Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH R n §1 Không gian tuyến tính 1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính Đn 1.1 Cho K là tập con của tập hợp các số phức C. Tập K được gọi là một trường, nếu thỏa mãn các tiên dề sau đây: (a) Nêu α , β là các phần tử thuộc K thì α + β và αβ cũng là những phần tử thuộc K. (b) Phần tử 0 và 1 đều là phần tử thuộc K (c) Nếu α∈ K thì - α cũng là phần tử thuộc K. Ngoài ra, nếu α ≠ 0 thì α -1 cũng là phần tử thuộc K (với a. α - =1). Ví dụ: Tập hợp các số thực R, tập hợp các số phức C và tập hợp các số hữu tỉ Q là những trường. Trong khi đó tập hợp các số nguyên Z không phải là một trường, vì với n ≠ 0, n -1 = 1/n không phải là số nguyên. Đn 1.2: Tập X ≠ ∅ gồm các đối tượng nào đó được gọi là một không gian tuyến tính trên trường K, nếu trên đó: (I) Có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một phần tử z cũng thuộc X được gọi là “tổng” của x và y, ký hiệu z = x + y; (II) Có qui tắc cho ứng với một phần tử α ∈ K và một phần tử x ∈ X một phần tử p cũng thuộc X gọi là tích giữa α với x, ký hiệu là p = α x. (III) Các qui tắc cho ở (I) và (II) phải thỏa mãn 8 tiên đề sau đây: (1) ∀ x, y ∈ X: x + y = y + x (tính giao hoán) (2) ∀ x, y, z ∈ X : (x+y) + z = x + (y+z) (tính kết hợp) (3) ∃θ (phần tử 0) sao cho ∀ x ∈ X : θ + x = x + θ = x (4) ∀ x ∈ X: ∃ x’ (phần tử đối) sao cho: x + x’ = x’ + x = θ (5) ∀ x ∈ X: 1x = x; (1 ∈ K) (6) ∀α∈ K, ∀ x, y ∈ X: α (x+y) = α x + α y (7) ∀α , β ∈ K, ∀ x ∈ X: ( αβ )x = α ( β x) (8) ∀α , β ∈ K, ∀ x ∈ X: ( α + β )x = α x + β x Chú ý: Trong không gian tuyến tính X: 1) Phần tử θ là duy nhất. Để cho tiện ta ký hiệu phần tử không θ là 0. 2) Người ta ký hiệu các qui tắc được định nghĩa trong (I) và (II) là các phép cộng và nhân với một “vô hướng” trên trường K; 3) Ứng với một phần tử x bất kỳ cũng có duy nhất một phần tử đối x’. Vì vậy phần tử này được ký hiệu là (-x); Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 1 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính 4) Từ đó phần tử tổng của x và phần tử đối (-y) của phần tử y được gọi là “hiệu” giữa hai phần tử x và y. Tức là: x – y = x + (-y) 5) Nếu K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực 1 ; nếu K = C, thì X là không gian tuyến tính phức. Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được rằng trong không gian tuyến tính có các tính chất như sau: a) ∀α∈K: α0 = 0 b) ∀x∈X: 0x = 0 c) ∀x∈X, ∀α∈K, α ≠ 0: αx = 0 ⇒ x = 0 d) ∀x∈X, ∀α∈K: α(-x) = -(αx) e) ∀x∈X, ∀α∈K: (-α)x = -(αx) Đặc biệt: (-1)x = -x f) ∀x, y∈X, ∀α∈K: α (x -y) = αx - αy g) ∀x∈X, ∀α, β∈K: (α - β)x = αx - βy Ví dụ về không gian tuyến tính: 2 1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một vô hướng và vecto 0 là phần tử 0. Vì vậy các phần tử trong một không gian tuyến tính thường được gọi là các vectơ và không gian tuyến tính còn được gọi là không gian vectơ. 