Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Chương III : LÝ THUYẾT QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH §1 Bài tốn Qui hoạch tuyến tính (QHTT) dạng 1.1 Dạng tốn học Bài tốn : Tìm số thực xj, j = 1,2,…,n, làm cực tiểu hàm số n Z = ∑ c jx j j =1 (1.1) thỏa mãn ràng buộc n ∑ a ij x j ≥ bi , i = 1, 2, , m j= & (1.2) x j ≥ 0, j = 1, , n (1.3) Trong cj, aij, bi, i = 1,2, ……,m ; j = 1,2,….,n số thực cho trước Bài toán (1.1) – (1.3) gọi tốn QHTT dạng Người ta phát biểu toán (1.1) – (1.3) dạng ma trận sau : Tìm vectơ x* = (x*1, x*2,…, x*n) thoả mãn : Z* = c, x * = c, x x∈X (1.4) X = { x ∈ R / Ax ≥ b, x ≥ 0} Với (1.5) Trong A ma trận thực cấp (mxn) ; c vectơ n chiều, b –vectơ m chiều cho trước n Ký hiệu : Ai., i = 1,2,…, m n-vectơ hàng A Khi tốn QHTT (1.4)-(1.5) cịn viết thành : Tìm x* thoả mãn Z* = c, x * = c, x { x∈X (1.4) } X = x ∈ R n / A i; , x ≥ b i ,i = 1, 2, , m; x ≥ (1.6) Các ký hiệu khái niệm toán (1.1) – (1.3) : • Hàm Z (1.1) gọi hàm mục tiêu, biểu diễn mục tiêu việc giải tốn1 Trong thực tế địi hỏi mục tiêu tìm cực đại Tuy nhiên dễ dàng chuyễn đổi từ mục tiêu tìm cực đại mục tiêu tìm cực tiểu cách đặt Z’ = -Z Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 55 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ • • • • • Hệ (1.2) gọi hệ ràng buộc, biểu diễn ràng buộc tốn Vì vậy, vectơ hàng A i., i =1,2,…,m, gọi vectơ ràng buộc Hệ (1.3) hệ ràng buộc Nhưng có cấu trúc đặc biệt hạn chế dấu biến số nên gọi hệ hạn chế Một vectơ x thoả mãn đồng thời hệ (1.2) (1.3) gọi phương án lời giải chấp nhận toán QHTT Tập hợp X gồm phương án (hoặc lời giải chấp nhận được) gọi tập chấp nhận Một phương án x* ∈ X hàm mục tiêu (1.1) đạt giá trị nhỏ (thỏa mãn (1.1) (1.4)) gọi phương án tối ưu Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính bao gồm việc nghiên cứu để trả lời hai câu hỏi chủ yếu xoay quanh việc giải toán QHTT : 1) Tồn hay không phương án tối ưu ? 2) Nếu tồn phương án tối ưu làm cách để tìm phưpơng án tối ưu Thơng thường toán đặt từ thực tế sản xuất kinh doanh có số lớn phương án giải (thực hiện) Số phương án lớn mà khuôn khổ phương tiện khả cho phép người ta khơng thể tìm phương án tối ưu (cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ lớn nhất) Vì vậy, cần phải tìm điều kiện để nhận biết phương án phương án tối ưu phát triễn phương pháp để cần xét số (đủ nhỏ) phương án người ta tìm phương án tối ưu (nếu có phương án vậy) Vì toán QHTT trường hợp đặt biệt toán Qui hoạch lồi nên điều kiện để nhận biết phương án tối ưu nêu phần cuối chương II Sự tồn phương án tối ưu toán qui hoạch lồi đảm bảo tồn điểm yên ngựa hàm Lagrange tương ứng lời giải hệ điều kiện Kuhn-Tucker Tuy nhiên, có trường hợp tốn qui hoạch lồi có lời giải tối ưu hàm Lagrange tương ứng khơng có điểm n ngựa Do cấu trúc đặt biệt tốn QHTT người ta đưa điều kiện tồn phương án tối ưu mà không cần phải dựa vào tồn điễm yên ngựa, tức không cần phải tiến hành giải hệ thống bất đẵng thức Kuhn-Tucker Đây nội dung lý thuyết qui hoạch tuyến tính 1.2 Các tính chất tốn QHTT Từ « phương án » sử dụng phương pháp qui hoạch tuyến tính thường áp dụng để giải toán xuất phát từ thực tế sản xuất, kinh doanh Ở người ta thường khảo sát số phương án sản xuất để tìm phương án sản xuất thỏa mãn cách tốt mục tiêu đề Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 56 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Dựa vào cấu trúc đơn giản tốn QHTT người ta chứng minh tính chất sau : Tính chất : Nếu tập chấp nhận toán QHTT khơng rỗng tập lồi đa diện có điểm cực biên ; đồng thời số điểm cực biên hữu hạn Chứng minh : Định lý suy trực tiếp từ định lý 5, chương I cho trường hợp tốn Qui hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính Trong hệ ràng buộc hạn chế (1.2) (1.3) chương này trường hợp đặt biệt hệ (5.1)(5.2) chương I.