PHẦN ĐẠI SỐ 9 A/. HỆ PHƯƠNG TRÌNH : I/. Kiến thức cơ bản : * Với hệ phương trình : 1 2 ( ) ' ' '( ) ax by c D a x b y c D + =   + =  ta có số nghiệm là : Số nghiệm Vị trí 2 đồ thị ĐK của hệ số Nghiệm duy nhất D 1 cắt D 2 ' ' a b a b ≠ Vô nghiệm D 1 // D 2 ' ' ' a b c a b c = ≠ Vô số nghiệm D 1 ≡ D 2 ' ' ' a b c a b c = = II/. Các dạng bài tập cơ bản : Dạng 1 : Giải hệ phương trình (PP cộng hoặc thế ) 1). 2 3 6(1) 4 6 12(3) 2 3(2) 3 6 9(4) x y x y x y x y + = + =   ⇔   − = − =   Cộng từng vế của (3) và (4) ta được : 7x = 21 => x = 3 Thay x = 3 vào (1) => 6 + 3y = 6 => y = 0 Vậy ( x = 3; y = 0) là nghiệm của hệ PT 2). 7 2 1(1) 3 6(2) x y x y − =   + =  Từ (2) => y = 6 – 3x (3) Thế y = 6 – 3x vào phương trình (1) ta được : 7x – 2.(6 – 3x) = 1 => 13x = 13 => x = 1 Thay x = 1 vào (3) => y = 6 – 3 = 3 Vậy ( x = 1; y = 3) là nghiệm của hệ phương trình. Dạng 2 : Tìm tham số để hệ PT thoả đk của đề bài 1). Cho hệ phương trình: 5 4 10 x my mx y + =   + = −  Với giá trị nào của m thì hệ phương trình : - Vô nghiệm - Vô số nghiệm . Giải : ♣ Với m = 0 hệ (*) có 1 nghiệm là (x =5; y= 5 2 − ) ♣ Với m 0≠ khi đó ta có : - Để hệ phương trình (*) vô nghiệm thì : 1 5 4 10 m m = ≠ − <=> 2 2 4 2 2 10 20 m m m m m = ±  =  ⇔ ⇔ =   ≠ − − ≠   (thoả) Vậy m = 2 thì hệ phương trình trên vô nghiệm - Để hệ phương trình (*) có vô số nghiệm thì : 1 5 4 10 m m = = − <=> 2 2 4 2 2 10 20 m m m m m = ±  =  ⇔ ⇔ = −   = − − =   (thoả) Vậy m = - 2 thì hệ phương trình trên có vô số nghiệm 2) Xác định hệ số a; b để hệ phương trình : 2 4 5 x by bx ay + = −   − = −  (I) có nghiệm (x = 1; y = -2) Giải : Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta được : 2 2 4 2 6 3 2 5 2 5 2 3 5 b b b b a a b a − = − − = − =    ⇔ ⇔    + = − + = − + = −    3 4 b a =  ⇔  = −  Vậy a = -4 ; b = 3 thì hệ có nghiệm (1;-2) III/. Bài tập tự giải : 1). Giải các hệ phương trình : a). 7 4 10 3 7 x y x y − =   + =  b). 10 9 3 5 6 9 x y x y − =   + =  c). 1 1 1 4 10 1 1 x y x y  + =     + =   2). Cho hệ PT : 1 2 x y mx y m + =   + =  a). Với m = 3 giải hệ PT trên. b). Tìm m để hệ PT có một nghiệm duy nhất, có VSN B/. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : I/. Kiến thức cơ bản : 1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu gọn Với phương trình : ax 2 + bx + c = 0 ( 0a ≠ ) ta có : 2). 2 2 1 2 1 1 x x x − = − + (*) - TXĐ : 1x ≠ ± * Phương pháp cộng : - Biến đổi hệ pt về dạng có hệ số của 1 ẩn bằng nhau hoặc đối nhau . - Cộng (trừ) từng vế của 2 pt => PT bậc I một ẩn - Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại. * Phương pháp thế : - Từ 1 PT của hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo x). - Thay x (hoặc y) vào PT còn lại => PT bậc nhất 1 ẩn số . - Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại. Công thức nghiệm Công thức nghiện thu gọn (b chẳn; b’= 2 b ) 2 4b ac∆ = − - 0∆ < : PTVN - 0 ∆ = : PT có n 0 kép 1 2 2 b x x a − = = - 0∆ > : PT có 2 n 0 1 2 ; 2 b x x a − ± ∆ = 2 ' 'b ac∆ = − - ' 0∆ < : PTvô nghiệm - ' 0∆ = : PT có n 0 kép 1 2 'b x x a − = = - ' 0∆ > : PT có 2 n 0 1 2 ' ' ; b x x a − ± ∆ = * Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt ☺Nếu a + b + c = 0 => PT có hai nghiệm là : 1 2 1; c x x a = = ☺Nếu a – b + c = 0 => PT có hai nghiệm là : 1 2 1; c x x a − = − = 2). Hệ thức Viét : * Nếu x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( 0a ≠ ) thì tổng và tích của hai nghiệm là : 1 2 1 2 ; . b c x x x x a a − + = = II/. Các dạng bài tập cơ bản : ♣ Dạng 1 : Giải phương trình 1). 