2) Tập hợp các số thực cũng là không gian tuyến tính. 3) Ta xét tập hợp X gồm các bộ n số thực (x 1 , x 2 , …., x n ), với x i ∈R, i = 1,2, …, n. Ta định nghĩa phép cộng giữa x = (x 1 , x 2 , …., x n ) và y = (y 1 , y 2 , …., y n ) như sau: x + y = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 ,…., x n +y n ), và phép nhân một vô hướng α∈R với một phần tử x = (x 1 , x 2 , …., x n ): αx = (αx 1 , αx 2 , …., αx n ) Với phép cộng và nhân như vậy và để ý rằng θ = 0 = (0. 0,….,0) và –x = (-x 1 , -x 2 , …., -x n ), dễ thấy rằng tập X là một không gian tuyến tính. Người ta ký hiệu không gian này là R n . 1.2 Cơ sở, chiều của một không gian tuyến tính Đn 1.3: Cho X là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức), {x 1 , x 2 , …., x k } là k vectơ thuộc X, k ∈ N. Các vectơ x i , i=1,2,…,k, được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẵng thức 1 Từ nay về sau, khi nói X là “không gian tuyến tính” thì đó là không gian tuyến tính thực. 2 Các ví dụ tiếp theo về không gian tuyến tính xin xem ở [ ] Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 2 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính (1.1) α 1 x 1 + α 2 x 2 +….+ α k x k = 0 chỉ xãy ra khi α 1 = α 2 =… = α k = 0. Từ định nghĩa này suy ra, nếu tồn tại ít nhất một α l ≠ 0, 1 ≤ l ≤ k để cho đẵng thức (1.1) thỏa mãn, thì hệ các vectơ {x 1 , x 2 , …., x k } được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Đn 1.4: Cho {x 1 , x 2 , …., x k } là hệ k vectơ thuộc không gian tuyến tính X, k ∈ N, và x ∈ X. Nếu tồn tại các vô hướng α i (thực hoặc phức), i = 1,2, …, k, sao cho (1.2) x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +….+ α k x k = k i i i 1 x = α ∑ thì x được coi là được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của k vectơ {x 1 , x 2 , …., x k }. Rõ ráng, hệ vectơ {x 1 , x 2 , …., x k } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một trong số các vectơ ấy có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Đn 1.5: Một hệ vectơ {x 1 , x 2 , …., x k } trong không gian tuyến tính X được gọi là một cơ sở nếu : i) chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính; ii) bất kỳ một vectơ nào khác của X cũng có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đó; tức là: (1.3) ∀ x ∈ X: ∃ α i ∈ K, i =1,2,…,k, k ∈ N: x = k i i i 1 x = α ∑ Ứng với một cơ sở {x 1 , x 2 , …., x k } cho trước thì sự biểu diễn x ở (1.3) là duy nhất. Khi ấy các vô hướng α i , i = 1,2,….k,được gọi là các toạ độ của x theo cơ sở {x 1 , x 2 , …., x k }. Do đó có thể viết x = (α 1 , α 2 ,…, α n ) Ví dụ: Trong không gian R n , cho n bộ số thực đặc biệt e 1 = (1, 0,….,0), e 2 = (0, 1, 0,…,0), …., e n = (0,0,…, 1). Dễ thấy rằng hệ {e 1 , e 2 ,…, e n } là hệ độc lập tuyến tính. Lấy x = (α 1 , α 2 ,…, α n ), là bộ gồm n số thực α i , i = 1,2,…,n. Rõ ràng đẵng thức sau đây thỏa mãn: (1.4) x = α 1 e 1 + α 2 e 2 +….+ α k e k = k i i i 1 e = α ∑ Vì vậy hệ {e 1 , e 2 ,…, e n } là một cơ sở của R n và có thể coi các α i là toạ độ của x theo cơ sở ấy. Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 3 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính Đn 1.6: Trong không gian tuyến tính X một vectơ độc lập tuyến tính {x 1 , x 2 , …., x k } gọi là hệ (vectơ) độc lập tuyến tính cực đại, nếu thêm vào hệ đó bất kỳ một vectơ nào khác sẽ được hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. Rõ ràng theo Đn 1.5 thì mỗi cơ sở của X là một hệ độc lập tuyến tính cực đại trong X. Đn 1.7: Số vectơ độc lập tuyến tính cực đại có trong X được gọi là số chiều của X, ký hiệu là dim X. Nếu dim X < ∞, thì X gọi là không gian tuyến tính hữu hạn chiều. Người ta chứng minh được những mệnh đề sau đây 3 : • Nếu X có một cơ sở gồm m vectơ thì theo Đn 1.5 số vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong X đúng bằng m, tức là dim X = m. • Ngược lại, nếu dim X = m thì bất kỳ một hệ gồm m vectơ độc lập tuyến tính nào đó trong X đều là một cơ sở của X. • Định lý bổ sung cơ sở: nếu dim X = m và {x 1 , x 2 , …., x k } là hệ gồm k vectơ độc lập tuyến tính trong X với k < m thì bao giờ cũng tìm thấy (m- k) vectơ x i ∈ X, i = k+1, k+2,….m, sao cho hệ {x 1 , x 2 , …., x k , x k+1 , x k+2 , …., x m } là hệ độc lập tuyến tính và do đó tạo nên một cơ sở của X. Đlý 1.1: Cho X là không gian tuyến tính (thực hoặc phức), dim X = n, {f 1 , f 2 , …., f n } là một cơ sở của X. Cho x ∈ X bất kỳ và ( α 1 , α 2 ,…, α n ) là tọa độ của x theo cơ sở {f 1 , f 2 , …., f n }; tức là (1.5) x = n i i i 1 f = α ∑ Giả sử α k ≠ 0, 1 ≤ k ≤ n. Khi đó hệ {f 1 , f 2 , …., f k-1 , x, f k+1 ,…, f n } cũng tạo nên một cơ sở của X. Chứng minh: a) Giả sử ta có đẵng thức (1.6) 0 = n i i k i 1,i k f x = ≠ β +β ∑ Thay x bởi (1.5) 0 = n n i i k i i i 1,i k i 1 f f = ≠ = β +β α ∑ ∑ (1.7) = n i k i i k k k i 1,i k ( )f f = ≠ β +β α +β α ∑ Do theo giả thiết các f i , i =1,2,…,n là một cơ sở, nên chúng độc lập tuyến tính. Vì vậy từ (1.7) suy ra 3 SERGE LANG, Linear Algebra, Colombia University, New York Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 4 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính i k i k k 0, i 1,2, k 1,k 1, ,n 0 β +β α = = − +   β α =  Theo giả thiết α k ≠ 0, nên từ đẵng thức thứ hai suy ra β k = 0. Do đó đẵng thức thứ nhất kéo theo (1.8) β i = 0 ∀i =1,2,…, n. Như vậy, đẵng thức (1.6) đúng khi và chỉ khi có (1.8). Từ đây suy ra hệ {f 1 , f 2 , …., f k-1 , x, f k+1 ,…, f n } là hệ độc lập tuyến tính. b) Lấy y là một vectơ thuộc X bất kỳ. Giả sử γ i , i =1,2, ,n là toạ độ của y theo cơ sở {f 1 , f 2 , …., f n }; tức là (1.9) y = n i i i 1 f = γ ∑ = n i i k k i 1,i k f f = ≠ γ + γ ∑ Từ (1.5) và do α k ≠ 0 có thể biểu diễn f k theo các vectơ x và f i , i ≠ k như sau: f k = n i i i 1,i k k k 1 ( )f x = ≠ α − + α α ∑ Thay biểu thức này vào (1.9) rồi nhóm các số hạng lại, ta có biểu thức biểu diễn y theo hệ các vectơ {f 1 , f 2 ,…, f k-1 , x, f k+1 ,…, f n }: y = n i k i k i i 1,i k k k ( )f x = ≠ α γ γ − γ + α α ∑ Vì y bất kỳ nên điều này chứng tỏ hệ {f 1 , f 2 ,…, f k-1 , x, f k+1 ,…, f n } là một cơ sở mới của X. Hệ này chỉ phân biệt với hệ cũ bởi một vectơ; đó là x thay cho f k . Toạ độ của y theo cơ sở mới: (1.10) * i i i k k * k k k ( ), i 1,2, ,k 1,k 1, ,n α  γ = γ − γ = − +  α   γ  γ =  α  .