ª Tính chất : Nếu tập chấp nhận X khác trống hàm mục tiêu (1.1) bị chặn tập X tồn phương án cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ (phương án tối ưu); tức toán QHTT giải Chứng minh : Hệ ràng buộc xác định tập X rõ ràng có hạng n có chứa n vectơ đơn vị e j ứng với e j , x ≥ j = 1,2,…,n Vì áp dụng định lý 5.6 chương I (định lý biểu diễn mở rộng cho tập lồi đa diện) theo đó, p x∈X tồi xi∈ X , λi ≥ 0, i = 1,2,…,p, với ∑ λ i = βj ≥ 0, 00 i =1 lj, j = 1, 2,…,q , p q i =1 j =1 x = ∑ λi x i + ∑ β jl j (1.7) Trong lj, j = 1, 2,…,q, vectơ định hướng cạnh không bị chặn X Theo giả thiết hàm mục tiêu Z = c, x bị chặn X , tức tồn µ ∈ R, ∀ x∈X : Z = c, x ≥ µ (1.8) Từ (1.7) (1.8) kéo theo p q ∀ x∈X : µ ≤ c, x = ∑ λ i c, x i + ∑ β j c,l j i =1 j =1 (1.9) Bạn đọc dễ dàng suy bất đẵng thức với phần tử X, c,l j ≥ 0, ∀j = 1, 2, ,q Do p ∀ x∈X : c, x ≥ ∑ λ i c, x i i =1 (1.10) Khơng giảm tổng qt, coi p toàn điểm cực biên, q tồn cạnh khơng bị chặn X Theo tính chất p, q hữu hạn Nếu có điểm cực biên cạnh khơng bị chặn khơng xuất dạng biểu diễn (1.7) ta xem chúng xuất với hệ số λi βj tương ứng Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 57 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Chọn x0 với c, x = c, x i i =1,2, ,p (1.11) Điểm x0 ∈X phải tồn p hữu hạn Khi theo (1.10) ∀ x∈X : c, x ≥ c, x (1.12) Chúng tỏ x0 điểm cực tiểu Z X lời giải tốn QHTT (1.1)-(1.3).ª Tính chất : Nếu tốn QHTT (1.1)-(1.3) giải tồn điểm cực biên X giá trị tối ưu Z đạt Tức tồn x0 ∈X : Zmin = c, x = c, x i x∈X Chứng minh : Suy từ phần chứng minh tính chất 2, cơng thức (1.11) (1.12) Các tính chất cho phép giải toán QHTT cách thiết lập tất điểm cực biên X (nếu X ≠∅) so sánh giá trị hàm mục tiêu Z điểm cực biên Từ tìm lời giải tối ưu nhận biết tốn khơng giải Tuy nhiên hầu hết toán thực tế thường chứa nhiều biến số nhiều ràng buộc Do phương pháp hồn tồn khơng có hiệu tốn thời gian chi phí khơng có ý nghĩa Lý thuyết QHTT, ngồi việc nghiên cứu tìm tính chất trên, cịn phát triễn phương pháp cho phép xác định số điểm cực biên tập X để tìm điểm cực biên tối ưu Chương sau trình bày phương pháp số để giải toán QHTT nhiều dạng khác Phần mơ tả phương pháp đồ thị (hay cịn gọi phương pháp hình học ý nghĩa hình học) để giải toán Do phương pháp áp dụng cho trường hợp chiều (hai biến) tối đa chiều (ba biến) nên ý nghĩa thực tiễn Dù vậy, việc nghiên cưú phương pháp giúp cho người học hiểu rõ thêm tính chất tốn QHTT ngun lý thực hiên Phương pháp đơn hình chương sau §2 Phương pháp hình học giải toán QHTT (1.1)-(1.3) Mặt dù phương pháp hình học khơng cị ý nghĩa nhiều việc giải toán QHTT thực tế tốn thường có nhiều ràng buộc nhiêu biến số Tuy nhiên việc trình bày phương pháp hình học minh họa được tính chất tốn QHTT nêu Phương pháp chủ yếu bao gồm hai bước : 1) Thiết lập miền chấp nhận X Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 58 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ 2) Tìm giá trị cực tiểu (hoặc cực đại) Z miền 2.1 Thiết lập miền chấp nhận X Trên mặt phẳng tọa độ x20x1, ràng buộc (1.2) viết thành : a1x1 + a2x2 ≥ b 4) (2.1) Phần mặt phẳng giới hạn điều kiện (2.1), quen gọi nửa không gian (hoặc nửa mặt phẳng), giới hạn đường thẳng a1x1 + a2x2 = b (2.2) Vì vậy, để xác định phần mặt phẳng giới hạn (2.1) trước hết cần vẽ đường thẳng (2.2) Ta phân biệt trường hợp : α) b = Đường thẳng (2.2) trở thành a1x1 + a2x2 = (2.3) Ở trường hợp (2.2) đường thẳng qua gốc tọa độ Chỉ cần xác định thêm điểm vẽ đường thẳng Giả sử vẽ xong đường thẳng (2.2) Dường thẳng qua gốc tọa độ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Để xác định xem nửa mặt phẳng ứng với ràng buộc (2.1) người ta cần chọn điểm x*= (x 1*,x2*) khơng nằm đường thẳng (2.3) Sau thay x = x1*, x2 = x2* vào (2.3) Nếu a1x1* + a2x2* > nửa mặt phẳng tương ứng nửa mặt phẳng chứa gốc = (0, 0) Trong trường hợp ngược lại nửa mặt phẳng phải tìm nửa mặt phẳng khơng chứa gốc tọa độ β) b ≠ Khi