HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Trần Minh Hiền - GV trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Ngày 15 tháng 11 năm 2010 Mục lục Mục lục 1 1 Phương pháp cộng đại số 3 2 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức 9 3 Phương pháp đặt ẩn phụ 16 4 Hệ phương trình với những phương trình đặc biệt 22 5 Phương pháp thế 29 6 Phương pháp lượng giác 34 7 Hệ hoán vị vòng quanh 37 8 Phương pháp dùng đạo hàm 45 1 MỤC LỤC MỤC LỤC Chuyên đề này tôi trình bày một số phương pháp giải các bài toán hệ phương trình. Loại toán này ngày càng xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 và cả kỳ thi tuyển sinh đại học. Để giải tốt loại toán này yêu cầu học sinh phải thuần thục biến đổi đại số, phân tích dữ kiện bài toán để định hướng lời giải. Trong chuyên đề này chúng tôi không dành nhiều thời gian cho phân tích từng ví dụ, mà chỉ đưa ra các bài toán vận dụng cho từng phương pháp. Các em học sinh nên tập thói quen suy nghĩ và trả lời câu hỏi: Bài toán này có yếu tố nào để ta lựa chọn con đường giải? Các ví dụ tương đối đa dạng, bao gồm một lượng lớn các bài tập ở mức độ trung bình, và có cả những bài toán khó. Sau mỗi phương pháp hay đặc trưng của hệ đều có những bài tập luyện tập có hướng dẫn và đáp số. Các em hãy độ lập giải và đối chiếu với kết quả bài toán. Phần cuối chuyên đề là các bài tập tự luyện. Các em học sinh hãy thử vận dụng các kiến thức thu được để công phá các bài tập này. Vì đây là lần đầu tiên ra mắt chuyên đề, bản thân tác giả không thể tránh được các sai sót, mong nhận được sự góp ý của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Chúng tôi rất mong nhận được những phê bình, cũng như những lời giải hay, và những vấn đề mới liên quan đến nội dung chuyên đề này. GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1 Phương pháp cộng đại số Phương pháp này với mục tiêu là làm "trơn" hóa các biểu thức trong hệ. Ban đầu các hệ số của từng phương trình trong hệ chưa thể hiện được mối quan hệ logic với nhau, sau khi thêm, bớt, cộng, trừ, nhân, chia ta làm cho chúng "xích lại gần nhau hơn". Đó chính là chìa khóa của rất nhiều bài toán. Dưới đây chúng ta đề cập đến một số bài toán như vậy. Bài tập 1.1. Giải hệ phương trình xy + y 2 + x − 3y = 0 x 2 + xy −2y = 0 . Giải Trừ hai vế của hệ ta được (x − y)(x + y −1) = 0. Từ đây ta được x = y hoặc x + y − 1 = 0. Thay vào ta tìm được nghiệm của hệ là (x, y) = (0, 0), (2, 2), 2 3 , 1 3 . Bài tập 1.2. Giải hệ phương trình x 2 + y 2 + xy = 3 x 2 + 2xy = 7x + 5y −9 . Giải Cộng hai vế của phương trình ta được 2x 2 + y 2 + 3xy −7x − 5y + 6 = 0 ⇔ (y + 2x − 3)(y + x − 2) = 0. Từ đây ta được y + 2x − 3 = 0 hoặc y + x − 2 = 0. Thay vào, và giải hệ ta có nghiệm (x, y) = (1, 1), (2, −1). Bài tập 1.3. Giải hệ phương trình (x − y) (x 2 − y 2 ) = 7 (x + y) (x 2 + y 2 ) = 175 . Giải Rõ ràng bài toán này chỉ cần cộng đại số là có hướng giải. Thật vậy, cộng hai vế của phương trình ta được x 3 + y 3 = 91 (1) Thay kết