Trng THPT Chuyờn V Thanh THI HC K II NM HC 2009-2010 Mụn: Toỏn khi 11 Thi gian lm bi:90 phỳt (khụng k thi gian phỏt ). A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh) Cõu 1:(2,0 im).Tớnh cỏc gii hn sau: 2 2 1 3 2 . lim ; 1 x x x a x đ - + + - ( ) 2 . lim 4 . x b x x x đ- Ơ - + Cõu 2: (1,0 im). Cho hm s 2 2 ; ( 2) 2 ( ) 1 ; ( 2) 4 x x x f x mx x ỡ ù + - ù ù > ù ù - = ớ ù ù + Ê ù ù ù ợ Xỏc nh m hm s ( )f x liờn tc trờn R. Cõu 3:(2,0 im). Cho hm s 3 3 8y x x= - + .Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s trong cỏc trng hp sau: a/ Ti tip im ( ) 0 1;6M . b/ Bit tip tuyn i qua im ( ) 0; 8A - . Cõu 4: (1,0 im). Cho hm s: 2 1 ( ) sin2 2 f x x x x= + - .Tớnh ( )f x  v 6 f p ổ ử ữ ỗ  ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Cõu 5: (1,0 im). Cho t din S.ABC cú ABC l tam giỏc u cnh a; ( ) SA ABC^ , 3 2 a SA = . Xỏc nh v tớnh gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABC). B.PHN T CHN: (3,0 im) (Thớ sinh c chn mt trong hai phn sau õy). THEO CHNG TRèNH CHUN: Cõu 6a. (1,0 im). Chng minh rng phng trỡnh sau cú ớt nht hai nghim: 3 2 2 5 1 0x x x- + + = Cõu 7a. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi ỏy, 2SA a= a/ Chng minh: ( ) ( ) SCD SAD^ b/ Tớnh ( ) ( ) , .d A SCD THEO CHNG TRèNH NNG CAO: Cõu 6b. (1,0 im) Cho 3 2 1 2 6 8 3 y x x x= - - - . Gii bt phng trỡnh ' 0y Ê . Cõu 7b. (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, ( ) SA ABCD^ , 3SA a= a/ Chng minh: ( ) ( ) SBC SAB^ b/ Tớnh ( ) ( ) , .d A SBC HT H v tờn Thớ sinh: .SBD: P N THI HC K 2-TON K11 A. PHN BT BUC :(7,0 im-Dnh cho tt c thớ sinh) CU NI DUNG IM Tớnh cỏc gii hn sau: Cõu 1: (2,0 im). 2 2 1 1 3 2 ( 1)( 2) . lim lim ( 1)( 1) 1 1 2 x x x x x x a x x x đ - đ - + + + + = + - - = - 0.5 0.5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 . lim 4 lim 4 4 lim 4 4 lim 2 4 1 1 x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x x đ- Ơ đ- Ơ đ- Ơ đ- Ơ - - - + = - - - = - - - = = ổ ử ữ ỗ ữ ỗ - - + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0,25 0.25 0.5 Cõu 2: (1,0 im). Cho hm s 2 2 ; ( 2) 2 ( ) 1 ; ( 2) 4 x x x f x mx x ỡ ù + - ù ù > ù ù - = ớ ù ù + Ê ù ù ù ợ Xỏc nh m hm s ( )f x liờn tc trờn R +V i 0 2:x > 0 0 0 0 0 2 2 2 2 lim ( ) lim ( ) 2 2 x x x x x x f x f x x x đ đ + - + - = = = - - ; hm s liờn tc +Vi 0 2:x < 0 0 0 0 1 lim ( ) lim( ) ( ) 4 x x x x f x mx f x đ đ = + = ; hm s liờn tc . +Khi x= 2, ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 lim ( ) lim lim 2 4 2 2 2 x x x x x f x x x x + + + đ đ đ + - + - = = = - - + + + 2 1 lim ( ) 2 4 x f x m - đ = + + 1 (2) 2 4 f m= + + hm s liờn tc ti 0 2x = thỡ: 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + - đ đ = = 0.25 0.25 0.25 1 1 2 4 4 0 m m = + = 0,25 Câu 3:(2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 8y x x= - + .