phương trình đường thẳng (2.2) trở thành a1 a x1 + x = (2.4) b b Dễ thấy rằng, đường thẳng (2.4) cắt trục Ox điểm C = (0, b/a 2), a2 ≠ song song với Ox trường hợp ngược lại Đường thẳng cắt 0x1 điểm D = (b/a1, 0), a1≠ song song với 0x1 Sau xác định hai điểm C D Nối hai điểm ta có đường thẳng (2.4) Việc xác định phần mặt phẳng ứng với (2.1) tiến hành đơn giản Cụ thể sau : a) Nếu b > nửa mặt phẳng phải tìm khơng chứa gốc tọa độ b) Khi b < nửa mặt phẳng tương ứng nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ Để đánh dấu nửa mặt phẳng tương ứng người ta thường dùng ký hiệu mũi tên « » Theo phần mặt phẳng hướng theo chiều mũi tên phần mặt phẳng phải tìm Để đơn giản ký hiệu, bỏ chi số thứ (chỉ số ứng với hàng A) Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 59 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Sau xác định phần mặt phẳng ứng với m ràng buộc dạng (2.1) Tập chấp nhận X phần giao m phần mặt phẳng với góc phần tư thứ (I) mặt phẳng tọa độ x 20x1 Nếu phần giao không rỗng, tức X ≠∅, tức tốn QHTT có phương án chấp nhận (Hình ) Trong trường hợp ngược lại, X = ∅ tốn QHTT khơng giải (các ràng buộc mâu thuẩn nhau) x2 X x1 Hình 3.1 2.2 Tìm lời giải tối ưu 1) Biểu diễn hàm mục tiêu: Sau biể diễn tập chấp nhận X giả sử X ≠∅ Bước tìm tập X điểm x* cho giá trị hàm mục tiêu Z nhỏ Ở trường hợp hai chiều hàm mục tiêu (1.1) (1.4) có dạng: Z = c1x1 + c2x2 (2.5) Giả sử c1≠ c2 ≠ 0.5 a) Khi c2 ≠ Hàm (2.5) trở thành c Z x = − x1 + (2.6) c2 c2 Khi Z biến thiên, (2.6) biểu diễn lớp đường thẳng song song cắt trục 0x2 điểm (0,Z/c2) có hệ số góc (– c1/c2) Đặc biệt ứng với Z = 0, đường thẳng (2.6) qua gốc tọa độ Do vậy, ban dầu sau xác định X, người ta vẽ đường thẳng (2.6) ứng với Z = b) Khi c1 ≠ 0, c2 = Hệ đường thẳng (2.6) trở thành Z x1 = (2.7) c1 Đây hệ đường thẳng vng góc với trục 0x điểm (Z/c1, 0) Người ta dễ dàng vẽ đường thẳng ứng với giá trị Z Trường hợp c1 = c2 = làm cho tốn QHTT khơng có ý nghĩa kinh tếđồng thời khơng có ý nghĩa tốn học Vì phương án phương án tối ưu Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 60 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ 3) Tìm giá trị tối ưu : Khi c2 ≠ Người ta phân biệt trường hợp nhỏ : α) Với c2 > 0, ta nhận thấy giá trị Z/c giảm Z giảm ngược lại Vì vậy, đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ đường thẳng thấp mà có phần giao khác trống với tập chấp nhận X Để tìm đường thẳng cần tịnh tiến đường thẳng c x = − x1 c2 ứng với giá trị Z = lên phía cắt (hoậc tiếp xúc với) miền chấp chấp nhận Đây đường thẳng ứng với giá trị Z tối ưu (Hình ) Tương tự, c1 > 0, c2 = đường thẳng bên trái có giao khác trống với X đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ β) Khi c2 < 0, giá trị Z/c2 giảm Z tăng ngược lại Vì vậy, đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ đường thẳng cao mà có phần giao khác trống với tập chấp nhận X Để tìm đường thẳng cần tịnh tiến đường thẳng c x = − x1 c2 ứng với giá trị Z = lên phía rời khỏi miền chấp chấp nhận Đường thẳng cuối cắt tiếp xúc với X đường thẳng ứng với giá trị Z tối ưu (Hình 3.2) Tương tự, c1 < 0, c2 = đường thẳng cuối bên phải có giao khác trống với X đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ x2 c2 > x2 c2 = 0, c1 > Zmin/c2 X X X x2* x1* c x = − x1 c2 x 2* x1 Zmin/c1= x1* Hình 3.2 Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 61 x1 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ x2 c2 < x2 c2 = 0, c1 < XXX X X x2* x2* x2 = − x1* c1 x1 c2 x1 x2 = − Z min/c1= x1* c1 Z x1 + c2 c2 Hình 3.3  Zmin   Zmin Giá trị tối ưu Zmin =  ÷c Z =   c2   c1 Phương án tối ưu x1 = x1*, x2 = x2*  ÷c1  2.3 Ví dụ minh họa : Để làm ví dụ minh họa ta xét tốn QHTT sau :Tìm x1, x2 cho : 1) Z = 2x1 + 3x → 2) Z = 6x1 + 10x → max +x2  x1  6x +2x   x1 +5x    x1  x2   x1 ≥ 0; x  +5x  3x1  +2x  5x1  x ≥ 0; x  ≤ ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ ≤ 15 ≤ 10 ≥ 3) Z = 2x1 + 3x → max 4) Z = 5x1 + 3x → −x  x1  −2x  x1  x ≥ 0; x  −x  − x1  +2x  2x1  x ≥ 0; x  ≥ −1 ≥ −4 ≥ ≥ −1 ≥ ≥ Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 62 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Z = −3x1 + 5x → 5) +x2  − x1   −3x1 + x  x ≥ 0; x  ≤ ≥ ≥ Bài giải : 1) Các đường thẳng tương ứng : x2 x1 x1 x1 x1 x1 = 0; + x2 + x2 + x2 x2 x2 = (I) = (II) = (III) = (IV) = (V) = (II) (V) Z min/3 4/5 x2* A X x1* Z=0 x1 (IV) Zmin= 49/14 (I) Hình 3.4 Z Ở đây, đường thẳng hàm mục tiêu có dạng : x = − x1 + 3 Vì c2 = > cần tìm Zmin nên phải tịnh tiến đường thẳng hàm mục tiêu ứng với Z = lên phía tiếp xúc với miền chấp nhận X dừng lại Đây đường thẳng ứng với giá trị Z nhỏ (là đường thẳng thấp nhất) Điểm tiếp xúc giao điểm hai đường thẳng (II) (III) Bằng cách chiếu thẳng góc lên hai trục tọa độ 0x 1, 0x2, ta tính giá trị x1*, x2* ứng với với giá trị tối ưu Z*= Z Tuy nhiên, cách giải hệ phương trình (II), (III) tính giá trị : x1* = 11/14 ; x2* = 9/14 Khi OA = Zmin/3 = 49/42, Zmin = 49/14 Vì đường thẳng tối ưu tiếp xúc với tập X điểm nên tốn QHTT xét có phương án tối ưu ; điểm cực biên X Tương tự, lời giải ứng với toán sau : Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 63 (III) Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ 2) x2 3) x2 Zmax/10= A B x2* X (II) (I) (I) X x1* (II) x1 -1 x1 Hình 3.5 Ở 2, đường thẳng hàm mục tiêu 6x + 10x2 = Z có hệ số góc trùng với đường thẳng 1 x1 + x = (I) : Do hệ số c2 = 10 > 0, nên đường thẳng ứng với giá trị Z max đường thẳng cao có phần chung với tập X Phần chung đường thẳng với tập X cạnh AB (có hai điểm cực biên A B) Đây hai lời giải sở tối ưu : A = (0, 3) B = (20/19 ; 45/19) Giá trị tối ưu Zmax = 30 Dễ thấy cạnh AB diện đa diện lồi X Do điểm AB lời giải tối ưu Chúng la tổ hợp lồi hai lời giải cực biên A va B Trong trường hợp tốn QHTT có vơ số lời giải tối ưu Ở 3, X tập hợp không bị chặn ; tập lồi đa diện Đường Z thẳng biểu diễn hàm mục tiêu tương ứng có dạng : x = − x1 + Vì c3 = 3 > 0, nên để tìm giá trị Z lớn phải tịnh tiến đường thẳng hàm mục tiêu lên phía Tuy nhiên, tập chấp nhận X không bị chặn nên không tồn đường thẳng cao có phần chung khơng rỗng với tập X Điều cho thấy hàm mục tiêu không bị chặn Do dó tốn QHTT khơng có lời giải tối ưu (Z → ∞) 4) Ở hai toán tập chấp nhận X tà tập rỗng (Hình ) : x2 x2 (I) (II) -2/3 1 x1 (I) 4) (II) 5) Hình 3.6a Hình 3.6b Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 64 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Ở hai ràng buộc mâu thuẩn Các nửa khơng gian tương ứng khơng có điểm chung Tức X = ∅ (Hình 3.6a) Trong 5, hai nửa mặt phẳng tương ứng có phần chung khác trống khơng nằm góc phần tư thứ I mà góc phần tư thứ III Vì X = ∅ (Hình 3.6b) Năm ví dụ đây, lần nửa, cho thấy rõ tính chất toán QHTT : i) Nếu miền chấp nhận khác trống tập lồi đa diện (và đa diện lồi, bị chặn) có hữu hạn điểm cực biên ii) Nếu miền chấp nhận toán QHTT khác trống hàm mục tiêu bị chặn (tương ứng : bị chặn trên) tốn có lời giải tối ưu iii) Nếu tốn QHTT có lời giải tối ưu tồn điểm cực biên lời giải tối ưu.(Ở tốn có hai diểm cực biên tối ưu, nên có vơ số lời giải tối ưu tập hợp lời giải tối ưu biểu diễn diện tập chấp nhận X) Vì vậy, để giải tốn QHTT, khơng có điều kiện khác, cần xét điểm cực biên tập chấp nhận ; so sánh giá trị hàm mục tiêu điểm ấy, tìm giá trị tối ưu chứng tỏ tốn QHTT khơng giải §3 Bài tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu Tính chất cặp toán QHTT đối ngẫu 3.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu : Xét tốn QHTT dạng (1.1) – (1.3), ký hiệu toán P (primal) n Z = ∑ c jx j j =1 n ∑ a x ≥ b , i  j= & ij j   x j ≥ 0,  → (1.1) i = 1, 2, , m (1.2) j = 1, , n (1.3) Đn 3.1 : Ưng với toán (P) người ta định nghĩa toán QHTT sau gọi toán QHTT đối ngẫu với (P), ký hiệu toán (D) (dual) : Tìm m số thực yi, i = 1,2,…,m thỏa mãn : Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 65 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ n W = ∑ bi yi → max j =1 m ∑ a y ≤ c ,  i =1 ij i j   yi ≥ 0,  (3.1) j = 1, 2, , n ( 3.2 ) i = 1, , m (3.3) Ký hiệu A = ((aij)), i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n , ma trận thực cấp mxn ; b vectơ m-thành phần bi, i = 1,2,…,m , c vectơ n-thành phần cj, j = 1,2, …,n , hai tốn (P) (D) viết dạng ma trận nhu sau : Tìm x = (x1, x2,…, xn) cho Z = 〈c,x〉 → (P) Ax ≥ b x≥0 Tìm y = (y1, y2,…, ym) cho W = 〈b,y〉 → max (D) ATy ≤ b y≥0 Nhận xét : 1) Các hệ số aij, cj, bi, i = ,2 ,….,m ; j = 1,2,….n, hai toán gốc đối ngẫu 2) Số biến số toán đối ngẫu (D) số ràng buộc toán gốc (P) ; 3) Số ràng buộc toán đối ngẫu (D) số biến số toán gốc (P) ; 4) Mỗi cột A ứng với biến số xj (P) hàng A ứng với biến số yi (D) 5) Vectơ vế phải b (P) trở thành vectơ hệ số hàm mục tiêu (D) ; vectơ hệ số hàm mục tiêu c (P) trở thành vectơ vế phải (D) 3.2 Các qui tắc thành lập toán đối ngẫu ứng với toán QHTT 3.2.1 Qui tắc chung : Để thành lập toán QHTT đối ngẫu ứng với toán QHTT cho trước người ta tiến hành bước sau : a) Chuyễn toán QHTT gốc dạng toán (1.1) – (1.3) theo kỹ thuật sau : i) n Ưng với ràng buộc dạng ∑ a ij ≤ bi : Chỉ cần nhân vế với (– j =1 1) đặt a‘ij = -aij, b’i = -bi, ∀ij, có dạng (1.2) ii) n Mỗi ràng buộc dạng ∑ a ij = bi tương ứng với hai ràng buộc j =1 n n dạng ∑ a ij ≥ bi ∑ ( −a ij ) ≥ ( − b i ) Ưng với ràng buộc thứ j =1 j =1 dùng ký hiệu phần i) có dạng (1.2) Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 66 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ iii) Điều kiện xj ≤ 0, tương đương với điều kiện –xj ≥ Chỉ cần đổi biến số x’j = -xj có dạng (1.3) ; iv) Khi biến xj tốn nhận giá trị (khơng hạn chế dấu), đặt x j = xj’ – xj’’ thêm điều kiện xj’≥ 0, xj’’≥ Hai điều kiện có dạng (1.3) dễ thấy chúng tương đương với điều kiện x j không bị hạn chế dấu v) Nếu tốn ban đầu địi hỏi tìm cực đại hàm mục tiêu : Z → max, cần đổi biến số đặt Z’ = -Z yêu cầu Z’→min Khi giá trị tối ưu Z max = -Z’min Với Z’ mục tieu cần tìm có dạng (1.1) b) Dùng định nghĩa để tìm tốn QHTT đối ngẫu tương ứng Sau cách thực đơn giản : y1≥ … yi≥ … ym≥ Z x1≥ a11 … ai1 … am1 ≤ c1 … … … … … … … … xj ≥ a1j … aij … amj ≤ cj … … … … … … … xn≥ a1n … ain … amn ≤ cn W ≥ b1 … ≥ bi … ≥ bm ↓max → Từ sơ đồ này, để có ràng buộc toán đối ngẫu cần nhân tương ứng cột biến số yi với cột ma trận A Dấu ràng buộc ứng với dấu cột (trên cj) ; để có hàm mục tiêu W cần nhân tương ứng cột biến số yi với cột vế phải b (Sơ đồ cho biết dạng cụ thể toán gốc) Ví dụ : Tìm tốn QHTT đối ngẫu toán sau : Z = 4x1 − 2x + 5x → max  x1 + 3x − x ≤  + x3 ≥ 3x1  x +x +x =8  (3.4) x ≥ 0, x ≤ Bài giải : Trước hết đưa toán dạng Chúng ta tiến hành bước sau : Đặt Z’ = -Z = -4x1 + 2x2 - 5x3 ; nhân vế ràng buộc với –1 ; thay ràng buộc hai ràng buộc Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 67 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́  x1 + x + x ≥ ;   − x1 − x − x ≥ −8 đặt x1 = x1’ – x1’’ ; thay x3 x3’= -x3 Bài toán (3.4) tương đương với toán QHTT sau : ' ' Z' = −4x1 + 4x1'' + 2x + 5x → ' '  − x1 + x1'' − 3x − x ≥ −5  ' '' ' − x3 ≥  3x1 − 3x1  ' '' '  x1 − x1 + x − x ≥ ' '' '  − x1 + x1 − x + x ≥ −8  ' x1' ≥ 0, x1'' ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ (3.5) Áp dụng qui tắc thành lập toán QHTT đối ngẫu trang bên, ta có bảng x1’≥ y1≥ -1 y2≥ y’3≥ y’4≥ -1 ≤ Z’ -4 x1’’≥ -3 -1 ≤ x2≥ -3 -1 ≤ x3’ ≥ -1 -1 -1 ≤ W ≥-5 ≥6 ≥8 ≥ -8 ↓max → Khi tốn đối ngẫu có dạng : W ' = −5y1 + 6y'2 + 8y'3 − 8y '4 → max  − y1 + 3y '2 + y '3 − y '4 ≤ −4  y − 3y ' − y' + y ' ≤   −3y1 + y '3 − y'4 ≤   − y1 − y '2 − y '3 + y'4 ≤  y1 ≥ 0, y '2 ≥ 0, y '3 ≥ 0, y '4 ≥ (3.6) Do tốn (D) tốn QHTT nên có toán đối ngẫu tương ứng Bằng cách dùng kỹ thuật biến đổi để đưa toán (D) dạng bản, áp dụng định nghĩa để viết tốn đối