Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit Dạng cơ bản: I. Kiến thức cần nhớ: 1. Dạng ( ) 0,1 )()( >= baba xgxf a. Nếu a=b thì f(x)=g(x). b. Nếu ab thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế. 2. Dạng ( ) 0,1)(log)(log >= baxgxf ba . a. Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0. b. Nếu ab và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh. c. Nếu ab và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế. II. Các bài tập áp dụng: 99. 125.3.2 21 = xxx 100. xx 3322 loglogloglog = 101. xx 234432 loglogloglogloglog = 102. xxx 332332 loglogloglogloglog =+ 103. 2loglog3loglog 32 xx 104. 2 )4(log 8 2 xx x 105. xxx x lg25,4lg3lg 10 22 = 106. 2)1( 11 log)1(log + ++ xx xx xx 107. 5lglg 505 x x = 108. 126 6 2 6 loglog + xx x 109. x x = + )3(log 5 2 110. 1623 3 2 3 loglog =+ xx x 111. x x x + = 2 2 3.368 112. 2 65 3 1 3 1 2 + + > x xx 113. xx 31 1 13 1 1 + 114. 13 1 12 1 22 + x x 115. 2551 2 << xx 116. ( ) ( ) 12log log 5,0 5,0 2 25 08,0 x x x x 117. 48loglog 22 ≤+ x x 118. 1log 5 log 2 55 =+ x x x 119. ( ) 15log.5log 22 5 = x x 120. 5log5log xx x −= 121. 42log.4log 2 sin sin = x x 122. 12log.4log 2 cos cos = x x 123. 5)1(log2)1(4log 2 1)1(2 =+++ ++ xx xx 124. 03loglog 33 <−− xx 125. ( ) [ ] 05loglog 2 43/1 >−x 126. 3log2/5log 3/1 x x ≥+ 127. 14log.2log.2log 22 >x xx 128. 0 5 34 log 2 2 3 ≥ −+ +− xx xx 129. 0 2 1 loglog 2 3 6 >       + − + x x x 130. 6log 1 2log.2log 2 16/ − > x xx 131. 12log 2 ≥x x 132. ( ) 193loglog 9 ≤− x x 133. 1 2 23 log > + + x x x 134. ( ) 13log 2 3 >− − x xx 135. ( ) 2385log 2 >+− xx x 136. ( ) [ ] 169loglog 3 =− x x 137. xx x 216 log2log416log3 =− 138. 364log16log 2 2 =+ x x 139. ( ) 1log 1 132log 1 3/1 2 3/1 + > +− x xx 140. ( ) 101 log1 log1 2 ≠<> + + a x x a a 141. ( ) ( ) 103 5log 35log 3 <> avới x x a a 142. 05 10 1 2 1cos2sin2 7lgsincos 1cos2sin2 =+ + + xx xx xx 143. ( ) ( ) 0 352 114log114log 2 3 2 11 2 2 5 xx xxxx 144. ( ) ( ) 31log1log2 2 32 2 32 =++++ + xxxx 145. xxxxxx 532532 loglogloglogloglog =++ 146. 02)5(log6)5(log3)5(log 25/1 55 2 5/1 +++ xxx 147. Với giá trị nào của m thì bất phơng trình ( ) 32log 2 2/1 >+ mxx có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số ( ) 2log1log 1 3 += + xxy xx 148. Giải và biện luận theo m: 0100log 2 1 100log > mx 149. ( ) ( ) >+ +<++ + 22log )122.7lg()12lg(2lg1 1 x x x xx 150. Tìm tập xác định của hàm số ( ) 10 2 5 2 log 2 1 2 < + + = a x x y a III. Các bài tập tự làm: 151. 3log29log4log 33 2 3 + xxx 152. ( ) 4 162 2 2/1 log42log4log xxx <+ 153. ( ) 0log213log 2 22 2 ++ xxx 154. xx x x coslogsinlog 2sin cos Dạng bậc hai: I. Kiến thức cần nhớ: 1. Dạng ( ) 01,00 13 )( 2 )(2 1 >=++ aaaaaaa xfxf đa về phơng trình bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ )(xf at = >0. 2. Dạng ( ) 01,00)(log))(.(log 132 2 1 >=++ aaaxfaxfa aa đa về phơng trình bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ )(log xft a = . 3. Với bất phơng trình mũ và logarit cũng có phép đặt tơng ứng, lu ý khi gặp phơng trình hay bất phơng trình logarit mà cha phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện. II. Các bài tập áp dụng: 155. 0455 1 =+− − xx 156. 0103.93 <−+ −xx 157. 8log2 16 1 4 1 4 1 >       −       − xx 158. 12 3 1 .9 3 1 /12/2 >       +       + xx 159. 01228 332 =+− + x x x 160. xxx 5555 12 +<+ + 161. 16 5 202222 22 =+++ −− xxxx 162. ( ) ( ) 10245245 =−++ xx 163. ( ) ( ) 3 2531653 + =−++ x xx 164. ( ) ( ) 02323347 =+−−+ xx 165. ( ) ( ) 14347347 ≥++− xx 166. ( ) ( ) 43232 =++− xx 167. ( ) ( ) 10625625 tantan =−++ xx 168. xxx /1/1/1 964 =+ 169. 104.66.139.6 =+− xxx 170. 010.725.24.5 ≤−+ xxx 171. 3 33 8154154 x xx ≥++− 172. 02515.349 12212 222 ≥+− +−−+− xxxxxx 173. 2log cos2sin sin22sin3 log 22 77 xx xx xx −− = − 174. ( ) 2/1213log 2 3 =+−− + xx x 175. ( ) 2log2log 2 2 =++ + xx x x 176. ( ) ( ) ( ) 1log2 2log 1 13log 2 3 2 ++=+− + xx x 177. ( ) ( ) 32log44log 1 2 12 −−=+ +xx x 178. ( ) 1323.49log 1 3 +=−− + x xx 179. ( ) 4log1log1 12 − =−+ x x 180. ( ) ( ) 8 1 log14log.44log 2/1 2 1 2 =++ + xx 181. ( ) ( ) 222log12log 1 2/12 > +xx 182. ( ) ( ) 1 1 1 2525 + + x x x 183. 0 12 122 1 + x xx 184. 02cos 2 sinlogsin 2 sinlog 3 13 = ++ x x x x 185. ( ) ( ) 2 9 3 3 2 27 3log 2 1 log 2 1 65log + =+ x x xx 186. Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình ( ) ( ) 02log422log2 22 2 1 22 4 =+++ mmxxmmxx lớn hơn 1. 187. Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) 0log1log 25 2 25 =++++ + xmmxx . 188. Tìm m để phơng trình ( ) ( ) 02log422log2 22 2/1 22 4 =+++ mmxxmmxx có 2 nghiệm u và v thoả mãn u 2 +v 2 >1 III. Các bài tập tự làm: 91. Tìm m để mọi nghiệm của bất phơng trình 12 3 1 3 3 1 1 12 > + + xx cũng là nghiệm của bất phơng trình (m-2) 2 x 2 -3(m-6)x-(m+1)<0. (*) 92. ( ) ( ) 025353 2 22 21 22 ++ + xx xxxx 93. ( ) ( ) 312223 +=+ xx 94. 1 23 23.2 2 + xx xx 95. 04.66.139.6 222 222 + xxxxxx 96. ( ) ( ) 022log.2log 2 2 2 + x x 97. 2 222 4log6log2log 3.24 xx x = 98. ( ) ( ) 421236log4129log 2 32 2 73 =+++++ ++ xxxx xx Sử dụng tính đơn điệu: I. Kiến thức cần nhớ: 1. Hàm số x ay = đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1. 2. Hàm số xy a log= đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1. 3. Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tơng đơng u=v. 4. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì phơng trình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trên đó. II. Các bài tập áp dụng: 189. x x 4115 =+ 190. 132 2 += x x 191. x xxx 202459 ++= 192. 2112212 532532 +++ ++=++ xxxxxx 193. 9,2 5 2 2 5 /1 = + xx (*) 194. xxx 6321 11 <++ ++ 195. ( ) xxx 2 3 3 log21log3 =++ 196. 2 2 2 )1( 12 log262 + =+ x x xx 197. x x x x x x 2 2 22 22 2 211 = 198. ( ) ( ) 021223 2 =+ xx xx 199. 255102.25 >+ xxx 200. 20515.33.12 1 =+ +xxx 201. log 2 x+2log 7 x=2+log 2 x.log 7 x 202. xx coslogcotlog2 23 = 203. ( ) 5,1lg1log =+x x 204. =+ =+ )sin3(logcos31log )cos3(logsin31log 32 32 xy yx 205. ( ) ( ) ( ) ( ) +=+ +=+ 21log131log 21log131log 2 3 2 2 2 3 2 2 xy yx 206. ( ) ( ) xxxxxx 33lg36lg 22 ++=+++ 207. Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình ( ) xxx 4 4 6 loglog2 =+ thoả mãn bất đẳng thức x x 16 sin 16 cos < . 208. Tìm x sao cho bất phơng trình sau đây đợc nghiệm đúng với mọi a: ( ) 014log 2 >++ xaa x III. C¸c bµi tËp tù lµm: 107. ( ) )2lg(46lg 2 ++=−−+ xxxx 108. )3(log)2(log)1(loglog 5432 +++=++ xxxx 109. T×m nghiƯm d¬ng cđa bÊt ph¬ng tr×nh 12 1036 1 − > − + xx x (*) 110. ( ) ( )    =+ =+ 246log 246log xy yx y x 111. ( ) 0log213log 2 22 2 ≤+−−+ xxx D¹ng tỉng hỵp: I. Mét vµi lu ý: II. C¸c bµi tËp ¸p dơng: 209. ( ) 016)1(log)1(4)1(log2 3 2 3 =−+++++ xxxx 210. 035)103(25.3 22 =−+−+ −− xx xx 211. T×m a ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiƯm ph©n biƯt 0loglog2 3 2 3 =+− axx 212. ( ) ( ) 06log52log1 2/1 2 2/1 ≥++++ xxxx 213. ( ) 88 1214 −>− −− xx exxex 214. 62.3.23.34 212 ++<++ + xxxx xxx 215. ( ) ( ) ( ) )4ln(32ln4ln32ln 22 xxxx −+−=−+− 216. ( ) ( ) x xx x xx x 2 log2242141 2 1272 22 +−−≤       −+−+ III. C¸c bµi tËp tù lµm: Trong c¸c nghiƯm (x, y) cđa bÊt ph¬ng tr×nh ( ) 1log 22 ≥+ + yx yx h·y t×m nghiƯm cã tỉng x+2y lín nhÊt xx xxxxxxx 3.43523.22352 222 +−−>+−− T×m t ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau nghiƯm ®óng víi mäi x: ( ) 13 2 1 log 2 2 >       + + + x t t T×m a ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau tho¶ m·n víi mäi x: ( ) 02log 2 1 1 >+ + ax a . T×m a ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau nghiƯm ®óng víi mäi x: 1 32 2log2log. 2 2 2 2 < −− ++ xx xax a CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x x 1 x 2x 1 3 ( ) 3 − − − ≥ 2) 2 x 1 x 2x 1 2 2 − − ≥ 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x x 2 2 3.(2 ) 32 0 + − + < 4) 52428 11 >+−+ ++ xxx 2) x 3 x 2 2 9 − + ≤ 5) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx 3) 2 1 1 x x 1 1 ( ) 3.( ) 12 3 3 + + > 6) 0449.314.2 ≥−+ xxx VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N< ( , , ≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log (5x 8x 3) 2− + > 2) − < 2 3 3 log log x 3 1 3) 2 3x x log (3 x) 1 − − > 4) x x 9 log (log (3 9)) 1− ≤ 5) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ −xx 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) x x 2 3 2 log (3 2) 2.log 2 3 0 + + + − > 2) 2 2x x log 64 log 16 3+ ≥ Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a. 2 x x 8 1 3x 2 4 − + − = b. 2 5 x 6x 2 2 16 2 − − = c. x x 1 x 2 x x 1 x 2 2 2 2 3 3 3 − − − − + + = − + d. x x 1 x 2 2 .3 .5 12 − − = e. 2 2 x 1 (x x 1) 1 − − + = f. 2 x 2 ( x x ) 1 − − = g. 2 2 4 x (x 2x 2) 1 − − + = Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a. 4x 8 2x 5 3 4.3 27 0 + + − + = b. 2x 6 x 7 2 2 17 0 + + + − = c. x x (2 3) (2 3) 4 0+ + − − = d. x x 2.16 15.4 8 0 = e. x x x 3 (3 5) 16(3 5) 2 + + + = f. x x (7 4 3) 3(2 3) 2 0+ + = g. x x x 3.16 2.8 5.36+ = h. 1 1 1 x x x 2.4 6 9+ = i. 2 3x 3 x x 8 2 12 0 + + = j. x x 1 x 2 x x 1 x 2 5 5 5 3 3 3 + + + + + + = + + k. x 3 (x 1) 1 + = Bài 3:Giải phơng trình: a. x x x 3 4 5+ = b. x 3 x 4 0+ = c. 2 x x x (3 2 )x 2(1 2 ) 0 + = d. 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2 2 3 5 2 3 5 + + + + + = + + Bài 4:Giải các hệ phơng trình: a. x y 3x 2y 3 4 128 5 1 + = = b. 2 x y (x y) 1 5 125 4 1 + = = b. 2x y x y 3 2 77 3 2 7 = = d. x y 2 2 12 x y 5 + = + = e . x y x y 2 2 4 x y x y 2 3 6 m m m m n n n n + + = = với m, n > 1. Bài 5: Giải và biện luận phơng trình: a . x x (m 2).2 m.2 m 0 + + = . b . x x m.3 m.3 8 + = Bài 6: Tìm m để phơng trình có nghiệm: x x (m 4).9 2(m 2).3 m 1 0 + = Bài 7: Giải các bất phơng trình sau: a. 6 x x 2 9 3 + < b. 1 1 2x 1 3x 1 2 2 + c. 2 x x 1 5 25 < < d. 2 x (x x 1) 1 + < e. x 1 2 x 1 (x 2x 3) 1 + + + < f. 2 3 2 x 2x 2 (x 1) x 1 + > Bài 8: Giải các bất phơng trình sau: a. x x 3 9.3 10 0 + < b. x x x 5.4 2.25 7.10 0+ c. x 1 x 1 1 3 1 1 3 + d. 2 x x 1 x 5 5 5 5 + + < + e. x x x 25.2 10 5 25 + > f. x x 2 x 9 3 3 9 + > Bài 9: Giải bất phơng trình sau: 1 x x x 2 1 2 0 2 1 + Bài 10: Cho bất phơng trình: x 1 x 4 m.(2 1) 0 + > a. Giải bất phơng trình khi m= 16 9 . b. Định m để bất phơng trình thỏa x R . Bài 11: a. Giải bất phơng trình: 2 1 2 x x 1 1 9. 12 3 3 + + > ữ ữ (*) b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phơng trình: ( ) 2 2x m 2 x 2 3m 0+ + + < Bài 12: Giải các phơng trình: a. ( ) ( ) 5 5 5 log x log x 6 log x 2= + + b. 5 25 0,2 log x log x log 3+ = c. ( ) 2 x log 2x 5x 4 2 + = d. 2 x 3 lg(x 2x 3) lg 0 x 1 + + + = e. 1 .lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18 2 + + = + Bài 13: Giải các phơng trình sau: a. 1 2 1 4 lgx 2 lgx + = + b. 2 2 log x 10log x 6 0+ + = c. 0,04 0,2 log x 1 log x 3 1+ + + = d. x 16 2 3log 16 4log x 2log x = e. 2 2x x log 16 log 64 3+ = f. 3 lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ = Bài 14: Giải các phơng trình sau: a. x 3 9 1 log log x 9 2x 2 + + = ữ b. ( ) ( ) x x 2 2 log 4.3 6 log 9 6 1 = c. ( ) ( ) x 1 x 2 2 1 2 1 log 4 4 .log 4 1 log 8 + + + = [...]... log 4y ( 2x 2 ) > 0 Bài 22: Giải và biệ luận các bất phơng trình( 0 < a 1 ): a x loga x +1 > a 2 x 1 + log2 x a >1 b 1 + log a x 1 2 + 0 2 Bài 23: Cho bất phơng trình: ( ) ( ) log a x 2 x 2 > loga x 2 + 2x + 3 thỏa mãn với: x = Bài 24: Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm: lg2 x m lg x + m + 3 0 x > 1 Bài 25: Cho bất phơng trình: x 2 ( m... + 3 Bài 16: Giải và biện luận các phơng trình: 2 a lg mx + ( 2m 3 ) x + m 3 = lg ( 2 x ) ( b ) log3 a + log x a = log x a 3 c logsin x 2.logsin2 x a = 1 a2 4 d log =1 2a x Bài 17 : Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất: 2 a log3 x + 4ax + log 1 ( 2x 2a 1) = 0 a.log 2 a x ( ) 3 lg ( ax ) =2 lg ( x + 1) Bài 18: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt 2 2 log3 x log3 x + a = 0 Bài 19:... bất phơng trình có nghiệm: lg2 x m lg x + m + 3 0 x > 1 Bài 25: Cho bất phơng trình: x 2 ( m + 3 ) x + 3m < ( x m ) log 1 x 2 a Giải bất phơng trình khi m = 2 b Giải và biện luận bất phơng trình 9 Giải bất phơng trình 4 Bài 26: Giải và biện luận bất phơng trình: log a 1 8a x 2 ( 1 x ) ( ) ... = x lg2 + lg3 g 5lg x = 50 x lg5 2 2 h x 1 lg x lg x = x 1 3 2 i 3log3 x + x log3 x = 162 Bài 15: Giải các phơng trình: 2 a x + lg x x 6 = 4 + lg ( x + 2 ) ( ) b log3 ( x + 1) + log5 ( 2x + 1) = 2 c ( x + 2 ) log32 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log 3 ( x + 1) 16 = 0 d 2 log5 ( x +3) = x Bài 15: Giải các hệ phơng trình: lg x + lg y = 1 log3 x + log3 y = 1 + log3 2 a 2 b 2 x + y = 5 x + y = 29 lg x 2... 1 log 2 x 6 2 log3 x 4 log3 x + 9 2 log 3 x 3 v ( log 2 x + 4 log2 x < 2 4 log16 x 4 1 2 ) Bài 20: Giải bất phơng trình: 2 a 6 log6 x + x log6 x 12 3 1 b x 2log2 2x log2 x > x x x +1 c log 2 2 1 log 1 2 2 > 2 ( d ) ( 2 ( ) ) ( 2 log5 x 2 4x 11 log11 x 2 4x 11 2 5x 3x 2 Bài 21: Giải hệ bất phơng trình: x2 + 4 >0 a x 2 16x + 64 lg x + 7 > lg(x 5) 2 lg2 ( ) ( ) 3 0 ) ( x 1) lg2 +... có nghiệm duy nhất: 2 a log3 x + 4ax + log 1 ( 2x 2a 1) = 0 a.log 2 a x ( ) 3 lg ( ax ) =2 lg ( x + 1) Bài 18: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt 2 2 log3 x log3 x + a = 0 Bài 19: Giải bất phơng trình: b ( ) 2 a log8 x 4x + 3 1 b log3 x log3 x 3 < 0 ( ) 2 c log 1 log 4 x 5 > 0 3 ( ) 2 d log 1 x 6x + 8 + 2 log5 ( x 4 ) < 0 5 e log 1 x + 3 5 log x 3 2 ( ) x f log x log9 3 9 . xft a = . 3. Với bất phơng trình mũ và logarit cũng có phép đặt tơng ứng, lu ý khi gặp phơng trình hay bất phơng trình logarit mà cha phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện. II. Các bài tập áp dụng: 155. 0455 1 =+− −. Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit Dạng cơ bản: I. Kiến thức cần nhớ: 1. Dạng ( ) 0,1 )()( >= baba xgxf a. Nếu a=b thì f(x)=g(x). b. Nếu ab thì logarit hoá cơ số a hoặc. Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0. b. Nếu ab và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh. c. Nếu ab và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế. II. Các bài tập áp dụng: 99. 125.3.2 21 = xxx 100. xx 3322 loglogloglog