4x 2 – 11x + 7 = 0 (a = 4; b = – 11; c = 7) * Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm 2 2 4 ( 11) 4.4.7 9 0 3b ac∆ = − = − − = > ⇒ ∆ = Vì 0∆ > nên phương trình có 2 nghiệm là : 1 11 3 7 2 8 4 b x a − + ∆ + = = = ; 2 11 3 1 2 8 b x a − − ∆ − = = = * Cách 2 : Trường hợp đặc biệt Vì a + b + c = 4 + (-11) + 7 = 0 Nên phương trình có 2 nghiệm là : 1 2 7 1; 4 c x x a = = = (*) 2 2 1.( 1) 2.( 1).( 1) 1 ( 1).( 1) 1.( 1).( 1) x x x x x x x x x − + − ⇔ − = − + − + − 2 2 2 1 2 2 2 3 0 x x x x x ⇔ − + = − ⇔ − − = Vì a – b + c = 2 – (– 1) – 3 = 0 Nên phương trình có 2 nghiệm là : 1 2 3 1; 2 c x x a − = − = = 3). 3x 4 – 5x 2 – 2 = 0 (**) Đặt X = x 2 ( X ≥ 0) (**) 2 3 5 2 0X X⇔ − − = ⇔ X 1 = 2 (nhận) và X 2 = 1 3 − (loại) Với X = 2 => x 2 = 2 <=> x = 2± ♣ Dạng 2 : Phương trình có chứa tham số VD : Cho PT : x 2 – 4x + 2m – 1 = 0 Tìm m để phương trình : - Vô nghiệm - Có nghiệm kép - Có 2 nghiệm phân biệt Giải : Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – 1 ⇒ 2 ' ( 2) 1.(2 1) 3 2m m∆ = − − + = − * Để phương trình trên vô nghiệm thì 0∆ < 3 3 2 0 2 3 2 m m m⇒ − < ⇔ − < − ⇔ > * Để phương trình trên có nghiệm kép thì 0 ∆ = 3 3 2 0 2 3 2 m m m⇒ − = ⇔ − = − ⇔ = * Để PT trên có 2 nghiệm phân biệt thì 0∆ > 3 3 2 0 2 3 2 m m m⇒ − > ⇔ − > − ⇔ < (Lưu ý : Để PT có nghiệm thì 0 ∆ ≥ ) VD : Cho PT (m – 1)x 2 – 2m 2 x – 3(1 + m) = 0 a). Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm x = - 1 ? b). Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của PT. b). Khi 1 2 10x x− = 2 1 2 ( ) 100x x⇔ − = 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 4 100 2 4( 4) 100 4 4 16 100 20 2 5 x x x x m m m m ⇔ + − = ⇔ − − − = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ± Vậy khi m = 2 5± thì PT có 2 nghiệm 1 2 10x x− = ☺ Loại 1 : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước - Tính ∆ theo tham số m - Biện luận ∆ theo ĐK của đề bài ; - Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu có) - Biến đổi về dạng PT bậc 2 một ẩn số. - Giải PT bằng công thức nghiệm - Nhận nghiệm và trả lời ☺Loại 2 : Tìm tham số m để phương trình có nghiệm x = a cho trước : - Thay x = a vào PT đã cho => PT ẩn m - Giải PT ẩn m vừa tìm được Giải : a). Vì x = -1 là nghiệm của phương trình, khi đó : 2 2 2 2 1 2 ( 1).( 1) 2 .( 1) 3.(1 ) 0 1 2 3 3 0 2 0 1; 2 m m m m m m m m m m ⇒ − − − − − + = ⇔ − + − − = ⇔ − − = ⇔ = − = Vậy m 1 = - 1; m 2 = 2 thì phương trình có nghiệm x = -1 b). Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình Vì PT có nghiệm x 1 = - 1 => x 2 = 3(1 ) 1 c m a m − + = − + Với m = 2 => x 2 = 9 + Với m = -1 => x 2 = 0 Vậy : Khi m = 2 thì nghiệm còn lại của PT là x 2 = 9 Và khi m = -1 thì nghiệm còn lại của PT là x 2 = 0 VD : Cho PT : x 2 – 2x – m 2 – 4 = 0 Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả : a). 2 2 1 2 20x x+ = b). 1 2 10x x− = Giải : Vì a.c < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m. Theo hệ thức Viét ta có : 1 2 2 1 2 2 . 4 S x x P x x m = + = = = − − a). Khi 2 2 1 2 20x x+ = 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 20 2 2( 4) 20 4 2 x x x x m m m ⇔ + − = ⇔ − − − = ⇔ = ⇔ = ± Vậy m = 2± thì PT có 2 nghiệm thoả 2 2 1 2 20x x+ = III/. Bài tập tự giải : Dạng 1 : Giải các phương trình sau : 1). 2 10 21 0x x− + = 2). 2 3 19 22 0x x− − = 3). 