ngẫu tương ứng Sau thực phép biến đổi ngược lại, người ta chứng minh định lý sau : Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 68 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đlí 3.1 : Bài tốn QHTT đối ngẫu với (D) tốn (P) Do hai tốn (P) (D) gọi cặp toán đối ngẫu 3.2.2 Qui tắc trực tiếp lập toán đối ngẫu từ toán gốc : Bằng cách dùng kỹ thuật biến đổi tương tự để đưa toán QHTT dạng (1.1) – (1.3), lập toán đối ngẫu theo qui tắc chung (như phần 3.2.1), sau biến đổi ngược lại, người ta chứng minh Qui tắc trực tiếp lập toán đối ngẫu sau Tuy nhiên, theo Đlí 3.1, tốn QHTT có tốn đối ngẫu tương ứng nên cần phân biệt hai trường hợp : Trường hợp A : (P) Z → ∑ aijxj ≥ bi ∑ aijxj = bi ∑ aijxj ≤ bi xj ≥ xj nhận giá trị tùy ý xj ≤ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ (D) W → max yi ≥ yi nhận giá trị tùy ý yi ≤ ∑ aijyi ≤ cj ∑ aijyi = cj ∑ aijyi ≥ cj ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ (D) W → yi ≥ yi nhận giá trị tùy ý yi ≤ ∑ aijyi ≥ cj ∑ aijyi = cj ∑ aijyi ≤ cj Trường hợp B : (P) Z → max ∑ aijxj ≤ bi ∑ aijxj = bi ∑ aijxj ≥ bi xj ≥ xj nhận giá trị tùy ý xj ≤ Ví du : Xét toán QHTT đối ngẫu (3.6) Hai ràng buộc đầu tương đương với ràng buộc (dạng đẵng thức): y1 - 3y’2 – y’3 + y’4 = Đặt y3 = y’4 - y’3, y2 = -y’2, W = -W’ Khi tốn (3.6) trở thành : Trong số tài liệu khác viết Lý thuyết QHTT, người ta định nghĩa tốn gốc có dạng tốn (D) cịn tốn đối ngẫu tương ứng có dạng (P) Theo định lý hai cách định nghĩa la tương đương Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 69 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ W = 5y1 + 6y + 8y →  y1 + 3y + y3 =  + y3 ≥ −2  3y1  −y + y + y ≤  y1 ≥ 0, y ≤ 0; y3 ∈ R (3.7) Dễ thấy toán (3.7) toán QHTT đối ngẫu (3.4) lập theo qui tắc trực tiếp 3.2.2 3.3 Tính chất cặp tốn QHTT đối ngẫu : Để trình bày tính chất cặp tốn QHTT đối ngẫu trở lại dạng toán (1.1)-(1.3) (3.1)-(3.3) hay dạng ma trân (P) (D) Để đơn giản chứng minh, ta sử dụng dạng ma trận Ký hiệu X = {x∈Rn/ Ax ≥ b, x ≥ 0}, Y = {y ∈Rm/ ATy ≤ c, y ≥ 0} miền chấp nhận tương ứng ; Zmin, Wmax giá trị tối ưu (nếu có) TC1 : Giả sử X, Y không rỗng : ∀x∈X, ∀y∈Y : 〈b,y〉 ≤ 〈c,x〉 (3.8) Tức là, x y chọn giá trị hàm mục tiêu tốn đối ngẫu khơng vượt giá tri hàm mục tiêu toán gốc Chứng minh (Bài tập 52) TC2 : Điều kiện cần đủ để toán QHTT (P) giải toàn QHTT đối ngẫu (D) giải Khi Zmin = Wmax (3.9) Chứng minh : Thật vậy, (P), (D) dạng đặc biệt tốn QH lồi Do áp dụng kết chương II cho toán (P) (D) Ta xét (P) Giã sử (P) giải x* lời giải tối ưu Khi theo Định lý 2.3 (chương II), tồn y* ≥ 0, cặp (x*,y*) điểm yên ngựa hàm Lagrange LP(x,y) miền Γ = {x∈Rn/ x ≥ 0} {y∈Rn/ y ≥ 0}, LP(x,y) = 〈c,x〉 + 〈y, b - Ax〉 Theo định lý 2.4 cặp (x*,y*) thỏa mãn điều kiện Kuhn-Tucker (2.28) dành cho toán QHTT với Q = p = c: c - ATy* – v =0 Ax* – b – u* = 〈x*, v*〉 + 〈y*, u*〉 = x* ≥ 0; v* ≥ 0; y* ≥ 0; u* ≥ Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 70 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Hay c - ATy* 〈x*, c - ATy*〉 x* Ax* – b 〈y*, Ax* – b 〉 y* ≥0 =0 ≥ ≥0 =0 ≥0 (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Từ suy với (3.10) (3.15) y*∈Y Mặt khác, (x*, y*) điểm yên ngựa hàm LP(x,y), nên ∀ x ≥ 0, ∀ y ≥ : LP(x*,y) ≤ LP(x*,y*) ≤ LP(x,y*) Tức 〈c,x*〉 + 〈y, b – Ax*〉 ≤ 〈c,x*〉 + 〈y*, b – Ax*〉 ≤ 〈c,x〉 + 〈y*, b - Ax〉 Hay 〈b, y〉 + 〈x*, c – ATy〉 ≤ 〈b,y*〉 + 〈x*, c – ATy*〉 ≤ 〈b,y*〉 +〈x, c - ATy*〉 Do có (3.11) nên ∀ x ≥ 0, ∀ y ≥ 〈b, y〉 + 〈x*, c – ATy〉 ≤ 〈b,y*〉 ≤ 〈b,y*〉 +〈x, c - ATy*〉 Do ∀ y∈Y, 〈x*, c – ATy〉 ≥ 0, nên từ bất dẵng thức bên trái suy 〈b, y〉 ≤ 〈b,y*〉 Tức Wmax = 〈b,y*〉 Vậy (D) giải Tương tự, từ giả thiết (D) giải chứng minh (P) giải Như vectơ x*, y* lập nên điểm yên ngựa LP(x,y) lời giải (P) (D) tương ứng Mặt khác LP(x*,y*) = 〈c,x*〉 + 〈y*, b – Ax*〉 = 〈b,y*〉 + 〈x*, c – ATy*〉 nên từ (3.11) (3.14) suy Z = 〈c,x*〉 = 〈b,y*〉 = Wmax.