Các tính chất của kỳ vọng 1) E(C) = C với mọi hằng số C. 2) E(CX) = CE(X). 3) E [ (u(X) ] =             i u(x i )f(x i ) nếu X rời rạc  D u(x)f(x)dx nếu X liên tục 4) E(aX + b) = aE(X) + b 5) E(X + Y) = E(X) + E(Y). Các tính chất của kỳ vọng Example Thời gian (tính theo giờ), để xử lý một sự cố mất điện tại một nhà máy sản xuất, là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất sau: f(x) =  1 nếu 0 < x < 1 0 nơi khác Tổn thất của nhà máy phụ thuộc vào thời gian xử lý sự cố mất điện theo bậc lũy thừa 3, nghĩa là nếu thời gian xử lý sự cố là x thì tổn thất sẽ vào khoảng x 3 . Tính trung bình tổn thất sau mỗi lần nhà máy gặp sự cố mất điện. Các tính chất của kỳ vọng Example Một thư ký soạn thảo N lá thư và điền N địa chỉ tương ứng vào N bì thư. Cô ta vô tình làm rơi tất cả bì thư trên sàn nhà và các bì thư trộn lẫn vào nhau không theo thứ tự ban đầu. Giả sử cô thư ký xếp ngẫu nhiên 1 lá thư vào 1 bì thư bất kỳ trên sàn, sao cho xác suất một lá thư được xếp vào 1 bì thư bất kỳ là như nhau. Hỏi kỳ vọng con số lá thư được xếp vào đúng bì thư của nó là bao nhiêu? Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Kỳ vọng Phương sai Hiệp phương sai và hệ số tương quan Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X). Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X), được định nghĩa bởi: Var(X) = E[(X − µ) 2 ] Chứng minh rằng Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 . Example Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung xúc sắc 6 mặt cân bằng. Example Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I của biến cố A. Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X). Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X), được định nghĩa bởi: Var(X) = E[(X − µ) 2 ] Chứng minh rằng Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 . Example Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung xúc sắc 6 mặt cân bằng. Example Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I của biến cố A. Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X). Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X), được định nghĩa bởi: Var(X) = E[(X − µ) 2 ] Chứng minh rằng Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 . Example Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung xúc sắc 6 mặt cân bằng. Example Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I của biến cố A. Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = E(X). Phương sai (Variance) của X, ký hiệu là Var(X), được định nghĩa bởi: Var(X) = E[(X − µ) 2 ] Chứng minh rằng Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 . Example Tính Var(X) với X là số nút nhận được khi tung xúc sắc 6 mặt cân bằng. Example Tính phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ định I của biến cố A. Các tính chất của phương sai Chứng minh rằng: Var(aX + b) = a 2 Var(X). Từ đó suy ra:  Var(b) = 0 với mọi hằng số b.  Var(aX) = a 2 Var(X) với mọi hằng số a. Độ lệch chuẩn: được định nghĩa là căn bậc hai của phương sai. σ =  Var(X) . Các tính chất của phương sai Chứng minh rằng: Var(aX + b) = a 2 Var(X). Từ đó suy ra:  Var(b) = 0 với mọi hằng số b.  Var(aX) = a 2 Var(X) với mọi hằng số a. Độ lệch chuẩn: được định nghĩa là căn bậc hai của phương sai. σ =  Var(X) . . giờ), để xử lý một sự cố mất điện tại một nhà máy sản xuất, là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất sau: f(x) =  1 nếu 0 < x < 1 0 nơi khác Tổn thất của nhà máy phụ thuộc vào thời gian xử. thứ tự ban đầu. Giả sử cô thư ký xếp ngẫu nhiên 1 lá thư vào 1 bì thư bất kỳ trên sàn, sao cho xác suất một lá thư được xếp vào 1 bì thư bất kỳ là như nhau. Hỏi kỳ vọng con số lá thư được xếp vào