2 (2 3) 11 19x x− = − 4). 8 1 1 3 x x x x + = + − 5). 5 7 2 21 26 2 2 3 x x x x + + − = − + 6). 4 2 13 36 0x x− + = 7). 2 1 1 4,5 5 0x x x x     + − + + =  ÷  ÷     Dạng 2 : Tìm tham số m thoả ĐK đề bài 1). Cho phương trình : mx 2 + 2x + 1 = 0 a). Với m = -3 giải phương trình trên. b). Tìm m để phương trình trên có : - Nghiệm kép - Vô nghiệm - Hai nghiệm phân biệt 2). Cho phương trình : 2x 2 – (m + 4)x + m = 0 a). Tìm m để phương trình có nghiệm là 3. b). Khi đó tìm nghiệm còn lại của phương trình. 3). Cho phương trình : x 2 + 3x + m = 0 a). Với m = -4 giải phương trình trên b). Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả điều kiện 2 2 1 2 34x x+ = C/. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ : I/. Kiến thức cơ bản : 1). Điểm A(x A ; y A ) & đồ thị (C) của hàm số y = (x): - Nếu f(x A ) = y A thì điểm A thuộc đồ thị (C) - Nếu f(x A ) ≠ y A thì điểm A không thuộc đồ thị (C) 2). Sự tương giao của hai đồ thị : Với (C) & (L) theo thứ tự là đồ thị của hai hàm số : y = f(x) và y = g(x) . Khi đó ta có : * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & Dạng 2 : Xác định hàm số VD 1 : Cho hàm số : y = ax 2 . Xác định hàm số trên biết đồ thị (C) của nó qua điểm A( -1;2) Giải Thay toạ độ của A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm số Ta được : 2 = a.( -1) => a = - 2 Vậy y = -2x 2 là hàm số cần tìm. VD 2 : Cho Parabol (P) : y = 1 2 x 2 a). Vẽ đồ thị hàm số trên. ☺Loại 3 : Tìm tham số m để phương trình có 2 n 0 thoả ĐK cho trước là 1 2 n m x x α β δ + = …. : - Tìm ĐK của m để PT có 2 nghiệm - Sử dụng Viét để tính S và P của 2 n 0 theo m. - Biến đổi biểu thức 1 2 n m x x α β δ + = về dạng S; P => PT hoặc hệ PT ẩn là tham số m * Ghi nhớ : Một số hệ thức về x 1 ; x 2 thường gặp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 * 2 * 4 * * 3 ( ) 1 1 * x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + − − = + − − = + − + = + − + + + = (L) : f(x) = g(x) (1) - Nu (1) vụ nghim => (C) & (L) k./cú im chung - Nu (1) cú n 0 kộp => (C) & (L) tip xỳc nhau - Nu (1) cú 1n 0 hoc 2 n 0 => (C) & (L) cú 1 hoc 2 im chung. II/. Cỏc dng bi tp c bn : Dng 1 : V th VD : Cho 2 hm s y = - x + 1 v y = 2x 2 . a). Hóy V th 2 h/s lờn cựng mt phng Oxy. b). Da vo th tỡm honh giao im v kim tra li bng PP i s. Gii : - Xỏc nh to cỏc im thuc th : x 0 1 y = - x + 1 1 0 x -1 -ẵ 0 ẵ 1 y = 2x 2 2 ẵ 0 ẵ 2 - V th : b). Hai th trờn cú honh giao im l x 1 = -1 v x 2 = ẵ Tht vy : Ta cú PT honh giao im ca 2 h/s l: 2 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1; 2 x x x x x x = + + = = = b). Tỡm m ng thng (D) : y = 2x + m tip xỳc vi (P) Gii : a). - Xỏc nh to cỏc im thuc th : x -2 -1 0 1 2 y = ẵx 2 2 ẵ 0 ẵ 2 - V th : b). Tacú PT honh giao im ca (P) & (D) l : 2 2 1 2 4 2 0 2 x x m x x m= + = (1) (P) v (D) tip xỳc nhau khi (1) cú nghim kộp 2 ' ( 2) 1.( 2 ) 0 4 2 0 2 m m m = = + = = Vy m = -2 thỡ th (P) v (D) tip xỳc nhau. III/. Bi tp t gii : 1). Cho hai hm s : - (D) : y = 4x + 3 - (P) : y = x 2 a). V th (D) v (P) lờn cựng mp to b). Da vo th xỏc nh to giao im ca (D) v (P), kim tra li bng phng phỏp i s. 2). Cho hm s (P) : y = ax 2 ( 0a ) a). Xỏc nh hm s (P). Bit rng th ca nú qua im A(2; - 2). b). Lp phng trỡnh ng thng (D). Bit rng th ca nú song song vi ng thng y = 2x v tip xỳc vi (P). Giải toán bằng cách lập ph ơng trình Dạng toán chuyển động - th ca h/s y = ax + b cú dng ng thng, nờn khi v ta cn tỡm 2 im thuc th - th ca h/s y = ax 2 cú dng ng cong parabol i xng nhau qua Oy, nờn khi v ta cõn tỡm khong 5 im thuc th. y = 2x 2 x y = 2 1 2 x x Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h. Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi. Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 km/h , xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi đợc 4 3 quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút. Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút. Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 km/h. Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km ? Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 km . Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 km/h . Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi . Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB. Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc . Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô. Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 km/h. Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h. Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng . Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô. Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu. Dạng Toán Năng suất Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nh- ng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau. Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành đợc 3 2 mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai lµm nèt c«ng viƯc cßn l¹i trong 10 giê . Hái tỉ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viƯc. Bµi 114: Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø hai lµm 6 giê th× hä lµm ®ỵc 25% c«ngviƯc . Hái mçi ngêi lµm c«ng viƯc ®ã trong mÊy giê th× xong . D¹ng To¸n ThĨ tÝch Bµi 115: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ kh«ng chøa níc ®· lµm ®Çy bĨ trong 5 giê 50 phót . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bĨ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bĨ mÊt 1 giê 48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bĨ trong bao l©u ? Bµi 117: Mét m¸y b¬m mn b¬m ®Çy níc vµo mét bĨ chøa trong mét thêi gian quy ®Þnh th× mçi giê ph¶i b¬m ®ỵc 10 m 3 . Sau khi b¬m ®ỵc 3 1 thĨ tÝch bĨ chøa , m¸y b¬m ho¹t ®éng víi c«ng st lín h¬n , mçi giê b¬m ®ỵc 15 m 3 . Do vËy so víi quy ®Þnh , bĨ chøa ®ỵc b¬m ®Çy tríc 48 phót. TÝnh thĨ tÝch bĨ chøa. Bµi 118: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ chøa kh«ng cã níc th× sau 1 giê 30 phót sÏ ®Çy bĨ . NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp trong 20 phót th× sÏ ®ỵc 5 1 bĨ . Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bĨ ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bĨ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bĨ trong bao l©u ? PHẦN HÌNH HỌC 9 A/. KIẾN THỨC : I). HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG : 1. Hoàn thành các hệ thức lượng trong tam giác vuông sau : 1). AB 2 = BH.BC ; AC 2 = HC.BC 2). AH 2 = BH.HC 3). AB. AC = BC.AH 4). 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + 2. Hoàn thành các đònh nghóa tỉ số lương giác của góc nhọn sau : 1. sin α = D H 2. cos α = K H 3. tg α = D K 4. cot g α = K D 3. Một số tính chất của tỉ số lượng giác : * Nếu α và β là hai góc phụ nhau : 1. sin α = cos β 2. cos α = sin β 3. tg α = cotg β 4. cot g α = tg β 4. Các hệ thức về cạnh và góc * .sin .cosb a B a C= = . .cotb c tgB c gC= = * c = a.SinC = a. CosB c = b . tgC = b. cotgB II). ĐƯỜNG TRÒN : 1). Quan hệ đường kính và dây : 2). Quan hệ giữa dây và k/cách từ tâm đến dây : 3). Tiếp tuyến : 4). Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 5. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d & R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau (OH = d) 2 d < R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau (OH = d) 1 d = R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R AB ⊥ CD tại I IC ID ⇔ = ( CD < AB = 2R ) - AB = CD  OH = OK - AB > CD  OH < OK a là ttuyến  a ⊥ OA tại A MA; MB là T.tuyến => ¶ ¶ µ ¶ 1 2 1 2 MA MB M M O O =   =   =  Cạnh kề Cạnh đối α Huyền (OH = d) 6.Vò trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa OO’ với R & r 1). Hai đường tròn cắt nhau : 2 R – r < OO’ < R + r 2). Hai đường tròn tiếp xúc nhau : 1 OO’ = R + r OO’ = R – r > 0 3). Hai đường tròn không giao nhau : Ngoài nhau Đựng nhau Đồng tâm 0 OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = 0 III/. GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN : 1. Góc ở tâm : 2. Góc nội tiếp 3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 4. Góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn : 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn : 6. Một số tính chất về góc với đường tròn : OO’ là trung trực của AB Ba điểm O; A; O’ thẳng hàng · » AOB sd AB= · » 1 2 AMB sd AB= · » 1 2 BAx sd AB= · » » 1 ( ) 2 BMD sd BD sd AC= − ABCD nội tiếp <=> µ µ µ µ 0 0 180 180 A C B D + = + = 7. Tứ giác nội tiếp : * ĐN : * Tính chất : 8. Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp : 9. Một số hệ thức thường gặp : (do ∆ ABI ∆ DCI) (do ∆ MAD ∆ MCB) 10. Một số hệ thức thường gặp : (do ∆ MBA ∆ MAC) 11. Độ dài đường tròn & cung tròn : * Chu vi đường tròn : * Độ dài cung AB có số đo n 0 : 12. Diện tích hình tròn & hình quạt tròn : * Diện tích hình tròn : * Diện tích hình quạt cung AB có số đo n 0 là : B/. BÀI TẬP : Bài 1 : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính AOB, COD vuông góc nhau . Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B và D ), dây CM cắt AB tại Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC , điểm A thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng phía với A đối ABCD là tứ giác nội tiếp ; ; ; ( )A B C D O⇔ ∈ hoặc µ µ 0 180A C+ = => ABCD nội tiếp · · 0 0 90 ; 90ADB ACB= = => A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB => ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB · µ · · · µ 0 0 ; 180 180 xAD C xAD DAB DAB C = + = ⇒ + = => ABCD nội tiếp IA.IC = IB.ID MA.MB = MD.MC MA 2 = MB.MC AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = 8R 2 · » » ( ) 1 2 AID sd AD sd BC= + » 0 . . 180 AB R n l π = 2 .C R d R= Π = 2 .S R π = S quạt = 2 0 0 . . . 360 2 R n l R π = [...]