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong các trường hợp sau: a/ Tại tiếp điểm ( ) 0 1;6M . PTTT có dạng: 0 0 0 '( )( )y f x x x y= - + Ta có: 2 '( ) 3 3f x x= - Ta có: 0 '( ) (1) 0f x f ¢ = = Vậy tiếp tuyến cần tìm: 6y = b/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 0; 8A - . Gọi pttt: 0 0 ( )y k x x y= - + ; hay: ( 0) 8y k x= - - ; với 2 '( ) 3 3k f x x= = - Ta có: 3 2 3 3 8 (3 3)( 0) 8 2 16 2 x x x x x x - + = - - - Û = Û = Suy ra: 2 '( ) 3 3 9k f x x= = - = Vậy PTTT là: 9 8y x= - 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: (1,0 điểm). Cho hàm số: 2 1 sin2 2 y x x x= + - .Tính ' y và '' 6 y p æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø . ' 2cos2 1 " 4sin2 1. y x x y x = + - = - + " 4sin 1 2 3 1 6 3 y p p æ ö ÷ ç ÷ = - + = - + ç ÷ ç ÷ ç è ø 0.5 0.25 0.25 Câu 5: (1,0 điểm). Gọi I trung điểm BC,ta có: AI ⊥ BC Chứng minh: SI ⊥ BC và((SBC),(ABC))=(AI,SI) 0 60 3 3 2 . 2 3 tan =⇒ ===       ∧ ∧ SIA a a AI SA SIA 0.25 0.25 0.25 0.25 B.PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm) (Thí sinh được chọn một trong hai phần sau đây). Câu 6a (1,0 điểm). THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN: + f(0) . f(1) = -1 < 0 + f(2) . f(3) = -13 < 0 Kết luận: pt có hai nghiệm thuộc (0;1) và (2.3) 0.25 0.25 0,5 Câu 7a (2,0 điểm) a/ Chứng minh: ( ) ( ) SCD SAD^ . ( ) CD AD CD SAD CD SA ü ï ^ ï Þ ^ ý ï ^ ï þ Mà CD ⊂ (SCD) ( ) ( )SCD SADÞ ^ b/Theo câu a/ : ( ) ( ) ( ) ( ) SCD SAD SCD SAD SD ü ï ^ ï ï ý ï Ç = ï ï þ Dựng ( )AH SD AH SCD^ Þ ^ . Vậy ( ) ( ) ,d A SCD AH= +Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 6 3 AH SA AD a a a AH = + = + Þ = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO: Câu 6b (1,0 điểm) +Ta có: y' = x 2 – 4x – 6 2 ' 0 4 6 0 2 10 2 10 y x x x ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + 0.25 0.25 0.5 Câu 7b: (2,0 điểm) a/ Chứng minh: ( ) ( ) SBC SAB^ . ( ) BC AB BC SAB BC SA ü ï ^ ï Þ ^ ý ï ^ ï þ Mà BC ⊂ (SBC) 0.5 0.5 ( ) ( )SBC SABÞ ^ b/ ( ) ( ) ( ) ( ) SBC SAB SBC SAB SB ü ï ^ ï ï ý ï Ç = ï ï þ Suy ra kẻ: ( )AK SB AK SBC^ Þ ^ . Vậy ( ) ( ) ,d A SBC AK= +Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 AK SA AB a a a AK = + = + Þ = 0.25 0.25 0.25 0.25 HẾT . + + 2 1 lim ( ) 2 4 x f x m - đ = + + 1 (2) 2 4 f m= + + hm s liờn tc ti 0 2x = thỡ: 2 2 lim ( ) lim ( ) (2) x x f x f x f + - đ đ = = 0 .25 0 .25 0 .25 1 1 2 4 4 0 m m = + = 0 ,25 Câu 3: (2, 0 điểm). Cho. có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 6 3 AH SA AD a a a AH = + = + Þ = 0.5 0.5 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO: Câu 6b (1,0 điểm) +Ta có: y' = x 2 – 4x – 6 2 ' 0 4 6 0 2 10 2 10 y. s liờn tc +Vi 0 2: x < 0 0 0 0 1 lim ( ) lim( ) ( ) 4 x x x x f x mx f x đ đ = + = ; hm s liờn tc . +Khi x= 2, ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 lim ( ) lim lim 2 4 2 2 2 x x x x x f x x x