ª TC : (Định lý độ lệch bù yếu) Điều kiện cần đủ x*∈X, y*∈Y lời giải tối ưu cặp toán QHTT tương ứng (P), (D) m x *j (c j − ∑ a ij y* ) = 0; j = 1, 2, , n i i =1 n y* ( ∑ a ij x *j − bi ) = 0; i = 1, , m i j =1 (3.16) (3.17) Chứng minh : Điều dễ dàng suy từ Bất đẵng thức Kuhn-Tucker (3.10) – (3.15) ª Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 71 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Hệ : Để cho cặp tốn QHTT (P), (D) giải điều kiện cần đủ X ≠ ∅ Y≠ ∅ Hệ : Nếu X ≠ ∅ Z =〈c, x〉 khơng bị chặn X Y= ∅ va, đó, (D) khơng giải Ngược lại, Y ≠ ∅ W =〈b, y〉 không bị chặn trên Y X = ∅ và, đó, (P) khơng giải Bạn đọc chứng minh hệ dựa tính chất 1, 2, nêu §4 Ý nghĩa kinh tế toán QHTT 4.1 Bài toán sản xuất Bài tốn : Một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm, ký hiệu S 1, S2,…, Sn, từ m loại nguyên liệu khác nhau, ký hiệu N 1, N2…Nm Biết aij, khối lượng nguyên liệu loại Ni tiêu hao đơn vị sản phẩm loại S j; bi khối lượng nguyên liệu loại Ni mà xí nghiệp huy động ; cj lợi nhuận thu sản xuất bán đơn vị sản phẩm loại S j, i = 1,…,m ; j = 1,2,…,n Giả sử xí nghiệp sản xuất tiêu thụ sản phẩm khơng hạn chế Hãy tìm khối lượng sản phẩm loại mà phạm vi số nguyên liệu huy động được, xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Lập mơ hình : Đặt xj số sản phẩm loại Sj mà xí nghiệp cần phải sản xuất (phải tìm), j =1,2,…,n ; Z tổng lợi nhuận mà xí nghiệp thu sản xuất tiêu thụ số sản phẩm sản xuất Khi mơ hình tốn sau: n  Z = ∑ c x → max j j  j =1 n  (3.18)  ∑ a ij x j ≤ bi , i = 1, 2, , m  j=1 x j ≥ 0, j = 1, 2, , n    4.2 Bài toán pha trộn thức ăn gia súc : Bài toán : Người ta cần phải pha trộn loại thức ăn gia súc từ n loại thức ăn thô khác nhau, ký hiệu B1,…,Bn Theo yêu cầu chất lượng, đơn vị thức ăn tổng hợp phải chứa đủ bi đơn vị chất dinh dưỡng Ai, i = 1,2,…,m Biết đơn vị thức ăn thô loại Bj có aij đơn vị dinh dưỡng Ai, cj chi phí cho đơn vị thức ăn thơ B j, i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…., n Tìm tỉ lệ pha trộn thức ăn thơ đơn vị thức ăn tổng hợp cho tổng chi phí cho đơn vị thức ăn tổng hợp Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 72 Lýthuyêt qui hoach tun tinh ́ ̣ ́ ́ Lập mơ hình : Gọi xj số đơn vị thức ăn thô loại Bj đơn vị thức ăn tổng hợp, j = 1, 2,…,n ; Z tổng chi phí cho đơn vị thức ăn tổng hợp Khi ta có mơ hình tốn sau : n  Z = ∑ c x → j j  j =1 n  (3.19)  ∑ a ij x j ≥ bi , i = 1, 2, , m  j=1 x j ≥ 0, j = 1, 2, , n    4.3 Bài toán pha cắt đơn giản Bài tốn : Tại xí nghiệp sản xuất sườn xe đạp người ta cần phải cắt từ ống sắt có độ dài cố định l m thành m đoạn có độ dài tương ứng li, i = 1, 2,…,m Biết theo đơn đặt hàng làm sườn xe, xí nghiệp cần phải cắt bi, đoạn có độ dài li, i = 1, 2,…,m Tìm phương án cắt ống sắt cho đảm bảo hợp đồng với số lượng ống sắt sử dụng Lập mơ hình : Giả sử từ ống sắt có độ dài cố định l người ta có n cách cắt (phương án cắt), ký hiệu V j, j = 1, 2, …, n, thành đoạn có độ dài li khác nhau, 1≤ i ≤ m ; gọi aij số đoạn ống có độ dài li cắt dược từ ống sắt có độ dài l theo phương án Vj ; cj độ dài đoạn ống dư cắt theo phương án Vj Hiển nhiên, ≤ cj ≤ {li}, i = 1, 2,…,m ; j = 1, 2,…, n Đặt xj tổg số ống sắt cắt theo phương án V j , j = 1, 2,…, n Z tổng độ n dài ống dư Khi tổng số đoạn ống có độ dài l i : ∑ a ij x j tổng số j =1 n độ dài ống dư Z = ∑ c j x j Căn vào u cầu tốn ta có mơ j =1 hình tốn QHTT có dạng (3.19) Chú ý : Nếu yêu cầu cắt cho tổng số ống sắt phải sử dụng nhất, n tốn có hàm mục tiêu đơn giản : Z = ∑ x j → j =1 4.4 Bài tốn pha trộn khí đốt Bài tốn : Tại sở sản xuất chất đốt phục vụ người tiêu dùng người ta cần phải pha trộn thành loại chất đốt tổng hợp từ n loại chất đốt tự nhiên, ký hiệu Bj, j = 1, 2, …, n Biết nhiệt lượng riêng loại chất đốt tự nhiên Bj cj kcal/ m3; hàm lượng độc tố loại Ai (có hại đến sức khỏe người tiêu dùng) m3 chất đốt tự nhiên loại Bj aij g/ m3, i =1,2,…,m; chi phí sản xuất