PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI Năm học 2009-2010 Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (3,0 điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3. Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 45. b, Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n 5 và n có chữ số tận cùng bằng nhau Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a 2 + b 2 = x 2 + y 2 . Chứng minh rằng: a 2010 + b 2010 = x 2010 + y 2010 Câu 3: (2,0 điểm) a, Giải phương trình: 4 3 2 4 0x x x + + − = b, Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 0 x xy y z yz  − + =  + + =  Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ góc xOy = 45 0 sao cho Ox cắt BC tại G (G nằm giữa B, C) Oy cắt DC tại H (H nằm giữa D, C). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng: a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB. b, GM // AH. Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A bằng 2 lần góc B và bằng 4 lần góc C. Chứng minh rằng: 1 1 1 AB BC AC = + . Hết B M A PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU HƯỚNG DẪN CHẤM Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010 Môn: Toán Lớp 8 Câu Nội dung Điểm 1 a) Gọi số cần tìm là ab ta có 45 (10 ) (10 ) 45 5ab ba a b b a a b− = ⇒ + − + = ⇒ − = (*) mà 3 3 3;6;9;12;15;18ab a b a b ⇒ + ⇒ + = M M (**) Từ (*) và (**) suy ra a + b = 9; 15 Với 5 7 9 2 a b a a b b − = =   ⇒   + = =   Với 5 10 vô lý 15 a b a a b − =  ⇒ =  + =  Vậy số phải tìm là 72 b) Xét n 5 – n = n(n 4 – 1) = n(n 2 + 1)(n – 1)(n + 1) = n(n 2 – 4 + 5)(n – 1)(n + 1) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1) Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) M 10, 5n(n – 1)(n + 1) M 10 Suy ra điều phải chứng minh 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 Từ a + b = x + y (*) ⇒ a – x = y – b Mặt khác a 2 + b 2 = x 2 + y 2 ⇒ a 2 – x 2 = y 2 – b 2 ⇒ (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b) ⇒ (a + x)(a – x) = (y + b)(a – x) ⇒ 0(**) (***) a x a x b y − =   + = +  Với 2010 2010 2010 2010 a b x y b y a b x y a x + = +  ⇒ = ⇒ + = +  =  (1) Với 2010 2010 2010 2010 a b x y a y b x a b x y a x b y + = +  ⇒ = ⇒ = ⇒ + = +  + = +  (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 0,5 0,5 0,5 0,5 3 a, x 4 + x 3 + 2x -4 =0 ⇔ (x - 1)(x + 2)(x 2 + 2) = 0 => x=1 hoặc x = -2 b, 2 2 2 3 1 0 x xy y z yz  − + =  + + =  ⇔ 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( 4) (1) 4 1 ( ) (4 ) (2) 2 4 x y y y z y  − =− −     + =− −   2 4 0 2 4 0 2 2 4 0 y y y y  − ≤  ⇔ ⇒ − = ⇔ =±   − ≤  +) Với 2 1, 1y x z = ⇒ = = − +) Với 2 1, 1y x z = − ⇒ = − = 1 1 O G D 1 4 a, ∠ HOD + ∠ O 1 =135 0 ∠ OGB + ∠ O 1 =135 0 nên ∠ HOD = ∠ OGB ->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g) b, từ câu a, suy ra : HD DO OB BG = đặt BM = a Thì AD = 2a , OB = OD = 2a Ta có HD.BG = OB.OD = 2a . 2a =2a.a =AD.BM => BG BM AD HD = => ΔAHD đồng dạng với ΔGMB(c.g.c) => ∠ AHD = ∠ GMB do đó ∠ HAB = ∠ GMB => MG // AH 1 1 5 Gọi D là giao điểm của AB với đường trung trực của đoạn BC. Khi đó ta có: ΔBCD cân tại D, ΔACD cân tại C AB AB DB DC CA CA DB ⇒ = = ⇒ = (1) Do CA là phân giác AB AD AB AD BC DC BC DB ⇒ = ⇒ = (Vì DC =DB) (2) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 1 1 1 1 AB AB AB AD AC BC DB DB AC BC AB + = + = ⇔ + = 1 H C D CB A 2 3 4 . Năm học 2009-2010 Môn: Toán Lớp 8 Câu Nội dung Điểm 1 a) Gọi số cần tìm là ab ta có 45 (10 ) (10 ) 45 5ab ba a b b a a b− = ⇒ + − + = ⇒ − = (*) mà 3 3 3;6;9;12;15;18ab a b a b ⇒ + ⇒ + = M. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI Năm học 2009-2010 Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (3,0 điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết