PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM.DOC

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM

Lời nói đầu

Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời.

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.

Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u.

Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình phơng.

Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.

Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án Đặc biệt

em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã

trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng

Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( )x (đại số hoặc l-ợng giác) xấp xỉ hàm số yf x( ) mà ta đã biết các giá trị của hàm này là

y y tại các điểm x x Phơng pháp nội suy nói trên khi sử dụng trongi thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:

1 Trong các đa thức nội suy ( )x ta đòi hỏi(xi) = y Tuy nhiên sự đòii

hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế Bởi vì các số y là giá trịi

của hàm yf x( ) tại các điểm x x i, trong thực tế chúng ta cho dới dạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành Những số yi này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng ( )f x của hàm iyf x( )tại x x i Sai số mắc phải  iyi  f x( )i nói chung khác không Nếu buộc ( ) xi  thì thực chất đã đem vàoyi

bài toán các sai số i của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy (x)và hàm f x( ) trùng nhau tại các điểm x x i).

2 Để cho đa thức nội suy (x)biểu diễn xấp xỉ hàm f x( ) một cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy x (nghĩa là làm giảm sai sối

của công thức nội suy) Nhng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm f x( ).

Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán:

Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ).

Giả sử đã biết giá trị y i (i1,2, , )n của hàm y f x( ) tại các điểm tơng ứng x x Tìm hàm i m( )x xấp xỉ với hàm f(x) trong đó

Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm m(x) sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu đợc các số liệu y ) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán Trongi

bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ m(x) là tùy thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm f(x).

Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết).

Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm

Y f x a a( , 0, , ,1 am) (1 – 2)

Trong đó: a i (i1,2, , )m là những hằng số.

Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm y y  i (i1,2, , )m

ứng với các giá trị x x i của đối Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu đợc cần xác định các giá trị của tham số a a0, , ,1 a để tìm đợc dạng cụm

thể của biểu thức (1 – 2): yf x( ) về sự phụ thuộc hàm số giữa y và x.

1.2 Sai số trung bình phơng và phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấpxỉ tốt nhất với một hàm

1.2.1 Sai số trung bình phơng

Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm) Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra phải khá bé trên miền đang xét.

Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình

1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng

Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta giả thiết f x( ), (x) là những hàm liên tục trên đoạn a b và ,  X ( , , , )x x1 2 x là tập hợp các điểmn

Gọi  là tổng các độ dài của k đoạn nói trên.

Với n đủ lớn và nđủ bé, từ (2 – 2) ta suy ra  < ( bé tùy ý) Từ (2 – 3)

Nghĩa là tổng độ dài  của các đoạn a b sẽ bé tùy ý.i, i

Tóm lại: với n đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn a b (trừ tại những điểm của, 

những đoạn a b mà có tổng độ dài  bé tùy ý), ta cói, i

( )f x  ( )x  Trong đó  là một số dơng tùy ý cho trớc.

Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình phơng nh sau:

Nếu sai số trung bình phơng n của hai hàm f(x) và (x) trên tập hợp nđiểm a b,  X (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên[a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và (x) khá bé.

1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng

Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên

Ta nhận thấy nếu các giá trị y i (i1,2, , )n của hàm f x( ) tại các điểm xi

và nếu sai số trung bình phơng

Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng.

Rõ ràng: Nếu hàm f x( ) thu đợc bằng thực nghiệm (nghĩa là yi f x )( )i thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm) Đó là lý do giải thích lý do vì sao phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong

là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm f x( ) nếu sai số trung bình phơng  x với ( ) f x( ) là bé nhất Cụ thể là

Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 – 4) với

hàm f x( )) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng 2

Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.