ª Ghi chú: Phép biến đổi toạ độ (1.10) gọi là phép biến đổi cơ sở hay phép biến đổi trục xoay (pivot-transformation). 1.3 Không gian tuyến tính con Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X; L ≠ ∅ . Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) con của X nếu bản thân L là không gian tuyến tính với phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như trên X. Hiển nhiên, giao của một họ bất kỳ các không gian con của X cũng là một không gian con (của X). Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có một không gian con của X chứa A. Đó là không gian X Giao của tất Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 5 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính cả các không gian con của X chứa A là không gian con nhỏ nhất của X chứa A, ký hiệu liA, và được gọi là bao tuyến tính của A. Tức là (1.11) liA = L(A) I , L(A) là không gian con chứa A Đlý 1.2: Tập L ⊆ X là không gian con của X khi và chỉ khi: (1.12) ∀ x,y ∈ L, ∀α , β∈ K: α x + β y ∈ L Chứng minh: Rõ ràng, nếu L là không gian tuyến tính trên trường K thì (1.11) là hiễn nhiên. Ngược lại, nếu (1.11) thỏa mãn thì dễ dàng kiểm chứng 8 tiên đề ở phần 1.1. Đặc biệt, nếu α = β = 0 thi 0∈ L và khi β = 0, α = -1, thì, cùng với x, (-x) ∈ L. Điều nay chứng tỏ L là không gian tuyến tính trên trường K. Vậy L là không gian con của X. ª Ví dụ về không gian con: 1) Tập L = {0} và L = X là những không gian con đặc biệt 2) Cho X = R n . Khi đó các không gian R, R 2 ,…., R n-1 là các không gian con của R n . 3) Cho A là ma trận cấp (mxn). Ký hiệu r[A] là hạng của ma trận A. Giả sử r[A] = m≤ n . Khi đó tập hợp các lời giải của hệ phương trình tuyến tính Ax = 0 là không gian con (n-m) chiều của R n . 4) Không gian các ma trận thực có m hàng, n cột với phép cộng và nhân ma trận thông thường; phần tử 0 là ma trận 0. 5) Không gian các đa thức có hệ số thực có bậc không quá n. 6) Không gian các hàm số thực, xác định và liên tục trên [a,b] (không gian C [a,b] )với phép cộng và nhân với một vô hướng định nghĩa như sau: ∀f, g∈ C [a,b] ;∀x∈[a,b]: [f + g](x) = f(x) + g(x) ∀f∈ C [a,b] ; ∀α∈R: [αf](x) = α.f(x) 1.4 Đa tạp tuyến tính: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K; a,b là hai phần tử khác nhau của X. Đn 1.9: Tập hợp (1.13) D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} được gọi là đường thẳng đi qua a và b. • Nếu trong (1.13) thêm điều kiện α ≥ 0, thì D là nửa đường thẳng (tia) xuât phát từ b và đi qua a. • Khi thêm vào (1.13) điều kiện β ≥ 0 thì D là nửa đường thẳng (tia) xuât phát từ a và đi qua b. Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 6 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính • Nếu đồng thời thêm cả hai điều kiện α ≥ 0 và β ≥ 0 thì D là đoạn thẳng nối a với b. Đn 1.10: Cho V là tập con của X, V ≠ ∅ và có ít nhất hai phần tử phân biệt. Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V chứa toàn bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi là một đa tạp tuyến tính (hoặc đa tạp aphin). Tức là: (1.14) ∀a,b∈ V: D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} ⊆ V ⇔ V là aphin Hay biểu diễn dưới dạng khác: V là đa tạp tuyến tính, nếu và chỉ nếu (1.15) ∀α, β∈ K: αV + βV ⊆ V Hiển nhiên bất kỳ không gian con nào cũng là một đa tạp tuyến tính và giao của một họ bất kỳ các đa tạp tuyến tính, nếu khác trống, cũng là một đa tạp tuyến tính. Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có một đa tạp tuyến tính chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Giao của tất cả các đa tạp tuyến tính của X chứa A là đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa A, ký hiệu là affA và gọi là bao aphin của A. Tức là: (1.16) affA = ∩ V(A), V(A) là đa tạp tuyến tính chứa A Trong bài tập 1.2 bạn đọc sẽ chứng minh rằng, nếu V là đa tạp tuyến tính trong X, thì (1.17) ∀k∈N, ∀{x 1 , x 2 , …., x k } ⊆ V: k k i i i i 1 i 1 x V, 1 = = α ∈ α = ∑ ∑ Nếu ký hiệu x = k k i i i i 1 i 1 x , 1 = = α α = ∑ ∑ là tổ hợp aphin gồm k phần của x thì tính chất này có thể được phát biểu như sau: Nếu V là đa tạp tuyến tính thì bất kỳ tổ hợp aphin nào đó của các phần tử của V đều chứa trong V. Đlý 1.3: Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K, V ⊆ X, V ≠ ∅ và a ∈ V. Tập V là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi V có dạng: (1.18) V = L + a = {x ∈ X/ ∃ y ∈ L: x = y + a} Trong đó L là không gian con của X. Chứng minh: a) Giả sử V là đa tạp tuyến tinh. Từ (1.18), L = V – a = {x∈X/ ∃ y∈V: x = y- a). Rõ ràng 0∈L, vì a∈V. Lấy x, y∈L, α,β∈K. Khi ấy theo (1.18) sẽ tìm thấy x’, y’∈V để cho x = x’-a, y = y’-a. Ta có Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 7 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính αx + βy = α(x’-a) + β(y’-a) = αx’+ βy’ - (α + β)a = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a - a Đặt z = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a. Vì x’, y’, a∈V và α+β+ [1 -(α + β)]=1 nên theo (1.17) (với k = 3) z ∈ V. Do đó αx + βy = z -a cũng thuộc L. Theo định lý 1.2 thì L là không gian con. b) Giả sử L là không gian con và V có dạng như (1.18). Lấy x, y∈ V, α,β∈K, với α+β =1. Khi đó sẽ tồn tại x’, y’∈L để cho x = x’+ a, y = y’+ a. Ta có: αx + βy = α(x’+a) + β(y’+ a) = (αx’+ βy’) + (α+β)a = αx’+ βy’ + a Đặt z = αx’+ βy’. Khi ấy z∈L, và do đó (αx + βy) ∈ V. Suy ra V là đa tạp tuyến tinh. ª Như vậy, theo (1.18), nếu V⊆X là một đa tạp tuyến tính và a∈V thì L(a) với L(a) = V – a là một không gian con của X. Cho b là phần tử khác của V. Khi ấy cũng theo định lý trên L(b) = V-b cũng là không gian con của X. Tuy nhiên, trong bài tập 7 bạn đọc sẽ chứng minh rằng L(a) = L(b). Tức là, mỗi đa tạp tuyến tính V sẽ tương ứng với duy nhất một không gian con L, xác định bởi (1.8), trong đó a là một phần tử bất kỳ của V. Vì phép biến đổi (1.8) là phép tịnh tiến song song, nên người ta gọi L là không gian con song song với đa tạp tuyến tính V. Từ đây có thể định nghĩa thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính như sau: dimV = dimL Tức là, thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó. §2 Không gian Euclid, không gian định chuẩn, không gian mêtric 2.1 Không gian Euclid Đn 2.1: Không gian tuyến tính X được gọi là không gian Euclid (Ơcơlit) nếu 1) có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một số thực α , ký hiệu α = 〈 x,y 〉 , gọi là tích vô hướng giữa x và y; 2) Tích vô hướng xác định ở 1) phải thỏa mãn 4 tính chất sau đây: i) ∀x, y∈X: 〈x,y〉 = 〈y,x〉 ii) ∀x, y, z∈X: 〈x+y,z〉 = 〈x,z〉 +〈y,z〉 iii) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈αx,y〉 = α〈x,y〉 Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 8 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính iv) ∀x∈X, x ≠ 0: 〈x,x〉 > 0 và 〈x,x〉 = 0 ⇔ x = 0 Từ các tính chất trên, bạn đọc có thể chứng minh trong bài tập 8 các tính chất tiếp theo như sau: v) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈x, αy〉 = α〈x,y〉 vi) ∀x, y, z∈X: 〈x,y+z〉 = 〈x,y〉 +〈x,z〉 vii) ∀x, y∈X: x, y x,x y, y≤ Ví dụ về không gian Euclid: 1) Không gian các vectơ tự do là không gian Euclid với tích vô hướng giữa hai vectơ a r va b r là tích vô hướng thông thường: 〈 a r , b r 〉 = a r . b r =  a r . b r .cos( a r , b r ) 2) Không gian các hàm số một biến số thực liên tục trên đoạn [a,b], C [a,b] , là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa như sau: 〈f(t), g(t)〉 = b a f (t).g(t)dt ∫ 3) Không gian tuyến tính R n cũng là một không gian Euclid với tích vô hướng giữa x = (x 1 , x 2 ,…. x n ) và y = (y 1 , y 2 ,…, y n ) được định nghĩa theo một trong 2 cách sau đây: a) 〈x,y〉 = n i i i 1 x y = ∑ 4 b) 〈x,y〉 = n n ij i j i 1 j 1 a x y = = ∑∑ Trong đó A = ((a ij )) là ma trận vuông, đối xứng xác định dương (positive definit); tức là m = n và n n ij i j i 1 j 1 x 0, a x x 0 = = ∀ ≠ > ∑∑ . 2.2 Không gian định chuẩn Đn 2.2 : Không gian (tuyến tính) X trên trường vô hướng K được gọi là không gian (tuyến tính) định chuẩn, nếu trên đó có qui tắc cho ứng với mỗi phần tử x ∈ X bất kỳ một số thực không âm gọi là chuẩn 4 Khi ấy tính chất vii) ở định nghĩa 2.1 trở thành Bất đẵng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: n n n 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 x y ( x )( y ) = = = ≤ ∑ ∑ ∑ Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 9 Lý thuyết Qui hoạch tuyến tính (hoặc độ dài) của x, ký hiệu là x , thỏa mãn các tính chất sau đây: i) ∀x∈X: x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0 (Tính không âm) ii) ∀x∈X, ∀λ∈R: xλ = λ. x (Tính đồng nhất) iii) ∀x, y ∈X: x y x y+ ≤ + (Bất đẵng thức tam giác) Dễ thấy rằng không gian Euclid là một không gian định chuẩn với chuẩn được định nghĩa như sau: (2.1) x = x,x Chuẩn (2.1) được định nghĩa dựa vào tích vô hướng trong không gian Euclide nên có tên là chuẩn Euclid. Không gian tuyến tính R n cũng là không gian euclide nên cũng là không gian định chuẩn. 