... biểu điểm phù hợp Chẳng hạn: Xét AQB: ANQB (ãANB = 90 o ) BPAQ (ãAPB = 90 o ) Mà AN BP ={E} E là trực tâm AQB (t/c ba đờng cao trong ) QE là đờng cao thứ ba của AQB QE AB Mà AC AB (AC là tiếp tuyến của (O)) QE //AC (Từ vuông góc đến song song) ACQE là hình thang (định nghĩa hình thang) d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông (0,5điểm) ãAND = 90 o DN//AB Kẻ NHAB Tứ giác ADNH là HCN DN = AH (1)... sao? (1,5 điểm) d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông (0,5điểm) C Q D N P E A O H B a)Chứng minh tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp (3điểm) Xét (O): ãAPB = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) ãQPE = 90 o (kề bù với ãAPB = 90 o ) CMTT: ãQNE = 90 o ãQPE + ãQNE = 180 o Xét tứ giác PENQ: ãQPE + ãQNE = 180 o (cmt) Mà P và N là hai đỉnh đối nhau Tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nt) b)... ct CD ti F a) CMR : T giỏc ONMD ni tip b) CM : MK2 = KA.KB ã ã c) So sỏnh : DNM & DMF Bi 2 : Cho hỡnh vuụng ABCD, im E thuc BC Qua B k ng thng vuụng gúc vi DE, ct DE ti H v ct DC ti K a) CMR : T giỏc BHCD ni tip b) Tớnh gúc CHK c) CM : KH.KB = KC.KD vi BC cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l HB; HC chỳng ct AB, AC theo th t D, E a) T giỏc ADHE l hỡnh gỡ ? b) CMR : T giỏc BDEC ni tip c) Tớnh din tớch... bit HB = 10cm; HC = 40cm Bi 4 : Cho ABC cõn ti A cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ti B v C ca ng trũn ln lt ct tia AC v tia AB D v E Chng minh : a) BD2 = AD.CD b) T giỏc BCDE ni tip c) BC // DE Cho (O;R) đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) Lấy N bất kỳ thuộc (O) BN cắt Ax tại C Gọi P là điểm chính giữa cung AN nhỏ BP cắt AN và AC lần lợt tại E và D AP cắt BC tại Q a)Chứng minh... v B ( E nm gia B v H) 1 Chng minh gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc EAH 2 Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti K Chng minh AHEK l t giỏc ni tip 3 Xỏc nh v trớ im H AB= R Bi 5: (0,5 im) Cho ng thng y = (m-1)x+2 Tỡm m khong cỏch t gc ta n ng thng ú l ln nht Gi ý mt phng ỏn bi gii Bi 1: P= 1 Kt qu rỳt gn vi iu kin xỏc nh ca 2 Yờu cu biu thc P l i chiu... BE, OM=AH Ta AE cú u cnh R Vy AH= OM= Bi 5: ng thng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2i qua im c nh A(0;2) Do OA=2 Khong cỏch ln nht t gc ta n ng thng d l OA=2, xy ra khi d vuụng gúc vi OA hay h s gúc ng thng d l 0 tc l m-1 2 Cõu 1: (1, 5 im) Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau: a) x2 2 x+4=0 b) x4 29x2 + 100 = 0 c) Cõu 2: (1, 5 im) Thu gn cỏc biu thc sau: a) b) Cõu 3: (1 im) Mt khu vn hỡnh ch nht cú din... hình thang) d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông (0,5điểm) ãAND = 90 o DN//AB Kẻ NHAB Tứ giác ADNH là HCN DN = AH (1) CM đợc DNB cân tại NDN= NB (2) Từ (1) và (2): NB=AH.Đặt NB = x Xét ANB: à = 90 o ; NHABNB2 = BH.BA (Hệ thức lợng tgiác vuông) N x 2 = ( 2R x ) 2R x 2 + 2Rx 4R 2 = 0 x = R + R 5 x = R R 5 (loai ) x = R + R 5 = R ( ) 5 1 Vậy N=(O;R)(B; R PHN BA : THAM KHO (PHN BI TP)... Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm v HC > HE Tớnh HC Gi ý mt phng ỏn bi gii Cõu 1: a) Ta cú = 1 nờn phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit l x1 = 5 1 v x2 = 5 + 1 b) t t = x2 0, ta c phng trỡnh tr thnh t2 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2 * t = 25 x2 = 25 x = 5 *t=4 x2 = 4 x = 2 Vy phng trỡnh ó cho cú 4 nghim l 2; 5 c) Cõu 2: a) b) Cõu 3: Gi chiu di l x (m) v chiu rng l y (m) (x > y > 0) Theo bi ta cú: Ta . làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong. rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút. Bài 93 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng. đó đã đi. Bài 92 : Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 km/h , xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi đợc 4 3 quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc