . Bất đẳng thức Chebyshev Example Giả sử tổng sản phẩm sản xuất trong nhà máy trong vòng 1 tuần là một biến ngẫu nhiên X với trung bình (kỳ vọng) là 50. a) Có thể kết luận gì về xác suất để tổng sản phẩm được sản xuất trong tuần này là lớn hơn 75? b) Nếu biết phương sai của X là 25, thì có thể nói gì về xác suất để tổng sản phẩm trong tuần là từ 40 đến 60 sản phẩm? Luật số lớn (yếu) Cho X 1 , X 2 , . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất và độc lập lẫn nhau. Khi đó, với mọi số  > 0, P       X 1 + . . . + X n n − µ      >   −→ 0 khi n → ∞ . Luật số lớn (yếu) Example Tung xúc sắc 6 mặt cân bằng n lần, gọi X i là số nút nhận được ở lần tung thứ i. Trung bình số nút nhận được sau n lần tung là: X 1 + +X n n . Kỳ vọng số nút nhận được mỗi lần tung: E(X i ) = 3, 5 với mọi i. Theo luật số lớn: P       X 1 + . . . + X n n − 3, 5      >   −→ 0 khi n → ∞ . tức là trung bình số nút nhận được sẽ càng gần giá trị 3,5 khi số lần tung n càng lớn. Luật số lớn (yếu) . là 50. a) Có thể kết luận gì về xác suất để tổng sản phẩm được sản xuất trong tuần này là lớn hơn 75? b) Nếu biết phương sai của X là 25, thì có thể nói gì về xác suất để tổng sản phẩm trong tuần. phẩm? Luật số lớn (yếu) Cho X 1 , X 2 , . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất và độc lập lẫn nhau. Khi đó, với mọi số  > 0, P       X 1 + . . . + X n n − µ      >