5 2.3 Không gian mêtric Đn 2.2: Một tập hợp X được gọi là khả mêtric hay gọi đơn giản là không gian mêtric, nếu có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y ∈ X bất kỳ một số thực không âm gọi là khoảng cách (mêtric) giữa x và y, ký hiệu là ρ (x,y), thỏa mãn các tính chất sau đây: i) ∀ x, y ∈ X: ρ (x,y) ≥ 0 và ρ (x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (Tính không âm) ii) ∀ x, y ∈ X: ρ (x,y) = ρ (y,x) (Tính đối xứng) iii) ∀x, y, z ∈X: ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z) (Bất đẵng thức tam giác) Dễ thấy rằng không gian định chuẩn X là không gian mêtric với khoảng cách ρ(x,y) được định nghĩa như sau: (2.2) ρ(x,y) = x y− 5 Ngoài chuẩn euclide x = x,x = n 2 i i 1 x = ∑ trong không gian R n người ta còn có thể định nghĩa các chuẩn khác như sau: a) Chuẩn max 1 2 n x max{x , x , , x } ∞ = b) Chuẩn trị tuyệt đối: x 1 = n i i 1 x = ∑ c) Chuẩn tổng quát: ( ) 1 n p p i p i 1 x x = = ∑ , p ≥ 1 Lê Văn Phi, Khoa Toán Thống kê,Trường Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh 10 [...]... trong khụng gian Rn vi mờtric Euclide l s hi t theo to dng (3.5) Mt dóy vụ hn { x } trong k khụng gian mờtric X c gi l dóy Cauchy, nu >0 bt k cú th tỡm thy k0 N, sao cho k,l > k0 u cú (xk,xl) < R rng mi dóy hi t u l mt dóy Cauchy iu ngc li khụng phi lỳc no cng ỳng Khụng gian mờtric, trong ú mi dóy Cauchy u hi t, c gi l khụng gian mờtric Vỡ trong Rn mi dóy Cauchy u hi t nờn nú l mt khụng gian. .. cng gii ni Do vy mt tp compac trong khụng gian mờtric bt k l úng v gii ni Ngc li, do mt tp gii ni trong khụng gian mờtric thỡ hon ton gii ni, nờn mt tp úng v gii ni trong khụng gian mờtric l compac Nh vy trong khụng gian mờtric Rn tớnh compac cú ngha l úng v gii ni Mt khỏc, trong mt khụng gian nh chun bt k, mi tp úng v gii ni u compac 6 Ngi ta cng d dng chng minh c rng, nu A l compac thỡ cng l tin... ny trỏi vi gi thit ê nh lý Farkas c minh hot bng hỡnh v nh sau Cho B c to r r r thnh t 3 vect hng b1 , b 2 , b 3 v v r b '3 r b '2 r x r b1 r v r b2 r b3 r b '2 r b '1 Hinh 1.8 iu kin Bx 0 cú ngha l x phi hp vi cỏc vect bi mt gúc khụng nhn Vy tha món iu kin ny, x phi nm trong nún li sinh bi cỏc vect bi, i = 1,2,3 Khi ú cho v hp vi cỏc vect x ny mt gúc khụng nhn, tc l v,x 0, thỡ bt buc v phi nm trong... b l vect thuc Rm lớ 4.5: Gi s r[ A] = r[ A, b] = r Khi ú tp hp V = {xRn / Ax = b} = { xRn / Ai., x = bi, i = 1, 2, , m} (4.12) l a tp tuyn tớnh th nguyờn (n -r) Chng minh: Vỡ theo gi rhit r[ A] = r[ A, b] nờn V H (4.12) cú hng bng n -r nờn khụng gian con L = {xRn / Ax = 0} cú chiu bng n -r Mt khỏc, d thy rng V = L + x0, vi x0 l mt nghim riờng ca h phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht (4.12) Theo lớ 