Ch ơng 10 : hệ phơng trình tuyến tính 10.1. hệ phơng trình tuyến tính 10.1.1. Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính. Định nghĩa 10.1. Một hệ gồm m phơng trình và n ẩn số có dạng: (I) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 trong đó a ij , b i là các số thực; x j là các ẩn số (i = 1,2, ,m; j = 1,2, ,n) đợc gọi là một hệ phơng trình tuyến tính. Ví dụ 10.1. Hệ x y z x y z + + = = 2 2 0 là một hệ phơng trình tuyến tính có 2 phơng trình và 3 ẩn số. Nhận xét 10.1. (i) Từ hệ (I) ta thành lập đợc các ma trận sau: X = (x 1 , x 2 , , x n ) T là ma trận cấp nì1 đợc gọi là vectơ ẩn số của hệ (I). A = mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa đợc gọi là ma trận các hệ số của ẩn của hệ (I). B = (b 1 , b 2 , , b m ) T là ma trận cấp mì1 đợc gọi là vectơ hệ số tự do của hệ (I). Thì hệ (I) còn đợc viết dới dạng ma trận nh sau: AX = B. (ii) Nếu gọi A 1 , A 2 , , A n lần lợt là các cột của ma trận A. Thì hệ (I) còn đ- ợc viết dới dạng vectơ nh sau: A 1 x 1 + A 2 x 2 + + A n x n = B. (iii) Thành lập ma trận ( ) A A B= % và đợc gọi là ma trận bổ sung của hệ (I). Thì việc cho hệ (I) hay cho ma trận bổ sung là nh nhau. Ví dụ 10.2. Hệ x y z x y z x y z + + = = + = 2 2 0 2 1 là một hệ phơng trình tuyến tính có: A = 1 1 1 2 1 1 1 2 1 , B = 2 0 1 , X = x y z , A 1 = 1 2 1 , A 2 = 1 1 2 , A 3 = 1 1 1 , và A = 1 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 1 % . Hệ trên đợc cho dới dạng ma trận nh sau: AX = B. Hệ trên đợc cho dới dạng vectơ nh sau: A 1 x + A 12 y + A 3 z = B. 10.1.2. Nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính. Cho hệ phơng trình tuyến tính (I). Vectơ X 0 =( 1 , 2 , , n ) T đợc gọi là nghiệm của hệ (I) nếu: AX 0 = B hay A 1 1 + A 2 2 , , A n n = B. Một hệ phơng trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm đợc gọi là hệ tơng thích, có duy nhất nghiệm đợc gọi là hệ xác định, có vô số nhiệm đợc gọi là hệ vô định. Một hệ phơng trình tuyến tính không có nghiệm nào cả đợc gọi là hệ không tơng thích hay hệ vô nghiệm. Hai hệ phơng trình tuyến tính đợc gọi là tơng đơng nếu mọi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngợc lại hoặc cả hai hệ phơng trình tuyến tính đó đều vô nghiệm. 10.1.3. Phép biến đổi sơ cấp. Các phép biến đổi sau đây thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính đợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai phơng trình cho nhau. Nhân hai vế của một phơng trình với một hằng số tuỳ ý khác không. Nhân hai vế của một phơng trình với một hằng số tuỳ ý rồi cộng vào một phơng trình khác. Ví dụ 10.3. Cho hệ phơng trình tuyến tính: x y z x y z x y z + + = + = + = 2 3 12 2 5 10 2 1 . Đổi chỗ phơng trình 1 và phơng trình 3 cho nhau ta đợc hệ mới là: x y z x y z x y z + = + = + + = 2 1 2 5 10 2 3 12 . Nhân cả hai vế của phơng trình 2 với 2 ta đợc hệ mới là: x y z x y z x y z + + = + = + = 2 3 12 4 2 10 20 2 1 . Nhân cả hai vế của phơng trình 3 với 2 rồi cộng vào phơng trình 1 ta đợc hệ mới là: x y z x y z x y z + + = + = + = 4 6 14 2 5 10 2 1 . Nhận xét 10.2. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính chính là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận bổ sung của hệ phơng trình tuyến tính đó. Định lý 10.1. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính biến đổi hệ đã cho về một hệ mới tơng đơng với nó. Chứng minh. Đối với các phép biến đổi thứ nhất và thứ hai thì kết quả trên hiển nhiên đúng, ta chỉ cần chứng minh cho phép biến đổi thứ ba. Cho hệ phơng trình tuyến tính (I). Giả sử trong hệ (I) ta nhân phơng trình 1 với số k và cộng vào phơng trình 2 (các trờng hợp khác chứng minh tơng tự). Thì hệ (I) và hệ mới lần lợt là: (I) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , (II) ( ) ( ) ( ) n n n n n m m mn n m a x a x a x b ka a x ka a x ka a x kb b a x a x a x b + + + = + + + + + + = + + + + = 11 1 12 2 1 1 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 . (i) Nếu hệ (I) vô nghiệm mỗi X =( 1 , 2 , , n ) T R n đều tồn tại i {1,2, ,m} sao cho: a i1 1 + a i2 2 + + a in n b i . Chứng tỏ X =( 1 , 2 , , n ) T không phải là nghiệm của phơng trình thứ i của hệ (II). Do đó hệ (II) vô nghiệm. (ii) Nếu hệ (II) vô nghiệm mỗi X =( 1 , 2 , , n ) T R n đều tồn tại i {1,3,4, ,m} sao cho: a i1 1 + a i2 2 + + a in n b i , hoặc (ka 11 + a 21 ) 1 + (ka 12 + a 22 ) 2 + + (ka 1n + a 2n ) n k b 1 + b 2 . a 21 1 + a 22 2 + + a 2n n b 2 . Chứng tỏ X =( 1 , 2 , , n ) T không phải là nghiệm của phơng trình thứ i (hoặc phơng trình thứ 2) của hệ (I). Do đó hệ (I) vô nghiệm. (iii) Nếu hệ (I) có nghiệm X 0 =( 1 , 2 , , n ) T thì a i1 1 + a i2 2 + + a in n = b i (i =1,2, ,m) a 11 1 + a 12 2 + + a 1n n = b 1 ka 11 1 + ka 12 2 + + ka 1n n = kb 1 . (ka 11 + a 21 ) 1 + (ka 12 + a 22 ) 2 + + (ka 1n + a 2n ) n = k b 1 + b 2 . Chứng tỏ X =( 1 , 2 , , n ) T là nghiệm của hệ(II). Vậy mọi nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). (iiii) Nếu hệ (II) có nghiệm X 0 =( 1 , 2 , , n ) T thì a i1 1 + a i2 2 + + a in n = b i (i =1,3,4, ,m) và (ka 11 + a 21 ) 1 + (ka 12 + a 22 ) 2 + + (ka 1n + a 2n ) n = k b 1 + b 2 . Vì a 11 1 + a 12 2 + + a 1n n = b 1 ka 11 1 + ka 12 2 + + ka 1n n = kb 1 . a 21 1 + a 22 2 + + a 2n n = b 2 . Chứng tỏ X =( 1 , 2 , , n ) T là nghiệm của hệ(I). Vậy mọi nghiệm của hệ (II) cũng là nghiệm của hệ (I).(đpcm) 10.2. hệ phơng trình tuyến tính Crame 10.2.1. Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính Crame. Định nghĩa 10.2. Cho hệ phơng trình tuyến tính AX = B. Hệ AX = B đợc gọi là hệ phơng trình tuyến tính Crame nếu hệ đó có số phơng trình bằng số ẩn và |A| 0. Ví dụ 10.4. (i) Hệ x y z x y z x y z + + = + = + = 6 2 3 3 2 là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng số ẩn bằng 3 và |A| = = 1 1 1 2 1 1 10 0 3 1 1 nên hệ trên là hệ phơng trình tuyến tính Crame. (ii) Hệ x y z x y z x z + + = + = + = 6 2 3 3 2 9 là hệ phơng trình tuyến tính có |A| = = 1 1 1 2 1 1 0 3 0 2 và số phơng trình bằng số ẩn bằng 3 nên hệ trên không phải là hệ phơng trình tuyến tính Crame. (iii) Hệ x y y x y y + + = + = 9 3 6 là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng 2 khác số ẩn bằng 3 nên hệ trên không phải là hệ phơng trình tuyến tính Crame. 10.2.2. Quy tắc Crame. Định lý 10.2. Mọi hệ phơng trình tuyến tính Crame đều có duy nhất nghiệm. Chứng minh. Giả sử hệ AX = B với A =(a ij ) m ì n , B, X R n là hệ phơng trình tuyến tính Crame. Gọi A 1 , A 2 , , A n tơng ứng là các cột của ma trận A. Vì hệ trên là hệ Crame nên |A| 0 hg(A) = hg(A 1 ,A 2 , ,A n ) = n hệ {A 1 ,A 2 , ,A n } độc lập tuyến tính trong R n . Do đó, hệ {A 1 ,A 2 , ,A n } độc lập tuyến tính cực đại trong R n hay nó là một cơ sở của R n B biểu thị tuyến tính duy nhất qua các vectơ của hệ {A 1 ,A 2 , ,A n }: A 1 1 + A 2 2 + + A n n = B. Chứng tỏ hệ có nghiệm duy nhất ( 1 , 2 , , n ) T . Mặt khác, với mỗi k {2,3, ,n1} (k =1, k = n chứng minh tơng tự) ta có: |A k (B)| = |A k (A 1 1 + A 2 2 + + A n n )| = |A 1 , A 2 , , A k-1 ,A 1 1 + A 2 2 + + A n n , A k+1 , , A n | = 1 |A k (A 1 )| + 2 |A k (A 2 )| + + k-1 |A k (A k-1 )| + k |A k (A k )| + k+1 |A k (A k+1 )| + + n |A k (A n )| = k |A k (A k )| = k |A|. k = ( ) k A B A ( k = 1,2, ,n). Chứng tỏ hệ có nghiệm duy nhất ( 1 , 2 , , n ) T và thành phần thứ k của nghiệm đợc tính theo công thức: k = ( ) k A B A ( k = 1,2, ,n).(đpcm) Ví dụ 10.5. Giải hệ phơng trình sau: x y z x y z x y z + + = + = + = 6 2 3 3 2 . Giải. Hệ đ cho là hệ phã ơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng số ẩn và bằng 3; có: A = = 1 1 1 2 1 1 10 0 3 1 1 . Do đó, hệ đ cho là hệ phã ơng trình tuyến tính Crame có duy nhất nghiệm: x = ( ) A B A = = 1 6 1 1 1 3 1 1 1 10 2 1 1 , y = ( ) A B A = = 2 1 6 1 1 2 3 1 2 10 3 2 1 , z = ( ) A B A = = 3 1 1 6 1 2 1 3 3 10 3 1 2 . Chú ý 10.1. Nếu hệ AX = B là hệ phơng trình tuyến tính Crame thì |A| 0. Do đó, ma trận A có duy nhất ma trận nghịch đảo A 1 và hệ có nghiệm duy nhất X 0 . Khi đó: AX 0 = B X 0 = A 1 B. Ví dụ 10.6. Tìm hàm số bậc 3 biết rằng đồ thị của nó đi qua các điểm: M 1 (0;1), M 2 (1;1), M 3 (1;3), M 4 (2;3). Giải. Hàm số bậc 3 có dạng : y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Vì đồ thị của nó đi qua các điểm: M 1 (0;1), M 2 (1;1), M 3 (1;3), M 4 (2;3) nên toạ độ của các điểm thoả m n phã ơng trình của hàm số. Hay ta có hệ phơng trình: d a b c d a b c d a b c d = + + + = + + = + + + = 1 1 3 8 4 2 3 ( ) a b c I a b c a b c + + = + = + + = 2 2 4 2 1 và d = 1. Hệ (I) là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng số ẩn và bằng 3; có: A = = 1 1 1 1 1 1 6 0 4 2 1 . Do đó, hệ đ cho là hệ phã ơng trình tuyến tính Crame có duy nhất nghiệm: (a,b,c) T = A 1 (2,2,1) T . Mà ( ) A = = 2 11 1 1 1 3 2 1 , ( ) A = = 3 12 1 1 1 3 4 1 , ( ) A = = 4 13 1 1 1 6 4 2 , ( ) A = = 3 21 1 1 1 1 2 1 , ( ) A = = 4 22 1 1 1 3 4 1 , ( ) A = = 5 23 1 1 1 2 4 2 , ( ) A = = 4 31 1 1 1 2 1 1 , ( ) A = = 5 32 1 1 1 0 1 1 , ( ) A . = = 6 33 1 1 1 2 1 1 Vậy a b c = = 3 1 2 2 1 1 3 3 0 2 0 6 6 2 2 1 3 y = x 3 3x + 1. 10.3. Phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát 10.3.1. Định lý Croneker Capeli. Cho hệ phơng trình tuyến tính (I) AX = B với A = (a ij ) m ì n , X R n , B R m và ma trận bổ sung của nó là A % = (AB). Định lý 10.3 (Định lý Croneker Capeli). Điều kiện cần và đủ để hệ ph- ơng trình tuyến tính (I) có nghiệm là hg(A) = hg( A % ). Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ (I) có nghiệm và X 0 = ( 1 , 2 , , n ) T là một nghiệm của hệ, khi đó: A 1 1 + A 2 2 + + A n n = B, trong đó A 1 , A 2 , , A n tơng ứng là các cột của ma trận A. Chứng tỏ vectơ B biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 ,A 2 , ,A n }. hg(A 1 ,A 2 , ,A n ,B) = hg(A 1 ,A 2 , ,A n , A 1 1 + A 2 2 + + A n n ) = hg(A 1 ,A 2 , ,A n ) hg(A) = hg( A % ). Điều kiện đủ: Giả sử hệ (I) có hg(A) = hg( A % ) = r hg(A 1 ,A 2 , ,A n ,B) = hg(A 1 ,A 2 , ,A n ) = r. trong hệ vectơ {A 1 ,A 2 , ,A n } có một hệ con độc lập tuyến tính cực đại gồm r vectơ (không giảm tổng quát, giả sử con đó là hệ {A 1 ,A 2 , ,A r }). Mà hg(A 1 ,A 2 , ,A n ,B) = r hệ con {A 1 ,A 2 , ,A r } cũng độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A 1 ,A 2 , ,A n ,B}. Hay B = A 1 1 + A 2 2 , , A r r = A 1 1 + A 2 2 + + A r r + A r+1 0+ A r+2 0 + + A n 0. Chứng tỏ X 1 = ( 1 , 2 , , r ,0,0, ,0) T là một nghiệm của hệ (I). Hay hệ (I) có nghiệm. (đpcm) 10.3.2. Phơng pháp Gauss giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát. Bài toán: Giải hệ phơng trình tuyến tính (I) AX = B với A = (a ij ) m ì n , X R n , B R m và ma trận bổ sung của nó là A % = (AB). Chúng ta đ biết: Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phã ơng trình tuyến tính, chính là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận bổ sung của hệ đó. Đồng thời các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính, biến đổi hệ đ cho về một hệ mới tã - ơng đơng với nó. Chính vì vậy, Gauss đ đã a ra phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát nh sau: Thành lập ma trận A % , rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận A % , biến đổi ma trận A % về một ma trận mới có dạng hình thang hoặc tam giác (các trờng hợp khác ta xét sau) nh sau: ( ) ( ) ( ) r n r r n r r rr rn r r r m a a a a a b a a a a b . . . . . . C b a a a b . b + + + + = 11 12 1 1 1 1 1 22 2 2 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 % . Trờng hợp 1. Nếu trong các số b r+1 , b r+2 , , b m có ít nhất một số khác 0. Thì hg(A) < hg( A % ) nên hệ đã cho vô nghiệm. Trờng hợp 2. Nếu b r+1 = b r+2 = = b m = 0 và a ii 0 ( i = 1,2, ,r). Thì hg(A) = hg( A % ) = r nên hệ đã cho có nghiệm và tơng đơng với hệ mới gồm r phơng trình ứng với r dòng khác không của ma trận C % . Các ẩn x 1 , x 2 , , x r đ- ợc chọn làm ẩn cơ sở, các ẩn còn lại đợc gọi là các ẩn tự do. Để tìm nghiệm tổng quát của hệ đã cho, ngời ta tìm các ẩn cơ sở thông qua các ẩn tự do từ phơng trình thứ r (trong hệ C % ) ngợc trở về phơng trình 1. Muốn tìm một nghiệm riêng của hệ đã cho, ta cho các ẩn tự do tơng ứng mỗi ẩn một giá trị cụ thể. [...]... 0 ta đợc nghiệm riêng của hệ là: X0 = (156, 194, 19, 0, 0, 0)T 10.4 hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất 10.4.1 Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa 10.3 Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất là hệ phơng trình tuyến tính có dạng: AX = 0m, trong đó A = (aij)mìn, X Rn Nhận xét 10.3 Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất AX = 0m luôn có nghiệm X = 0n và đợc gọi là nghiệm tầm thờng... (đpcm) Chú ý 10 4 Việc giải hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất giống nh việc giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát với B = 0 m Vì vậy, thay cho việc % thành lập và làm việc với ma trận A ta chỉ cần thành lập và làm việc với ma trận A là đủ 10.4.2 Tính chất của tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất Gọi C là của tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (III) AX... độc lập tuyến tính, do đó hệ {X1, X2, , Xn-r} độc lập tuyến tính cực đại và là một cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ( III) dim C = n r (đpcm) 10.4.3 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất Cho hệ phơng trình tuyến tính thuần (III) AX = 0m (trong đó A = (aij)mìn, X Rn) Gọi C là của tập hợp các nghiệm của hệ Định nghĩa 10.4 Mỗi cơ sở của không gian con C đợc gọi là một hệ nghiệm... KrôneccơCapeli về điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình tuyến tính có nghiệm Khi nào hệ phơng trình tuyến tính có duy nhất một nghiệm? có vô số nghiệm? Câu 