Chơng II

Các phơng pháp xấp xỉ

2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử cho hệ hàm: 0( ), ( ), ,x 1 x m( ), x Ta sẽ gọi hàm m( )x là đa

thức suy rộng cấp m nếu m( )x có dạng

Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm yi

(i1,2, , )n của hàm yf x( ) tại các điểm tơng ứng x Khi đó việc tìmi

một đa thức suy rộng có dạng (3 – 1) mà xấp xỉ với hàm f x( ) nói trên

 x x1, , ,2 xn a b,  sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số a trong (3 – 1).i

Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng m( )x với

cấp m không lớn lắm Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết n  m+1 Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1

Gọi r là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là r(xi) Gọi y là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là y i Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: a a0, , ,1 a trong đa thức xấp xỉ m m(x) Ma trận của hệ

Ta gọi định thức G( , , , 0 1 m) là định thức Gram của hệ véc tơ



0, 1, trên tập điểm X x x1, , ,2 xn

Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở 0(x),1(x), ,m(x) là hệ hàm độc lập tuyến tính trên X  x x1, , ,2 xn a b,  thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 – 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng

Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm f x( )

Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở 0(x),1(x), ,m(x) là những

f x (theo nghĩa trung bình phơng).

Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính trên đoạn a b , 

2.1.3 Sai số của phơng pháp.

Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ m(x) cho hàm f x( ) ta cần đánh giá sai số hoặc độ lệch của nó đối với hàm f x( ) Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung bình phơng Cụ thể là ta đi tìm đại lợng

2.1.4.2 Tiếp cận lời giải

Từ một hệ cơ sở bất kỳ 0( ), ( ), ,x 1 x m( )x bao giờ cũng lập đợc một

hệ trực chuẩn tơng ứng 0( ), ( ), ,x 1 x m( )x sao cho mỗi hàm của hệ trực

chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:

là một đại lợng đơn điệu tăng theo m.

Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phơng n sẽ giảm khi m tăng Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở

0( ), ( ), ,1 ( )

 x  x mx là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ f x( ) càng tốt.

2.1.4.4 Chú ý

Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi

cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phơng trình chuẩn (3 – 5) dùng để xác định các hệ số a a0, , ,1 a của đa thức hoàn toàn thay đổi Do đó quám

trình tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) cần làm lại từ đầu Tuy nhiên khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ

Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một hàm thực nghiệm bằng một đa thức suy rộng cấp m (3 – 1’): do khuôn khổ của sự tính toán ta không cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn Khi đó nếu hệ hàm cơ sở 0( ), ( ), ,x 1 x m( ), x là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2) Sau khi thực hành tính toán nếu thấy sai số trung bình phơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta

có thể tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số a bổ sung (từ công thức (3i

– 14)).

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số

2.2.1 Đặt vấn đề

Giả sử biết n giá trị thực nghiệm y i (i1,2, , )n của hàm f x( ) tại các điểm x tơng ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm if x( ) bởi một đa thức cấp m có

2.2.2 Tiếp cận lời giải

Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng quát ở phần II, trong

Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số a của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệmi của hệ phơng trình chuẩn có dạng sau theo lợc đồ trong bảng 1 Các hệ số vế trái của phơng trình đầu tiên cho bởi các tổng ô lần lợt từ cột (1) đến cột (m), của phơng trình thứ 2 cho bởi các tổng lần lợt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho bởi

Đối với trờng hợp các điểm x cách đều nhau: ixi1 xi h (i0,1, ,n 1) thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều Dới đây ta sẽ trình bày kết quả trong trờng hợp này Hệ phơng trình (4 – 10) so với hệ (4 – 4) đơn giản hơn rất nhiều vì các tổng những lũy thừa lẻ của u bằng 0

Su , j chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì u nhậnj

các giá trị nguyên) Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùy thuộc vào n).

Cuối cùng, sau việc giải phơng trình (4 – 10) ta thu đợc Q u dới dạngm( ) (4 – 9) Để trở lại P x dới dạng (4 – 1) ta cần làm phép đổi biến ngợc lạim( ) để chuyển biến u về biến x ban đầu Cụ thể trong Q u thu đợc ta sẽ dùngm( ) công thức đổi biến (4 – 8) nếu n lẻ, dùng công thức (4 – 12) nếu n chẵn Dới đây ta xây dựng công thức cụ thể hệ (4 – 10) trong các trờng hợp m

Khi đó các kết quả (4 – 14) và (4 – 15) có thể tóm tắt trong bảng 2 Ngoài ra từ (4 – 16) ta nhận thấy các số i theo những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21

ë b¶ng 3 Trong phÇn díi cña b¶ng 4 cho c¸c sè itheo nh÷ng gi¸ trÞ ch½n cña n

Từ định nghĩa ta nhận thấy hệ đa thức trực giao là trờng hợp đặc biệt của hệ hàm trực giao Do đó ta áp dụng kết quả ở phần 2.3 với r( )x R xr( )

ở đây M x (có dạng (5 – 4)) là một tổ hợp tuyến tínhcủa những đa thứcm( ) đại số cấp từ 0 đến m, do đó M x thực chất cũng là một đa thức cấp mm( ) (nh P x cho bởi (4 – 1)) Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại sốm( ) thông thờng nh đã thu đợc trong phần (2.4).

Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 – 1) nên khác với phần 2.4 ở đây ta không cần giải hệ phơng trình chuẩn mà tìm các hệ số của đa thức (5 – 4) trực tiếp từ công thức (5 – 5) đã chỉ ra ở trên Ngoài ra do những đặc điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của M x mà khôngm( ) cần phải làm lại từ đầu quá trình tính toán Đó chính là u điểm của phơng pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.4).

2.3.3 Nội dung của phơng pháp

Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 – 4) thực chất là tìm hệ thức trực giao (5 – 1) Để làm đợc điều này ta tìm công thức truy hồi để xác định lần lợt các đa thức trực giao của hệ (5 – 1).

Trớc hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: R x R x của hệ (5 – 1).0( ), ( )1 Theo định nghĩa thì R x0( ) 1

Ngoài ra, từ (5 – 2) ta thấy R x có dạng1( )

R x R xR x ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây

Bổ đề1: Mọi đa thức trực giao cấp r +1 (r 1): Rr1( )x của hệ (5 – 1) đợc

xác định theo các đa thức R x và r( ) Rr1( )x từ công thức truy hồi sau

Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 đợc chứng minh hoàn toàn.

Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công thức r1 và r1 ta

Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn đợc chứng minh.

Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu đợc các đa thức trực giao

Khi sai số trung bình phơng tìm đợc cha đủ bé (nghĩa là m cha đủ lớn) ta cần tăng dần cấp m của hàm xấp xỉ M x Khi đó trong bảng tính cũ cầnm( )

2.4 Xấp xỉ hàm bằng đa thức lợng giác

2.4.1 Định nghĩa đa thức lợng giác

Trong thực tế khi tính toán ta gặp những hàm f x( ) có tính chất tuần hoàn Ta tìm cách xấp xỉ một hàm để phản ánh đợc đặc điểm riêng của nó Khi đó từ đa thức suy rộng tổng quát

Lấy hệ hàm lợng giác làm hàm cơ sở Ta giả thiết rằng các hàm f x( ) xét trên đoạn 0 x 2 Trên đoạn có độ dài 2 thì hệ hàm lợng giác

Là tuần hoàn và độc lập tuyến tính Khai triển hàm f x( ) theo cơ sở (6 – 1) gọi là khai triển lợng giác hay khai triển Fourier Tức là hàm xấp xỉ là một đa

Dựa trên các công thức (6 – 4) (6-7) ta thấy hệ phơng trình chuẩn (3 – 5) để xác định các hệ số  , của đa thức xấp xỉ (6 – 1) có dạng

(6 – 8)

Trong giải tích ngời ta chứng minh rằng: Hệ hàm lợng giác cơ bản (6 – 1) là hệ hàm độc lập tuyến tính trên toàn trục số (  x  ) Nghĩa là hệ ph-ơng trình chuẩn (6 – 8) luôn và có duy nhất nghiệm.

Sai số trung bình phơng của đa thức T xk( ) với hàm f x( ) có dạng tổng

Các hằng số  , trong (6 – 10) là nghiệm của (6 – 8).

Trên đây đã trình bày một phơng pháp để xây dựng một đa thức lợng giác

( )

T x xấp xỉ với hàm f x( ) trong đó các điểm xi có vị trí bất kỳ Bây giờ ta xét trờng hợp các điểm xi nằm trên khoảng 0, 2 và cách đều nhau Nghĩa

Để chỉ ra tính trực giao của hệ lợng giác (6-1) trên tập hợp X  x x1, 2, ,xn

nói trên ta sẽ chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 3

Với n2k1và xi là những điểm của tập hợp X , ta có các đẳng thức sau