m chất đốt tự nhiên Bj dj, j =1, 2,…,n Theo yêu cầu, nhiệt lượng riêng chất đốt tổng hợp phải khoảng [u, v] kcal/m ; Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 73 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ hàm lượng độc tố loại Ai có m chất đốt tổng hợp phải không vượt bi g, i = 1, 2, …, m Tìm khối lượng chất đốt tự nhiên phải sử dụng để pha trộn cho hất đốt tổng hợp có nhiệt lượng riêng theo yêu cầu khối lượng chất độc loại mức cho phép với tổng chi phí sản xuất khối lượng chất đốt tự nhiên cần thiết Lập mơ hình : Gọi xj khối lượng chất đốt tự nhiên B j dược sử dụng, j = 1,2, …,n Z tổng chi phí sản xuất khối lượng loại chất đốt tự nhiên phải sử n dụng Khi tổng nhiệt lượng tỏa chất khí tổng hợp ∑ c j x j kcal j =1 Vậy nhiệt lượng riêng chất đốt tổng hợp phải thỏa mãn n u≤ ∑ c jx j j =1 n ∑ xj ≤v j =1 n n n j =1 j =1 j =1 u ∑ x j ≤ ∑ c j x j ≤ v∑ x j Hay (3.20) Hàm lượng độc tố Ai m3 chất đốt tổng hợp phải thỏa mãn điều kiện n 0≤ ∑ jx j j =1 n ∑xj ≤ bi j =1 n n j =1 j =1 ≤ ∑ a ij x j ≤ bi ∑ x j Hay Ta có mơ hình tốn QHTT sau : Tìm giá trị x1, x2,…., xn cho n Z = ∑ d j x j → j =1 n ∑ (a ij − bi )x j ≤ 0; j =1 i = 1, 2, , m n ∑ [c j − v]x j ≤ j =1 n ∑ [c j − u]x j ≥ j =1 xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n 4.5 Ý nghĩa kinh tế cặp toán đối ngẫu Ta xét toán sản xuất dạng (3.18) Bài toán đối ngẫu với tốn có dạng Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 74 Lýthuyêt qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ m  W = ∑ b y → i i  i =1 m  ∑ a ij yi ≥ c j , j = 1, 2, , n  i =1 yi ≥ 0, i = 1, 2, , m   (3.21) Dựa vào ý nghĩa kinh tế tốn gốc (3.18) phát biểu ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu (3.21) sau Giả sử xí nghiệp khơng tiến hành sản xuất loại sản phẩm S j để thu lợi nhuận nhượng lại số nguyên vật liệu có cho xí nghiệp khác Vấn đề cần phải định giá chuyển nhượng đơn vị nguyên liệu loại N i xí nghiệp thu lợi nhuận khơng lợi nhuận phương án sản xuất mang lại Gọi yi giá chuyển nhượng đơn vị nguyên liệu loại N i, i =1, 2, …,m Trước hết cần phải xác định y i cho tổng số tiền thu chuyển nhượng toàn số đơn vị nguyên liệu loại cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm loại Sj khơng số lợi nhuận thu sản m xuất đơn vị sản phẩm ; tức cần phải có : ∑ a ij yi ≥ c j , j = 1,2,…,n i =1 Đương nhiên giá chuyển nhượng phải đại lượng không âm ; tức có điều kiện yi ≥ 0, i = 1, 2,…,m Tổng giá trị chuyển nhượng toàn số m nguyên liệu có W = ∑ bi yi Trong sản xuất, kinh doanh nhiều khi, để i =1 thỏa thuận hợp đồng kinh tế, đối tác thường phải có bước nhân nhượng định Cụ thể đây, xác định giá chuyển nhượng yi xí nghiệp cần đặt mục tiêu khơng phải tìm tổng giá trị chuyển nhượng cao (W→ max) mà đặt mục tiêu tìm Wmin (như mục tiêu đối tác) Khi có tốn đối ngẫu (3.21) Bạn đọc dễ dàng thấy rằng, đặt mục tiêu tìm W max thì, hệ số aij, bi, cj khơng âm, tốn (3.21) khơng có lời giải (hàm W khơng bị chặn trên) Do khơng hình thành hợp đồng mua bán Mặt khác, tính chất cho thấy, dù xí nghiệp chọn phương án giá sang nhượng (chấp nhận được) số tiền thu khơng lợi nhuận với phương án sản xuất Tức Wmin ≥ Zmax ./ Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh 75 ... thống bất đẵng thức Kuhn-Tucker Đây nội dung lý thuyết qui hoạch tuyến tính 1.2 Các tính chất tốn QHTT Từ « phương án » sử dụng phương pháp qui hoạch tuyến tính thường áp dụng để giải toán xuất phát... Định lý suy trực tiếp từ định lý 5, chương I cho trường hợp toán Qui hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính Trong hệ ràng buộc hạn chế (1.2) (1.3) chương này trường hợp đặt biệt hệ (5.1)(5.2) chương. .. trị tối ưu chứng tỏ tốn QHTT khơng giải §3 Bài tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu Tính chất cặp tốn QHTT đối ngẫu 3.1 Bài tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu : Xét toán QHTT dạng (1.1) – (1.3), ký