3 Trình bày nội dung giải hệ phơng trình tuyến tính bằng phơng pháp ~ khử toàn phần Khi nào việc biến đổi ma trận A đợc kết thúc Câu 4 Phát biểu và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thờng... bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (III) Nhận xét 10.4 Quá trình chứng minh định lý 10.5 cho ta phơng pháp tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (III) nh sau: Dùng phơng pháp khử toàn phần tìm nghiệm tổng quat của hệ (III) Tìm n r nghiệm riêng X1, X2, , Xn-r của hệ (III) (nh trong chứng minh định lý 10.5, hg(A) = r) Chứng minh hệ {X1,X2, ,Xn-r} độc lập tuyến tính cực... giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát Bài toán: Giải hệ phơng trình tuyến tính (II) AX = B % với A = (aij)mìn, X Rn, B Rm và ma trận bổ sung của nó là A = (AB) Chúng ta đã biết: Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ ph ơng trình tuyến tính, chính là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận bổ sung của hệ đó Đồng thời các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ. .. có: Nghiệm tổng quát của hệ luôn đợc viết dới dạng: X = X1x4 + X2x5 0 0 Mặt khác X1k1 + X1k2= 05 0 0 0 = 11k1 2 k2 = 8k1 2 k2 = k1 k2 k1 = k2 = 0 = 1.k1 + 0.k2 = 0.k1 + 1.k2 Do đó hệ các nghiệm riêng {X1, X2} là hệ nghiệm cơ bản cần tìm câu hỏi ôn tập Chơng 10 Câu 1 Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính Crame Cho ví dụ hệ phơng trình tuyến tính Crame 3 ẩn với các hệ số của ẩn khác 0 Phát... lý 10.4 Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất AX = 0m có nghiệm không tầm thờng là hg(A) < n Chứng minh Gọi A1, A2, A3, , An lần lợt là các cột của ma trận A Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất AX = 0m có nghiệm không tầm thờng tồn tại X0 =(x1, x2, x3, , xn) 0n sao cho: A1x1+ A2x2+ A3x3+ + An xn= 0n hay hệ {A1, A2, A3, , An} là hệ phụ thuộc tuyến tính hg(A) = hg(A1, A2, A3,... hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thờng Câu 5 Phát biểu và chứng minh định lý về hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất Câu 6 Nêu phơng pháp tìm cơ sở của hệ véc tơ và biểu diễn các véc tơ của hệ theo cơ sở đó bằng cách sử dụng lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính Câu 7 Nêu cơ sở lý luận của phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách thành lập ma trận (AE) và... quá trình trên cho đến khi không làm đợc nữa % Trờng hợp 4 Nếu ma trận mới C có dạng tam giác thì hệ đã cho là hệ phơng trình tuyến tính Crame do đó có duy nhất nghiệm nghiệm của hệ đợc % tìm từ phơng trình thứ n (ứng với dòng thứ n của ma trận C ) ngợc trở về ph% ơng trình 1 (ứng với dòng thứ 1 của ma trận C ) Ví dụ 10.7 Dùng phơng pháp Gauss tìm nghiệm tổng quát rồi chỉ ra một nghiệm riêng của hệ . Ch ơng 10 : hệ phơng trình tuyến tính 10.1. hệ phơng trình tuyến tính 10.1.1. Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính. Định nghĩa 10.1. Một hệ gồm m phơng trình và n ẩn số có dạng: (I). của hệ( I). Vậy mọi nghiệm của hệ (II) cũng là nghiệm của hệ (I).(đpcm) 10.2. hệ phơng trình tuyến tính Crame 10.2.1. Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính Crame. Định nghĩa 10.2. Cho hệ phơng trình. là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng 2 khác số ẩn bằng 3 nên hệ trên không phải là hệ phơng trình tuyến tính Crame. 10.2.2. Quy tắc Crame. Định lý 10.2. Mọi hệ phơng trình tuyến