Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá đề thi học kì ii năm học 2009-2010 Trờng THPT Hoằng Hoá 3 môn: toán- khối 11 ( Thời gian làm bài : 90 phút) I: Phần Chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau 1. 1 52 lim 1 + x x x 2. ) 3 2 3 1 ( 23 lim + xx x Câu 2 ( 1 điểm) Cho hàm số = = 0 0 11 )( xkhim xkhi x x xf Xác định m để hàm số đã cho liên tục tại x=0 Câu 3 (2 điểm) Cho hàm số f(x) = 3 1 x 3 2x 2 + mx 3. 1. Tìm m để f(x) >0 với mọi x 2. Với m = 1, viết phơng trình tiếp tuyến xủa đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=0 Câu 4. (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông, SA=AB=BC=a, SA vuông góc với mp(ABC), 1. Chúng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc . 2. Tính khoảng cách từ A đến mp(ABC) II : Phần riêng ( 3 điểm) Thí sinh chỉ đợc chọn 1 trong 2 phần A hoặc B. A. Dành cho thí sinh học theo chơng trình chuẩn Câu 5a (1 điểm). Cho hàm số y = cosx+xsinx. Chúng minh rằng y+y-2cosx=0 Câu 6a (1 điểm). Chứng minh rằng 1 x ta có 1+2x+3x 2 + +2009x 2008 = 2 20092010 )1( 120102009 + x xx Câu 7a (1 điểm) . Tính góc giữa 2 cạnh đối diện của tứ diện đều có cạnh bằng a. B. Dành cho thí sinh học theo chơng trình nâng cao Câu 5b (1 điểm) Chứng minh rằngvới mọi giá trị của m, phơng trình sau có nghiệm 4sin 3 x+m(2cosx- 2 )-1=0. Câu 6b (1 điểm) Tìm số nguyên dơng n sao cho 20102.22).12( 2.42.32.2 2 2 1 12 2 22 4 2 3 3 2 2 2 2 1 2 =+++ CCCCCC n n n n n n nnnn nn Câu 7b ( 1 điểm) . Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của một tứ diện đều có cạnh bằng a. ******************************Hết******************************* ( giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên SBD Phòng Hớng dẫn chấm thi học kì 2- Môn toán- khối 11 Câu ý Đáp án Điểm 1 1 (1đ) = + 1 52 lim 1 x x x vì 0)1(,03)52( limlim 11 =<= ++ xx xx và x-1> 0 khi x>1 0,5 0,5 2 (1đ) =+=+ ) 3 21 3 1 () 3 2 3 1 ( 3 323 limlim x x xxx xx Vì 0 3 1 3 21 3 1 , 3 3 limlim >= += x x x xx 0,5 0,5 2 (1đ) . Ta có f(0)=m 2 1 11 1 )11( )11)(11(11 )( limlimlimlim 0000 = + = + + = = xxx xx x x xf xxxx Để hàm số đã cho liên tục tại x=0 thì )0()( lim 0 fxf x = . Suy ra m =1/2 0,5 0,5 3 1 f(x) =x 2 -4x+m. f(x) >0 x 404' ><= mm 0,5 0,5 2 (1đ) m=0 ta có f(x) = 3 1 x 3 -2x 2 +x- 3, f(0)=-3 f(x)=x 2 -4x+1, f(0) =1. Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0;-3) là : y=f(0)(x-0)-3 hay y= x-3 0,5 0,5 4 1 2 )( )( gtABBCma BCSAABCmpSA )(SABmpBC Do )(SBCmpBC nên )()( SABmpSBCmp (đpcm) Kẻ AH vuông góc với SB tại H. Do )()( SABmpSBCmp , mà SBSACmpSABmp = )()( Nên )(SBCmpAH . Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng AH. Do tam giác SAB vuông cân đỉnh A nên H là trung điểm SB, 2 2 2 1 a SBAH == 0,5 0,5 0,5 0,5 5 a y=-sinx+sinx+xcosx=xcosx y=cosx-xsinx y+y=cosx+xsinx+cosx-xsinx=2cosx y+y-2cosx=0 (đpcm) 0,5 0,5 6 a 1+2x+3x 2 + +2009x 2008 =(1+x+x 2 +x 3 + +x 2009 ) = ' 2010 1 1 x x = 2 20092010 )1( 120102009 + x xx (đpcm) 0,5 0,5 7 a Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh a 060cos 60cos )(. 00 === ACABADABACADABCDAB Vậy nên AB DC hay góc giữa chúng bằng 90 0 1,0 S A B C 5 b Xét hàm số f(x)=4sin 3 x+m(2cosx- 2 )-1 liên tục trên R nên f(x) cũng liên tục trên đoạn 4 ; 4 . f 012 4 <= , 012 4 >= f 0 4 . 4 < ff Theo hệ quả định lý giá trị trung gian suy ra phơng trình f(x) =0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng 4 ; 4 (đpcm) 0,5 0,5 6 b Xét hàm số f(x)=(1+x) 2n = nn n nn nnnn xCxCxCxCC 22 2 1212 2 22 2 1 2 0 2 +++++ f(x)=2n(1+x) 2n-1 = 122 2 2212 2 2 2 1 2 2)12( 2 ++++ nn n nn nnn xnCxCnxCC f(-2)=-2n = n n nn n n nn CnCnCC 2 2 1212 2 222 2 1 2 2.22)12( 2.2 ++ Theo bài ra ta có -2n=-2010 suy ra n = 1005. 0,5 0,5 7 b Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB và CD C/m đợc MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD d(AB,CD) =MN = 2 2 2 1 2222222 a aaAMDNADAMAN === 0,5 0,5 ( Chú ý: mọi cách giải khác , nếu đúng, trình bày chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa ở từng câu, ý ) . f(x)=(1+x) 2n = nn n nn nnnn xCxCxCxCC 22 2 121 2 2 22 2 1 2 0 2 +++++ f(x)=2n(1+x) 2n-1 = 122 2 221 2 2 2 2 1 2 2) 12( 2 ++++ nn n nn nnn xnCxCnxCC f( -2) =-2n = n n nn n n nn CnCnCC 2 2 121 2 2 222 2 1 2 2 .22 ) 12( . phơng trình sau có nghiệm 4sin 3 x+m(2cosx- 2 )-1=0. Câu 6b (1 điểm) Tìm số nguyên dơng n sao cho 20 1 02. 22) . 12( 2. 42. 32. 2 2 2 1 12 2 22 4 2 3 3 2 2 2 2 1 2 =+++ CCCCCC n n n n n n nnnn nn Câu. n n nn n n nn CnCnCC 2 2 121 2 2 222 2 1 2 2 .22 ) 12( 2. 2 ++ Theo bài ra ta có -2n= -20 10 suy ra n = 1005. 0,5 0,5 7 b Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB và CD C/m đợc MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD d(AB,CD) =MN = 2 2 2 1 22 222 22 a aaAMDNADAMAN