1.3... khụng gian X thnh hai na khụng gian + H = {x X / c, x } vaứ H = {x X / c, x } (4.11) Nu X l khụng gian hu hn chiu thỡ mi siờu phng u l tp úng Cỏc na khụng gian trong (4.11) cng u l nhng tp li v úng Sau dõy chỳng ta s tỡm dng i s ca a tp tuyn tớnh trong R n Cho A l ma trn thc cp (mxn) Gi Ai., i = 1, 2, , m l cỏc vect hng ca A Gi s hng ca ma trn A, r[ A], bng r b l vect thuc Rm lớ 4.5: Gi s r[ A] = r[ A,... F(A) Theo tớnh cht T3 thỡ A l tp úng R rng õy l tp úng nh nht bao hm A Vỡ vy ngi ta ký hiu A l bao úng ca A Hin nhiờn A úng khi v ch khi A = A 3.2 S hi t trong khụng gian mờtric n 3.4: Tp hp A gũm cỏc phn t trong khụng gian mờtric X c gi l mt dóy vụ hn, ký hiu l { x k } nu tn ti mt song ỏnh t cỏc phn t ca A lờn tp hp cỏc s t nhiờn N Trong khụng gian mờtric X vi mờtric (.,.) dóy vụ hn { x k } c gi l... Nh vy tt c cỏc rng buc trong (5.2) u l rng buc cht Vớ d: Cho M l tp cỏc li gii ca h bt phng trỡn sau õy: x1 + x 2 1 2x + x 2 1 2 3x1 2x 2 3 x3 1 D thy rng cỏc rng buc t th nhõt n th ba l cht cũn rng buc cui cựng l lng lớ 5.2: Cho k l s rng buc cht c lp tuyn tớnh trong h (5.1) v (5.2) Khi y dimM = n-k Tht vy, bng cỏch gp tt c cỏc rng buc cht vo (5.2) Theo gi thit trong ú cú k rng buc c lp... minh mt nh lý c bn trong khụng gian tuyn tớnh nh chun Rn lm c s cho vic nghiờn cu lý thuyt qui hoch tuyn tớnh i ngu sau ny ú l nh lý Farkas (hay cũn gi l b Farkas-Mincpski) lớ 4.12: Cho B l ma trn cp (mxn) Nu v l mt vect no ú thuc R n sao cho xRn iu kin Bx 0 luụn luụn kộo theo v,x 0 thỡ s tn ti mt vect u 0, cho v = BTu Tc l v s nm trong nún li sinh bi cỏc vect hng ca ma trn B Trc khi chng minh nh... Qui hoach tuyờn tinh c bit, vỡ Rn, l khụng gian nh chun nờn cng l khụng gian mờtric vi khong cỏch (2.3) (x,y) = x y = n (x i yi ) 2 i =1 Trong ú x = (x1, x2,.,xn) v y = (y1, y2,.,yn) Mờtric (2.3) c to nờn t chun euclide nờn c gi l mờtric Euclid v ký hiu l E(.,.) Cho X l khụng gian mờtric, A l tp con ca X, aX i lng (2.4) (a,A) = inf (a, x) xA gi l khong cỏch t a ti A R rng, nu aA, thỡ = 0 iu ngc... l mt a tp afin th nguyờn n -r, trong ú r l s vect c lp tuyn tớnh trong s m vect Ai Nu M khụng rng v b chn nú c gi l mt a din li Cỏc bt phng trỡnh v phng trỡnh (5.1), (5.2) gi l cỏc rng buc xỏc nh M n 5.2: Rng buc i, 1 i m, c gi l cht, nu nú c tha món thnh ng thc i vi mi xM Lờ Vn Phi, Khoa Toan Thụng kờ,Trng ai hoc Kinh tờ Tp Hụ Chi Minh 32 Ly thuyờt Qui hoach tuyờn tinh Rng buc i, 1 i m, c gi l . đổi trục xoay (pivot-transformation). 1.3 Không gian tuyến tính con Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X; L ≠ ∅ . Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) . K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực 1 ; nếu K = C, thì X là không gian tuyến tính phức. Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được r ng trong không gian tuyến tính có các tính. β)x = αx - βy Ví dụ về không gian tuyến tính: 2 1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng vectơ