quả (1) vào phương trình thứ hai của hệ ta được xy(x + y) = 84. (2) Từ hai phương trình (1) và (2) giải ra ta có nghiệm của hệ (x, y) = (4, 3), (3, 4). GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Bài tập 1.4. Giải hệ phương trình y 3 − x 3 = 1 x 5 − y 5 + xy = 0 . Giải Hình thức bài toán này làm ta nghĩ đến biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng đồng bậc. Ta có phương trình thứ hai của hệ tương đương với x 5 − y 5 + xy(y 3 − x 3 ) = 0 ⇔ (x − y) x 4 + y 4 = 0 ⇔ x = y. Thay dữ kiện này vào phương trình thứ nhất của hệ ta thấy hệ vô nghiệm. Bài tập 1.5. Giải hệ phương trình x 2 (y + z) 2 = (3x 2 + x + 1)y 2 z 2 y 2 (z + x) 2 = (4y 2 + y + 1)z 2 x 2 z 2 (x + y) 2 = (5z 2 + z + 1)x 2 y 2 Giải Bài toán này giải bằng hình thức chia từng phương trình của hệ với biểu thức thích hợp. Nhận xét: các tập sau (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) là nghiệm của hệ phương trình. Xét xyz = 0, ta biến đổi hệ về dạng 1 y + 1 z 2 = 3 + 1 x + 1 x 2 1 z + 1 x 2 = 4 + 1 y + 1 y 2 1 x + 1 y 2 = 5 + 1 z + 1 z 2 . Cộng ba phương trình trên ta được 1 x + 1 y + 1 z 2 − 1 x + 1 y + 1 z − 12 = 0. Từ đây ta tìm ra được nghiệm của hệ là (x; y; z) = 9 13 ; 9 12 ; 9 11 , − 5 6 ; − 5 5 ; − 5 4 . Bài toán dưới đây có hướng giải giống như bài toán trên Bài tập 1.6. Giải hệ phương trình 6x(y 2 + z 2 ) = 13yz 3y(z 2 + x 2 ) = 5zx 6z(x 2 + y 2 ) = 5xy . Hệ này có nghiệm (x; y; z) = 1; 1 2 ; 1 3 , 1; − 1 2 ; − 1 3 , −1; 1 2 ; − 1 3 , −1; − 1 2 ; 1 3 . GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Bài tập 1.7. Giải hệ phương trình x 4 − y 4 = 240 x 3 − 2y 3 = 3(x 2 − 4y 2 ) − 4(x − 8y) . Giải Nhân phương trình thứ hai với −8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được x 4 − 8x 3 + 24x 2 − 32x + 16 = y 4 − 16y 3 + 96y 2 − 256y + 256, hay (x − 2) 4 = (y −4) 4 . Từ đây ta được x − 2 = y − 4 hoặc x − 2 = 4 − y. Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là (x, y) = (−4, −2), (4, 2). Bài tập 1.8. Giải hệ phương trình x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y −17x . Giải Bài toán này cũng giống tương tự như bài toán trên. Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất của hệ, ta được (x + 1) (x − 1) 2 + 3(y −4) 2 = 0. Từ đây giải ra ta tìm được x = −1. Từ đây tính được y 2 = 16. Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (−1, −4), (−1, 4). Bài tập 1.9. Giải hệ phương trình 1 − 12 x + 3y √ x = 2 1 + 12 x + 3y √ y = 6 . Giải Điều kiện bài toán: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3y > 0. Hệ đã cho được viết lại như sau 1 − 12 x + 3y = 2 √ x 1 + 12 x + 3y = 6 √ y ⇔ 3 √ y + 1 √ x = 1 3 √ y − 1 √ x = 12 y + 3x . Nhân hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được 9 y − 1 x = 12 y + 3x ⇔ (3x − y)(9x + y) = 0 ⇔ y = 3x. Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là (x, y) = 4 + 2 √ 3, 12 + 6 √ 3 . GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Bài tập 1.10. Giải hệ phương trình xy + x + 1 = 7y x 2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 . Giải Dễ thấy y = 0 nên hệ đã cho tương đương với x + x y + 1 y = 7 x 2 + x y + 1 y 2 = 13 ⇔ x + 1 y + x y = 7 x + 1 y 2 − x y = 13 . Cộng hai vế của hệ ta được x + 1 y 2 + x + 1 y − 20 = 0. Từ đây giải ra x + 1 y = −5 hoặc x + 1 y = 4. Thay vào giải nghiệm của hệ là (x, y) = 1; 1 3 , (3, 1). Bài tập 1.11. Giải hệ phương trình √ 3x 1 + 1 x + y = 2 √ 7y 1 − 1 x+y = 4 √ 2 . Giải Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 = 0. Dễ thấy nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì x > 0, y > 0. Do đó ta viết lại hệ phương trình dưới dạng 1 + 1 x + y = 2 √ 3x 1 − 1 x + y = 4 √ 2 √ 7y Thực hiện phép trừ rồi phép cộng hai vế của phương trình ta được 1 x + y = 1 √ 3x − 2 √ 2 √ 7y 1 = 1 √ 3x + 2 √ 2 √ 7y . Nhân hai phương trình của hệ ta được 1 x + y = 1 3x − 8 7y ⇔ (y −6x)(7y + 4x) = 0 ⇒ y = 6x(vì x > 0, y > 0). Thay vào ta giải được nghiệm của hệ là (x, y) = 11 + 4 √ 7 21 , 22 + 8 √ 7 7 . GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Bài tập 1.12. Giải hệ phương trình x 2 (y −z) = 5 3 y 2 (z −x) = 3 z 2 (x − y) = 1 3 . Giải Nhân cả ba vế của phương trình ta được x 2 y 2 z 2 (y −z)(x − y)(z − x) = − 5 3 (3) Cộng ba vế của phương trình ta được x 2 (y −z) + y 2 (z −x) + z 2 (x − y) = 5 3 , hay (x − y)(y −z)(z − x) = − 5 3 . (4) Từ (3) và (4) ta được x 2 y 2 z 2 = 1. Xảy ra hai trường hợp 1. Trường hợp xyz = 1, nhân phương trình đầu với y, phương trình thứ hai với x, rồi cộng lại ta được xyz(y −x) = − 5 3 y + 3x ⇒ y −x = − 5 3 y + 3x ⇒ y = 3 2 x. Tương tự ta có z = −x. Thay vào ta có nghiệm (x, y, z) = − 3 2 3 , − 3 2 3 2 3 , 3 2 3 . 2. Trường hợp xyz = −1, tương tự ta có y = 3x, z = x 2 . Thay vào hệ ta được nghiệm (x, y, z) = − 3 2 3 , −3 3 2 3 , − 1 2 3 2 3 . Dưới đây là một số bài tập luyện tập. a) x 2 + y 2 − 3x + 4y = 1 3x 2 − 2y 2 − 9x − 8y = 3 (Hướng dẫn: nhân phương trình thứ nhất với 3, rồi trừ cho phương trình thứ hai) Nghiệm là (x; y) = 3 − √ 13 2 ; 0 = 3 − √ 13 2 ; −4 = 3 + √ 13 2 ; 0 = 3 + √ 13 2 ; −4 . b) √ x 2 + y 2 + √ 2xy = 8 √ 2 √ x + √ y = 4 (Hướng dẫn: nhân căn hai vào phương trình thứ nhất, rồi trừ cho phương trình thứ hai để có x = y). Nghiệm của hệ là (x, y) = (4, 4). GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ c) x + y + xy(2x + y) = 5xy x + y + xy(3x − y) = 4xy (Hướng dẫn: nhận xét x = y = 0 là nghiệm, xét xy = 0. Chia mỗi phương trình cho xy rồi trừ hai phương trình đó ta được x = 2y −1). Nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 1), −1 √ 51 10 , 9 − √ 51 20 , −1 + √ 51 10 , 9 + √ 51 20 . GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC 2 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức Trong phần này chúng ta vận dụng những bất đẳng thức cổ điển, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để so sánh hai vế của một phương trình của hệ, từ đó tìm được điều kiện cần để hệ có nghiệm. Bài tập 2.1. Giải hệ phương trình x + 2xy 3 √ x 2 − 2x + 9 = x 2 + y y + 2xy 3 √ y 2 − 2y + 9 = y 2 + x . Giải Cộng hai vế của phương trình lại ta được 2xy 3 √ x 2 − 2x + 9 + 2xy 3 √ y 2 − 2y + 9 = x 2 + y 2 . (5) Ta có 3 √ x 2 − 2x + 9 = 3 (x − 1) 2 + 8 ≥ 2, nên 2xy 3 √ x 2 − 2x + 9 ≤ 2|xy| 3 √ x 2 − 2x + 9 ≤ 2|xy| 2 = |xy|. Tương tự 2xy 3 √ y 2 − 2y + 9 e|xy|, mà theo bất đẳng thức Cauchy thì x 2 + y 2 ≥ 2|xy| nên vế trái của (5) ≤ vế phải của (5). Vậy dấu bằng xảy ra khi x = y = 1 hoặc x = y = 0. Thử lại thấy hai giá trị này là nghiệm của hệ. Bài tập 2.2. Giải hệ phương trình y = −x 3 + 3x + 4 x = 2y 3 − 6y −2 . Giải Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng y −2 = −(x 3 − 3x − 2) x − 2 = 2(y 3 − 3y −2) ⇔ y −2 = −(x + 1) 2 (x − 2) x − 2 = 2(y + 1) 2 (y −2) . Nếu x > 2 thì từ phương trình đầu tiên suy ra y < 2, mâu thuẫn với phương trình thứ hai. Tương tự cho x < 2. Vậy x = 2, suy ra y = 2. Thử lại thấy giá trị này là nghiệm. Bài tập 2.3. Giải hệ phương trình x 4 + y 2 = 698 81 x 2 + y 2 + xy −3x − 4y + 4 = 0 . Giải GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung 2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC Giải sử hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y). Ta viết lại phương trình thứ 2 theo x x 2 + (y −3)x + (y −2) 2 = 0. Để phương trình này có nghiệm x thì ∆ = (y −3) 2 − 4(y −2) 2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 7 3 . Tương tự ta viết lại phương trình thứ 2 theo y y 2 + (x − 4)y + x 2 − 3x + 4 = 0. Để phương trình này có nghiệm với y thì ∆ = (x − 4) 2 − 4(x 2 − 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 . Từ hai kết quả này áp dụng vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x 4 + y 2 ≤ 256 81 + 49 9 = 687 81 < 698 81 . Điều này chứng tỏ hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập 2.4. Giải hệ phương trình 1 xy = x z + 1 1 yz = y x + 1 1 zx = z y + 1 . Giải Điều kiện xyz = 0. Nhận thấy nếu một trong ba số x, y, z có một số âm, chẳng hạn x < 0 thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số x, y, z là số âm, chẳng hạn x < 0, y < 0 thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số x, y, z cùng dấu. 1. Xét trường hợp x, y, z > 0 thì ta viết lại hệ như sau z = x 2 y + xy x = y 2 z + yz y = z 2 x + zx . Cộng ba phương trình ta được x + y + z = (x 2 y + y 2 z + z 2 x) + (xy + yz + zx) ≥ 6xyz. (6) Mặt khác, ta biến đổi hệ về dạng z xy = x + z x yz = z + x y zx = z + y ⇒ z xy + x yz + y zx = 2(x + y + z), GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung [...]... Nghiệm của hệ 2x + y + x = 3 là (x, y) = (1, 2) GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123 Trường THPT chuyên Quang Trung 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT 4 Hệ phương trình với những phương trình đặc biệt Trong một số loại hệ phương trình, thì chìa khóa để giải nằm trong đặc điểm của mỗi phương trình trong hệ Cũng có khi cần phải khai thác một cách độc lập từng phương trình một... chuyên Quang Trung 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT Phương trình thứ hai được phân tích thành (x2 + 1)(xy − 1) = 0 ⇒ xy = 1 Thay vào phương trình thứ nhất ta được x4 − x2 = 0 Từ đây tìm được nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 1), (−1, −1) 8 > :(x − 4y)(2x − y + 4) = −36 Giải Điều kiện xy = 0 Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới... Giải hệ phương trình : 2 x2 + y 2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 Giải Phương trình thứ hai của hệ được viết lại dưới dạng x2 + (y − 7)x + y 2 − 6y + 14 = 0 Để phương trình này có nghiệm thì 7 ∆ = (y − 7)2 − 4y 2 + 24y − 56 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3 GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123 Trường THPT chuyên Quang Trung 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT Ngoài ra, phương trình thứ hai của hệ. .. + 1 = 0 Xem phương trình thứ nhất như là phương trình bậc hai của x + y, thì để có nghiệm, phải có ∆ = z 2 − 4 ≥ 0 ⇒ z 2 ≥ 4 Tương tự cho phương trình thứ hai ta có z 2 ≤ 4 Vậy phải có z 2 = 4 Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là (x, y, z) = (1, 0, 2), (−1, 0, 2) 8 > :2y = x3 + 1 Giải Điều kiện xy = 0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta được x2... Giải hệ phương trình >2y 3 + z = 6y + 6 > 3 :3x + x = 9z + 8 Giải Ta biến đổi hệ phương trình về dạng 8 >(x − 2)(x + 1)2 = 2 − y > < 2 >2(y − 2)(z + 1) = 2 − z > :3(z − 2)(z + 1)2 = 2 − x Nếu x > 2 thì từ phương trình thứ nhất suy ra y < 2, lại theo phương trình thứ 2 suy ra z > 2, lại theo phương trình thứ ba thì x < 2(vô lý) Tương tự cho trường hợp x < 2 Vậy x = 2, suy ra y = z = 2 Vậy nghiệm của hệ. .. :√x + y + √x = x + 3 Trừ hai vế của hệ, rồi giải, ta tìm ra được nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 8) GV: Trần Minh Hiền - 0989.541.123 Trường THPT chuyên Quang Trung 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT 8 x y 1 z 2 x y > − =4 : xy z 2   1 1 1 1 4 + 2 = 0, rồi suy ra z = − ) Hệ phương trình có nghiệm bậc hai t2 − (2 − )t +... 5.1 Giải hệ phương trình : 2 2x + y = 3 Giải Thế y = 3 − 2x2 từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được x2 + 3x2 (3 − 2x2 ) + (3 − 2x2 )2 = 5 ⇔ x4 − x2 − 2 = 0 ⇒ x2 = 2 Từ đây ta tìm được nghiệm của hệ là Š € √ Š €√ 2; −1 = − 2; −1 (x; y) = 8 y 2 = |y| ≥ ±y ⇒ 1 + y 2 ± y > 0 Tương tự √ 1 + x2 ± x > 0 Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được . bất đẳng thức 9 3 Phương pháp đặt ẩn phụ 16 4 Hệ phương trình với những phương trình đặc biệt 22 5 Phương pháp thế 29 6 Phương pháp lượng giác 34 7 Hệ hoán vị vòng quanh 37 8 Phương pháp dùng. Trung 1 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1 Phương pháp cộng đại số Phương pháp này với mục tiêu là làm "trơn" hóa các biểu thức trong hệ. Ban đầu các hệ số của từng phương trình trong hệ chưa. hai vế của phương trình ta được x 3 + y 3 = 91 (1) Thay kết quả (1) vào phương trình thứ hai của hệ ta được xy(x + y) = 84. (2) Từ hai phương trình (1) và (2) giải ra ta có nghiệm của hệ (x, y)